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1、第十一章曲线积分与曲面积分第十一章曲线积分与曲面积分第十一章曲线积分与曲面积分第十一章曲线积分与曲面积分二、二、二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法三、三、三、三、两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系一、一、一、一、对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念第二节对坐标的曲线积分第二节对坐标的曲线积分 一、一、一、一、对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念引例引例变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一
2、质点设一质点 在力在力 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j 的作用下，的作用下， 在在 xy 平面上沿曲线平面上沿曲线 L从点从点 A 移动到点移动到点 B， 求变力求变力 F(x, y) 所作的功所作的功. 将有向弧段将有向弧段 L 任分为任分为 n 个有向子弧段，个有向子弧段， 即用点即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)， Mn(xn, yn) = B 把有把有向曲线向曲线 L 分成分成 n 个有向小段，个有向小段，它相应的有向弦段为它相应的有向弦段为 第第 i 段有向曲线弧段为段有向曲线弧段为 Mi - -1Mi (i = 1, 2, ,
3、n)，Mi - -1Mi = ( xi)i + + ( yi)j ，B=MnMiMi - -1M2M1A=M0(x xi, h hi) xi yiOF(x xi, h hi)xy其中其中 xi = xi - - xi - - 1， yi = yi - - yi - - 1是有向小弧是有向小弧段段 Mi - -1Mi 分别在分别在 x 轴和轴和 y 轴上的投影轴上的投影.如果函数如果函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在在 L上上连续，连续， 则则在每段小弧段上，在每段小弧段上，它们的变化就不会太大，它们的变化就不会太大， 因此因此我们可以用有向弧段我们可以用有向弧段 Mi - -1Mi 上
4、任意一点上任意一点 (x xi, h hi) 处受到的力处受到的力F(x xi, h hi) = P(x xi, h hi)i + + Q(x xi, h hi)j，近似代替近似代替 Mi - -1Mi 上各点处受到的力上各点处受到的力. 这样，变这样，变力力 F(x, y) 沿有向小沿有向小弧段弧段 Mi - -1Mi 所作的所作的功功 Wi就近似地等于常力就近似地等于常力 F (x xi, h hi) 沿有向弦段沿有向弦段 Mi - -1Mi 所作的功，所作的功， 即即 Wi F(x xi, h hi) Mi - -1Mi = P(x xi, h hi) xi + + Q(x xi, h
5、hi) yi . 于是变力于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧 MoMn 上所作功的上所作功的近似值为近似值为 令令 表示表示 n 个小弧段的最大弧长，个小弧段的最大弧长，当当 0 时，时， 上式上式的右端极限如果存在，的右端极限如果存在，则这个极限就是则这个极限就是 W 的精确值，的精确值，即即上述和式的极限，就是如下两个和式的极限上述和式的极限，就是如下两个和式的极限与与定义定义设设 L 为为 xy 平面上由点平面上由点 A 到点到点 B 的有向光的有向光滑曲线，滑曲线，即即 xi = xi xi- -1( ( yi = yi yi- -1) ).作和式作和式记记 xi (
6、(或或 yi) )为有向小弧段为有向小弧段 Mi - -1Mi 在在 x 轴轴( y 轴轴)上上的投影，的投影， 在在 Mi - -1Mi 上任取上任取一点一点 (x xi , ,h hi)，记记 为为 n 个小弧段的最大弧长个小弧段的最大弧长. 且函数且函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在在 L上有定义上有定义. 由点由点 A 到点到点 B 把把 L 任意地分成任意地分成 n 个有向小弧段，记分点为个有向小弧段，记分点为如果如果存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数 P(x, y)、(Q(x, y) 在有在有向曲线向曲线上上对坐标对坐标 x ( (对坐标对坐标 y) )的曲线
7、积分的曲线积分.记作记作对坐标的曲线积分也称为对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分第二类曲线积分. 在应在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即简记为简记为称之为组合曲线积分称之为组合曲线积分.设设是有向曲线弧，记是有向曲线弧，记- - 是与是与方向相反的有向方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：或或若若=1 + +2，则则二、二、二、二、对坐标曲线积分的计算法对坐标曲线积分的计算法对坐标曲线积分的计算法对坐标曲线积分的计算法设有向曲线设有向曲线 L 的参数式方程为的参数式方程为x = x(t),
8、y = y(t).又设又设 t = a a 对应于对应于 L 的起点，的起点，t = 对应于对应于 L 的终点的终点( (这里这里 a a 不一定小于不一定小于 ) ) 当当 t 由由 a a 变到变到 时，时，点点 M(x, y) 描出有向曲线描出有向曲线 L，如果如果 x(t)、 y(t) 在以在以 a a、 为端点的为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，闭区间上具有一阶连续的导数，函数函数 P(x, y) 、 Q(x, y) 在在 L 上连续，上连续，则则(11.2.1)(11.2.2)证明从略证明从略.对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：
9、其要点是：( (1) ) 因为因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线定义在曲线 L 上，上，所以所以 x、 y 应分别换为应分别换为 x(t)、 y(t)；( (2) ) dx、dy 是是有向小曲线段在坐标轴上的投有向小曲线段在坐标轴上的投影，影， dx = x (t)dt、 dy = y (t)dt ； ( (3) ) 起点起点 A 对应的参数对应的参数 t = a a 是对是对 t 积分的下积分的下限，终点限，终点 B 对应的参数对应的参数 t = 是对是对 t 积分的上限积分的上限.如果有向曲线如果有向曲线 L 的方程为的方程为 y = y(x)，则则这里这里 a 是曲线是曲
10、线 L 的起点的横坐标，的起点的横坐标，b 是曲线是曲线 L 的的终点的横坐标，终点的横坐标， a 不一定小于不一定小于 b.如果如果 L 的方程为的方程为 x = x(y)，则有则有其中其中 c 是曲线是曲线 L 的起点的纵坐标，的起点的纵坐标，d 是曲线是曲线 L 的终的终点的纵坐标，点的纵坐标，c 不一定小于不一定小于 d . 上式右端的上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，第二个曲线积分化为定积分时，例例 1试计算曲线积分试计算曲线积分 其中其中 L 为沿着抛为沿着抛物线物线 y = x2 从点从点O (0, 0) 到到点点 A(2, 4)再沿直线由点再沿直线由点 A(2, 4)到点到
11、点 B(2, 0)解解由于曲线积分对路径具有可加性，因此由于曲线积分对路径具有可加性，因此L2 为直线段为直线段 AB.因为因为 dx = 0， 所以所以它的值为零它的值为零. 又又 L1 的方程为的方程为 y = x2，故故y1234A(2, 4)B(2, 0)x = 2y = x2L1L2x12O其中其中 L1 为曲线弧为曲线弧 OA，例例 2试计算曲线积分试计算曲线积分 其中积分其中积分路径为路径为( (1) )在椭圆在椭圆 ，从点从点 A(a, 0) 经第一、二、经第一、二、三象限到点三象限到点B(0, - - b).( (2) )在直线上在直线上 ， 从点从点A(a, 0) 到点到点
12、 B(0, - - b).yxAOB解解( (1) )因为所给椭圆的参数方程为因为所给椭圆的参数方程为且且起点起点 A 对应的参数对应的参数 t = 0.曲线上的对应点描出弧曲线上的对应点描出弧 AB，所以有所以有终点终点 B 对应的参数对应的参数 ，当当t 由由 0 增大到增大到( (2) )因为所给线段因为所给线段 AB 所在的直线方程为所在的直线方程为 且起点且起点 A 对应于对应于 x = a，终点终点 B 对对应于应于 x = 0， 所以所以三、三、三、三、两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系两类曲线积分间的联系则则dx = dlcos(t, x),记记( (t, ,x)()(t, ,y) )分别表示切线向量与分别表示切线向量与 x 轴轴 y 轴轴正向的夹角正向的夹角. .于是由示意图可知于是由示意图可知dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),yxOABdydxdlt
