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1、经济数学基础线性代数第三章 线性方程组线性方程组的解的判定解的判定和求法求法本章难点：本章难点：解的判定解的判定定理本章重点：本章重点：一、线性方程组的有关概念一、线性方程组的有关概念1、n元元线性方程组为：线性方程组为：4元线性方程组2、方程组的、方程组的系数矩阵系数矩阵A为：为：“增广矩阵增广矩阵”对 做初等行变换，同时也是对A做变换。3、方程组的、方程组的矩阵形式矩阵形式：系数矩阵系数矩阵A未知量矩阵未知量矩阵X常数矩阵常数矩阵B【例例1】写出下列线性方程组的系数矩阵系数矩阵、增广矩阵增广矩阵和矩阵形式矩阵形式解：解： 系数矩阵系数矩阵是增广矩阵增广矩阵方程组的矩阵形式矩阵形式是AXB，
2、即由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。【例例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组【解解】：“常数项”一一对应“增广矩阵增广矩阵”“线性方程组线性方程组”【例例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组解：解：“常数项”4、齐次线性方程组：、齐次线性方程组：AX=0如果常数项不全为0，则称为：非齐次线性方程组非齐次线性方程组。5、方程组的、方程组的解解：方程组的解解是满足方程组满足方程组的未知量的一组取值：例如：显然，就是它的一组解。显然： 是齐次线性方程组齐次线性方程组 注意：方程组的解可能有惟一解惟一解，也可能 有无穷多组无穷多组，
3、也可能是无解无解。的一组解。称为0解解，或平凡解平凡解。否则称为非零解非零解。定理定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过求求“增广矩阵增广矩阵”的秩的秩来判断解的情况。总结：（1）若 则方程组无解无解。（2.1）若r = n 就有唯一解唯一解；（2.2）若r n 就有无穷多解无穷多解。（2）若 则方程组有解有解。设设r=秩秩(A)，n为未知量的个数为未知量的个数.二、线性方程组解的判定定理二、线性方程组解的判定定理【例例3】当a,b为何值时,下列方程组有惟一解 、无穷多解或无解。【解解】 只需要对增广矩阵增广矩阵进行初等行变换,将其化为阶梯形矩阵+(-1)+(-1)+(-2)根据方程组解的判定
4、定理方程组解的判定定理可知：（1）当a=3,且b3时所以方程组无解无解。（2）当a=-3,且b=3时所以方程组有无穷多解.（3）当a-3时所以方程组有惟一解.注意3个量：1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下： (1.1)AX = b有唯一解唯一解 (1.2)AX = b有无穷多解无穷多解 (1.3)AX = b无解无解 2、齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： (2.1)AX = 0只有零解零解(唯一解唯一解) (2.1)AX = 0有非零解非零解(无穷多解无穷多解) 注：对于齐次线性方程组没有“无解无解”的情况。【例例】 线性方程组AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( )
5、A可能有解 B有无穷多解 C无解 D有唯一解 【解】线性方程组AX = B有唯一解，说明故AX = 0只有唯一解（零解） 三、线性方程组的求解三、线性方程组的求解定义定义：“行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还满足下两个条件：(1)各个非非0行行的第一个不为0的元素(首非首非0元元) 都是都是1；(2)所有首非首非0元所在列元所在列的其余元素都是都是0.如：求解的方法：用初等行变换。第一步第一步，写出增广矩阵 ，并用初等 行变换变为阶梯矩阵阶梯矩阵；第二步第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为 行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵；第三步第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组
6、的一般解一般解。实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。【例例4】解线性方程组：【解解】 对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即+(-2)+(-4)+(-2)+(-1)(,)+3(-1)+所以方程组化简为：即方程组的解为：【例例5】解线性方程组：【解解】 对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即(,)+(-2)+(-4)+(-1)+(-1)+(-3)所以方程组化简为：含有自由未知量的解称为方程组的一般解一般解。（P132）【例例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵增广矩阵通过初等行变换化为：【分析分析】 先确定基本未知量基本未知量为：则此线性方程组的一般解中自由未知量
7、自由未知量的个数为_。则其余的为自由未知量自由未知量：【练习练习】求方程组的解。已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵：解：解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进一步化成行简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵，即+(-1)+(-1) 其中，是自由未知量写成方程组的形式为：所以，方程组的解为：其中，是自由未知量解齐次线性方程组一般方法是： (1) 写出齐次线性方程组的系数矩阵A；(2) 对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵； (3) 根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 【例例7】求线性方程组：解：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即+(-2)+(-2)+(-1) (-1)+(-1)+2+(-1)所以方程组化简为：【例例8】设齐次线性方程组为：【解解】 对系数矩阵系数矩阵进行初等行变换，即+(-2)+(-3)问：取何值时方程组有非零解有非零解，并求一求一般解般解。+(-1)对于齐次线性方程组，要使其有非零解非零解，则要求：此时方程组有非零解。有非零解。 这时系数矩阵变为：+3所以方程组化简为：得方程组的一般解：
