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1、书书书引言 先修课程： 基础课 后续课程： 扫码看 张宇概率论与数理统计讲 的第、讲的二维码讲解 数理统计面面观 五大问题（） 求犘 复杂事件（）犡的犉犡（狓） ，犳犡（狓） ；犢犵（犡） 的犉犢（狔） ，犳犢（狔） ；犘（犡犐）犐犳犡（狓）狓；（犡，犢） 的犉（狓，狔） ，犳（狓，狔） ；犣犵（犡，犢） 的犉犣（狕） ，犳犣（狕） ；犘 （犡，犢）犇犇犳（狓，狔）（） 求数字特征（）狀 时的若干重要概率规律（） 估计与评价考研数学概率论与数理统计讲义1第一讲随机事件与概率综述用古典、 几何、 公式求复杂事件的概率一、 古典概型求概率定义若中有有限个、 等可能的样本点， 称为古典概型犘（犃）犃
2、中样本点个数中样本点个数【 例】 将个球随机地放入个盒子内，犡表示有球的盒子数，犢表示第个盒子内球的数目， 求犘犡，犢 ；犘犡，犢 ；犘犡；犢【 分析】2二、 几何概型求概率若是一个可度量的几何区域， 且样本点落入中的某一可度量子区域犃的可能性大小与犃的几何度量成正比， 而与犃的位置与形状无关， 称为几何概型犘（犃）犃的度量（ 长度、 面积）的度量（ 长度、 面积）【 例】 某舟桥连接到命令要赶到某河岸为某部队架桥， 设舟桥连将于点到： 之间到达河岸， 架桥需 分钟， 部队将于： 到： 之间到达河岸， 求部队到达河岸时可立即过河的概率【 分析】三、 重要公式求概率 对立犘（犃）犘（犃） 思想方
3、法 减法犘（犃 犅）犘（犃犅）犘（犃）犘（犃 犅） 加法（）犘（犃犅）犘（犃）犘（犅）犘（犃 犅） ；（）犘（犃犅犆）犘（犃）犘（犅）犘（犆）犘（犃 犅）犘（犅 犆）犘（犃 犆）犘（犃 犅 犆）【 例】 取自 张宇考研数学闭关修炼一百题习题分册 ， 为了寻找 张宇高等数学 讲 ， 一个学生决定到个图书馆去试一试每一个图书馆有这本书的概率为 ， 如果有这本书， 则已借出的概率为 ， 若已知各图书馆藏书是相互独立的， 求这个学生能借到这本书的概率【 分析】3【 注】 超过三个的事件和的概率一般附加“ 互斥” 、 “ 独立” 条件若犃，犃， ，犃狀（狀） 两两互斥， 则犘（狀犻 犃犻）狀犻 犘（犃犻
4、） ；设犃，犃， ，犃狀， 若对其中任意有限个犃犻，犃犻， ，犃犻犽（犽） ， 都有犘（犃犻，犃犻， ，犃犻犽）犘（犃犻）犘（犃犻） 犘（犃犻犽） ，则称犃，犃， ，犃狀相互独立且“ 夫唱妇随” ， 即狀个事件相互独立它们中任意一部分事件换成各自的对立事件， 所得狀个新事件相互独立如犃，犅独立犃，犅独立犃，犅独立犃，犅独立于是， 若犃，犃， ，犃狀（狀） 相互独立， 则犘（狀犻 犃犻）犘（狀犻 犃犻）犘（狀犻 犃犻）狀犻 犘（犃犻）狀犻 犘（犃犻） 常考狀时的情形，犃，犃，犃犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ； 犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ；犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ；犘（犃犃犃）犘（犃）犘（犃）
5、犘（犃）烅烄烆犃，犃，犃相互独立【 注】 若只满足， 称犃，犃，犃两两独立【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 将一枚硬币独立地掷两次， 引进事件：犃 掷第一次出现正面 ，犃 掷第二次出现正面 ，犃 正反面各出现一次 ，犃 正面出现两次 ， 则事件（）（）犃，犃，犃相互独立（）犃，犃，犃相互独立（）犃，犃，犃两两独立（）犃，犃，犃两两独立4【 分析】 条件犘（犃狘犅）犘（犃 犅）犘（犅），犘（犅） 乘法犘（犃 犅）犘（犅）犘（犃狘犅）犘（犃）犘（犅狘犃） ，犘（犃犃犃）犘（犃）犘（犃狘犃）犘（犃狘犃犃） 全集分解公式（ 全概公式）（） 引例一个试验可以人为分成两个阶段：（） 小张（犃
6、） 小政（犃） 小英（犃）（） 失窃犅犘（犅）【 分析】5【 例】 中国人血型分布为血型犗犃犅犃 犅比例 现随机抽人， 问甲能给乙输血的概率分析： 记犃 甲能给乙输血 ，犅，犅，犅，犅分别为 甲为犗，犃，犅，犃 犅 型号（）犅，犅，犅，犅（）犃【 分析】【 例】 取自 张宇考研数学闭关修炼一百题习题分册 ， 要验收一批乐器， 共 件， 从中随机地取件来测试（ 设件乐器的测试是相互独立的） ， 如果件中任意一件经测试被认为音色不纯， 这批乐器就被拒绝接收设一件音色不纯的乐器经测试被查出的概率为 ， 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 如果已知这 件乐器中有件是音色不纯的， 问这批乐器被
7、接收的概率是多少？【 分析】6 贝叶斯公式（ 逆概公式）承接， 若已知犅发生了， 执果索因犘（犃犼狘犅）犘（犃犼犅）犘（犅）犘（犃犼）犘（犅狘犃犼）狀犻 犘（犃犻）犘（犅狘犃犻）【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 甲袋中有个白球个黑球， 乙袋中有个白球个黑球， 先从甲袋中任取球放入乙袋， 再从乙袋中任取一球， 求取出的球是白球的概率狆； 如果已知从乙袋中取出的球是白球， 求从甲袋中取出的球是白黑的概率狇【 分析】7第二讲一维随机变量及其分布综述 八个重要分布 一维犡与犉犡（狓） 犢犵（犡）与犉犢（狔）一、 概念与八个分布 犡与犉（狓）（）随机变量（狉狏）定义在狑上， 取值在实数轴的
8、变量犡犡（狑） ，狑，狔狔（狓） ，狓犚（）分布函数犉（狓）犘犡狓 ， 狓狓取遍到 离散型随机变量（）定义犡取有限个或无穷可列个，（）分布律犡狓狓狓狀狆狆狆狀烄烆烌烎（）犉（狓）犘犡狓 ， 离散型狉狏 步步高阶梯型犉（狓） 连续型随机变量若存在非负可积函数犳（狓） ， 使得狓（，）有犉（狓）狓犳（狋）狋则称犡为连续型，犳（狓）叫作犡的概率密度函数8【 注】犉（狓）犘犡狓犘 犡狓狓犳（狋）狋（ 连）狓犻狓狆犻（ 离） 犡犉（狓）狆犻分布律犳（狓）概率密度（）犉（狓）是某个狓的分布函数单调不减；犉（），犉（）；右连续烅烄烆（） 狆犻是分布律狆犻；犻狆犻（ 归一性）烅烄烆（）犳（狓）是概率密度函数犳
9、（狓）；犳（狓）狓（ 归一性）烅烄烆 八个分布（）分布（ 犈）犡（ 伯努利计数变量）狆烄烆烌烎狆（）二项分布（ 犈狀）独立；犘（犃）狆；只有犃，犃烅烄烆记犡为犃发生的次数， 则犘犡犽犽狀狆犽（狆）狀犽，犽， ，狀（）几何分布（ 犈）首中即停止（ 等待型分布） ， 记犡为试验次数， 则犘犡犽狆（狆）犽 ，犽， （）超几何分布犖件产品，犕件正品， 无放回取狀次， 则取到犽个正品的概率犘犡犽犽犕狀犽犖犕狀犖，犽为整数， ，狀犖犕犽 狀，犕9（）泊松分布某单位时间段， 某场合下， 源源不断的质点流的个数， 也常用于描述稀有事件的概率犘犡犽犽犽！，强度（犈 犡）（）均匀分布“ 几何概型”犝（犪，犫）若犡
10、犳（狓）犫犪，犪狓犫（ 正概率区间） ，其他烅烄烆，则犡犝犪，犫【 注】高档次说法： “犡在犐上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比”犡犝（犐）（）指数分布等待型分布（ 寿命分布） （ 连续）若犡犳（狓） 狓，狓，狓烅烄烆，则犡犈（） （）失效率，犈 犡犉（狓）狓犳（狋）狋狓 狋狋狓 狋（ 狋） 狋狓 狓，狓，狓烅烄烆【 注】犘犡狋狊狘犡狋犘犡狊无记忆性犉（狓） 狓，狓，狓烅烄烆（ 记， 爱考）几何分布离散型条件分布指数分布烅烄烆连续型条件分布无记忆性（）正态分布若犡犳（狓）槡（狓）， 则【 注】，则犡（狓）槡狓，犡（狓）狓（狋）狋（ 标准正态专用符号） ，犡犖（，）10二、 综合题分析
11、 概念 犡犉（狓） 犢犵（犡）犉（狔）【 例】下列说法错误的是（）（）犡，犡相互独立，犡犉（狓） ，犡犉（狓） ， 则犉（狓）犉（狓） 必为 犡，犡的分布函数；（）若犡犳（狓）犃狓 （ ）， 则犃槡 ；（）若犡犳（狓），狓， ，狓， ， 且犘狓犽， 则犽；，烅烄烆其他（）若犡犉（狓） ，犡犳（狓） ， 且狓时犳（狓）连续，犳（狓）犉（狓）犉（）， 则犳（狓）狓，狓，狓烅烄烆【 分析】11【 例】确定下列各随机变量概率密度中未知参数犪的值， 并求出它们的分布函数：（）犳（狓）犪狓槡，狘狓狘 ，狘狓狘 烅烄烆；（）犳（狓）犪狓，狓，狓，狓烅烄烆【 分析】12【 例】 设狘犡狘 ，犘犡，犘犡， 在犡
12、 发生的条件下，犡在（，）内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比， 求犡的犉（狓）【 分析】13【 例】 设一机器在任何长为狋的时间内出故障的次数犖（狋） 服从参数为 狋的泊松分布（）求相继两次故障之间的时间间隔犜的犉犜（狋） ；（）求在设备已无故障工作小时的情形下， 再无故障工作 小时的概率【 分析】14【 例】若犡犳犡（狓） ，犢犵（犡） ， 求犢犳犢（狔）【 分析】【 例】 取自 张宇考研数学闭关修炼一百题习题分册 ， 设随机变量犡在区间，（）上服从均匀分布， 求犢 犡的分布函数犉犢（狔）【 分析】15【 例】设犡犳犡（狓），狓，狓，其他烅烄烆令犢犡， 求犢犳犢（狔）【 分析】1
13、6第三讲多维随机变量及其分布二维（犡，犢） ，狀维（犡，犡， ，犡狀） （ 统计）烅烄烆综述 概念 用分布求概率 犣犵（犡，犢） ， 求犣分布一、 概念 联合分布设（犡，犢） ，犉（狓，狔）犘犡狓，犢狔 ， 狓， 狔 边缘分布已知犉（狓，狔） ，犉犡（狓）犘犡狓犘犡狓，犉（狓，） 狔犉（狓，狔） ，犉犢（狔）犘犢狔犘犢狔，犉（，狔） 狓犉（狓，狔）【 注】离散型（犡，犢）犘犻 犼（ 联合分布律）其条件分布为犘犡狓犻狘犢狔犼犘犡狓犻，犢狔犼犘犢狔犼犘犻 犼犘犼连续型（犡，犢）犳（狓，狔）联合密度边缘密度（ 必考）17犳犡（狓）犳（狓，狔）狔，犳犢（狔）犳（狓，狔）狓其条件密度为犳犡狘犢（狓狘狔）
14、犳（狓，狔）犳犢（狔）不论离散， 连续条件联合边缘，联合条件边缘烅烄烆 独立性（犡，犢） ，犡，犢独立犉（狓，狔）犉犡（狓） 犉犢（狔）狆犻 犼狆犻 犼狆犻狆犼，犻，犼犳（狓，狔）犳（狓，狔）犳犡（狓） 犳犢（狔） 两个分布（）均匀分布（犡，犢）犳（狓，狔）犛犇，（狓，狔）犇，（狓，狔）犇烅烄烆（）正态分布（犡，犢）犖（，；，；）典型错误：犖（，；，；）【 注】以下重要结论， 只用不证若（犡，犢）犖（，；，；）犡犖，犢犖，犪 犡犫 犢犖，独立不相关烅烄烆若犡，犡， ，犡狀相互独立且均服从犖狀犻 犪犻犡犻犖18二、 综合题解析【 例】 取自 张宇考研数学闭关修炼一百题习题分册 ， 设随机变量犡的
15、概率密度为犳（狓）犃狓狓（ 狓） ， 对犡进行两次独立观察， 其结果分别记为犡，犡， 令犢犻，犡犻，犡犻烅烄烆，犻， （）确定常数犃， 并计算概率犘犡，犡 ；（）求二维随机变量（犢，犢）的联合概率分布【 分析】19【 例】设犡与犢分别表示甲、 乙两个元件的寿命（ 单位： ） ， 其概率密度分别为犳犡（狓）狓，狓，狓烅烄烆；犳犢（狔） 狔，狔，狔烅烄烆，并设犡与犢独立， 两个元件同时开始使用， 求甲比乙先坏的概率【 分析】【 例】设犡犝（，） ， 在犡狓（狓） 的条件下，犢在（，狓） 内服从均匀分布， 求：（） （犡，犢）犳（狓，狔） ；（）犢犳犢（狔） ；（）犘犡犢【 分析】20【 专题】犣犵
16、（犡，犢）离犡离犢，连连，离连烅烄烆【 例】 取自 年真题数学一（ ）题（ 数学三（ ）题） 设随机变量犡与犢相互独立，犡的概率分布为犘犡犘犡，犢服从参数为的泊松公布， 令犣犡 犢求犣的概率分布【 分析】【 例】设（犡，犢）犳（狓，狔），狓，狔狓， 其他烅烄烆求： （）犡犳犡（狓） ，犢犳犢（狔） ；（）犣犡犢的犳犣（狕）【 分析】21【 注】常用的卷积公式设二维连续型随机变量（犡，犢）犳（狓，狔）则犣犡犢是连续型随机变量且犣犳（狕）犳（狓，狕狓）狓犳（狕狔，狔）狔，特别地， 若犡，犢独立， 则犳（狕）犳犡（狓）犳犢（狕狓）狓犳犡（狕狔）犳犢（狔）狔，其中，犳犡（狓） ，犳犢（狔）分别为犡，犢
17、的边缘概率密度【 例】 取自 张宇考研数学闭关修炼一百题习题分册 ， 设犡，犢相互独立， 其概率密度分别为犳犡（狓），狓， 其他烅烄烆；犳犢（狔）狔，狔，其他烅烄烆求随机变量犣犡犢的概率密度【 分析】22【 例】设犡，犢相互独立，犘犡犻，犻，犢犳犢（狔），狔， 其他烅烄烆，记犣犡犢， 求犣犳犣（狕）【 分析】23第四讲数字特征综述 求数字特征 应用一、 概念 数学期望（犈 犡） 与方差（犇 犡）（）期望定义犡狆犻犈 犡犻狓犻狆犻犡犳（狓）犈 犡狓 犳（狓）狓犡狆犻，犢犵（犡）犈 犢犻犵（狓犻）狆犻犡犳（狓） ，犢犵（犡）犈 犢犵（狓）犳（狓）狓（犡，犢）狆犻 犼，犣犵（犡，犢）犈 犣犻犼犵（狓
18、犻，狔犼）狆犻 犼（犡，犢）犳（狓，狔） ，犣犵（犡，犢）犈 犣犵（狓，狔）犳（狓，狔）狓狔（）方差定义犇 犡犈 （犡犈 犡）定义法犡狆犻犇 犡犈 （犡犈 犡）犻（狓犻犈 犡）狆犻，犡犳（狓）犇 犡犈 （犡犈 犡）（狓犈 犡）犳（狓）狓烅烄烆公式法犇 犡犈 （犡犈 犡）犈犡犡犈 犡（犈 犡）犈（犡）犈 犡犈 犡（犈 犡），24犇 犡犈（犡）（犈 犡）（）性质犈 犪犪，犈（犈 犡）犈 犡犈（犪 犡犫 犢）犪 犈 犡犫 犈 犢，犈狀犻 犪犻犡（）犻狀犻 犪犻犈 犡犻（ 无条件）犈（犪犡犪犡犪狀犡狀）犪犈 犡犪犈 犡犪狀犈 犡狀若犡，犢相互独立， 则犈（犡 犢）犈 犡 犈 犢犇 犪，犇（犈 犡），犇
19、（犇 犡） 若犡，犢相互独立， 则犇（犡犢）犇 犡犇 犢犇（犪 犡犫）犪犇 犡，犈（犪 犡犫）犪 犈 犡犫一般，犇（犡犢）犇 犡犇 犢 （犡，犢）（犇狀犻 犡）犻狀犻 犇 犡犻 犻犼狀 （狓犻，狓犼） ，犇（犡犡犡狀）犇 犡犇 犡犇 犡狀 犻犼狀 （狓犻，狓犼）【 注】记住如下犈 犡，犇 犡 分布，犈 犡狆，犇 犡狆狆（狆）狆，犡狆烄烆烌烎狆犡犅（狀，狆） ，犈 犡狀 狆，犇 犡狀 狆（狆）犡犘（） ，犈 犡，犇 犡犡犌 犲（狆） ，犈 犡狆，犇 犡狆狆犡犝犪，犫 ，犈 犡犪犫，犇 犡（犫犪） 犡犈犡（） ，犈 犡，犇 犡犡犖（，） ，犈 犡，犇 犡犡（狀） ，犈 犡狀，犇 犡狀 协方差 （犡
20、，犢） 与相关系数犡 犢（） （犡，犢）犈 （犡犈 犡） （犢犈 犢） ， （犡，犡）犈 （犡犈 犡） （犡犈 犡） 犈 （犡犈 犡）犇 犡25定义法（犡，犢）狆犻 犼 （犡，犢）犻犼（狓犻犈 犡） （狔犻犈 犢）狆犻 犼，（犡，犢）犳（狓，狔） （犡，犢）（狓犈 犡） （狔犈 犢）犳（狓，狔）狓狔烅烄烆公式法 （犡，犢）犈（犡 犢犡犈 犢犈 犡犢犈 犡犈 犢）犈（犡 犢）犈 犡犈 犢犈 犡犈 犢犈 犡犈 犢犡 犢 （犡，犢）槡槡犇 犡犇 犢 犡，犢不相关， 犡，犢相关烅烄烆（ 量纲为， 无单位）【 例】设犡犝，（），犢 犡， 求犡 犢【 分析】（）性质 （犡，犢） （犢，犡） （犪 犡，犫
21、犢）犪 犫 （犢，犡） （犡犡，犢） （犡，犢） （犡，犢）狘犡 犢狘 犡 犢 犘犢犪 犡犫（犪）犡 犢 犘犢犪 犡犫（犪）考试时：犢犪 犡犫，犪 犡 犢 犢犪 犡犫，犪 犡 犢 【 小结】五个充要条件：犡 犢 （犡，犢） 犈（犡 犢）犈 犡犈 犢犇（犡犢）犇 犡犇 犢犇（犡犢）犇 犡犇 犢犡，犢独立犡 犢 若（犡，犢）犖犡，犢独立犡，犢不相关（犡 犢）26二、 综合题解析求，用【 例】试验成功的概率为， 失败的概率为， 独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数犡的犈 犡【 分析】27【 例】犜为连续型，狋， 满足犘 （犜狋） 狋（）狋，求犈 犜，犇 犜【 分析】28【 例】设犡，犢独立，犡犖
22、，（），犢犖，（）， 求犇（狘犡犢狘）【 分析】【 例】 取自 年真题数学一（ ）题（ 数学三（ ）题）第（）问设随机变量犡与犢相互独立，犡的概率分布为犘犡犘犡，犢服从参数为的泊松公布， 令犣犡 犢求 （犡，犣）【 分析】【 例】将一枚硬币重复掷狀次， 以犡和犢分别表示正面向上、 反面向上的次数， 则犡 犢【 分析】29【 例】犡 犢 ，犣犡 ， 则犢 犣【 分析】【 例】狀个考生的录取通知书装入狀个信封， 然后在每个信封上随意写上一个考生的姓名和地址发出， 以犛狀表示狀个考生中收到自己通知书的人数， 求犇 犛狀【 分析】30【 例】 设犈 犡犈 犢，犇 犡，犇 犢，犡 犢 ， 则根据切比雪夫
23、不等式， 知犘狘犡犢狘 【 分析】【 例】截至 年 月 日上海世博会参观人数超过 万人， 游园最大的痛苦就是人太多， 设游客到达中国馆有三条路径， 沿第一条路走小时到达； 沿第二条路走小时又回到原处； 沿第三条路走小时又回到原处， 游客等可能选其中一种路径， 求游客平均要用多少时间到达中国馆， 求犈 犡【 分析】31第五讲大数定律与中心极限定理综述 收敛 三个定律， 两大定理 一、 依概率收敛设犡狀为一狉狏序列，犡为一狉，狏（ 或犪为常数） ，若， 恒有 狀犘狘犡狀犡狘 或 狀犘狘犡狀犪狘 ，则称犡狀依概率收敛于犡或犪， 记：犡狀犘犡或犡狀犘犪【 例】设犡狀 ，犡狀犳狀（狓）狀（狀狓）， 狓，
24、 证明犡狀犘， 即 狀犘狘犡狀 狘 【 分析】二、 大数定律 切比雪夫大数定律设犡狀 （狀， ）是相互独立的随机变量序列， 若方差犇 犡犽存在且一致有上界， 则32狀狀犻 犡犻犘狀狀犻 犈 犡犻犈狀狀犻 犡（）犻一致有界皆有共同的上界， 与犽无关 伯努利大数定律设狌狀是狀重伯努利试验中事件犃发生的次数， 在每次试验中犃发生的概率为狆， 则狌狀狀犘狆 辛钦大数定律设犡狀是独立同分布的随机变量序列， 若犈 犡狀存在， 则狀狀犻 犡犻犘【 注】在满足一定条件的基础上， 所有大数定律都在讲一个结论狀狀犻 犡犻犘犈狀狀犻 犡（）犻【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 设犡，犡， ，犡狀， 是相
25、互独立的随机变量序列，犡狀服从参数为狀的指数分布（狀） ， 则下列随机变量序列中不服从獉獉獉切比雪夫大数定律的是（）（）犡，犡， ，狀犡狀， （）犡，犡， ，犡狀， （）犡，犡， ，狀 犡狀， （）犡，犡， ，狀犡狀， 【 分析】33【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 设随机变量序列犡，犡， ，犡狀， 相互独立， 根据辛钦大数定律， 当狀 时，狀狀犻 犡犻依概率收敛于数学期望， 只要犡狀 （狀） （）（）有相同的数学期望（）服从同一离散型分布（）服从同一泊松分布（）服从同一连续型分布【 分析】【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 设总体犡服从参数为的指数分布，犡，犡， ，
26、犡狀为来自总体犡的简单随机样本， 则当狀时，犢狀狀狀犻 犡犻依概率收敛于【 分析】34三、 中心极限定理（狀 ）不论犡犻犻 犻 犱犉（，） ，犈 犡犻，犇 犡犻狀犻 犡犻狀犖（狀，狀 ）狀犻 犡犻狀槡狀 狀犖（，）即 狀犘狀犻 犡犻狀槡狀 烅烄烆烍烌烎狓（狓）【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 习题 设犡，犡， ，犡狀， 为独立同分布随机变量序列， 且均服从参数为（）的指数分布， 记（狓）为标准正态分布函数， 则（）（） 狀烅烄烆犘狀犻 犡犻狀 槡狀 烍烌烎狓（狓）（） 狀烅烄烆犘狀犻 犡犻狀 槡狀 烍烌烎狓（狓）（） 狀烅烄烆犘狀犻 犡犻狀槡狀 烍烌烎狓（狓）（） 狀烅烄烆犘狀犻 犡
27、犻狀槡 烍烌烎狓（狓）【 分析】35第六讲数理统计综述 总体与样本 统计量 统计量的数字特征 点估计与评价标准 统计量的分布（ 数一、 数三， 见讲第讲的二维码讲解） 区间估计与假设检验（ 仅数一， 见讲第讲的二维码讲解）一、 总体与样本 总体犡犉（狓） 样本 简单随机样本犡犻犻 犻 犱犉（狓）二、 统计量抽取犡，犡， ，犡狀犵（犡，犡， ，犡狀）叫统计量常用统计量（）样本均值犡狀狀犻 犡犻；（）样本方差犛狀狀犻 （犡犻犡）狀（狀犻 犡犻狀犡）；样本标准差犛狀狀犻 （犡犻犡）槡；（）样本犽阶原点矩犃犽狀狀犻 犡犽犻（犽， ） ；（）样本犽阶中心矩犅犽狀狀犻 （犡犻犡）犽（犽， ）36（）顺序统
28、计量将样本犡，犡， ，犡狀的狀个观测量按其取值从小到大的顺序排列， 得犡（）犡（）犡（狀）随机变量犡（犽）（犽， ，狀）称作第犽顺序统计量， 其中犡（）是最小观测量， 而犡（狀）是最大观测量：犡（） 犡，犡， ，犡狀，犡（狀） 犡，犡， ，犡狀三、 统计量的数字特征【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 设犡，犡， ，犡狀狀（）为独立同分布的随机变量， 且均服从正态分布犖，（），记犡狀狀犻 犡犻，犢犻犡犻犡，犻， ，狀求：（）犢犻的方差犇 犢犻，犻， ，狀；（）犢与犢狀的协方差 犢，犢（）狀；（）犘 犢犢狀 【 分析】37四、 点估计和评价标准 矩估计（） 对于一个参数， 用犡 令犈
29、犡【 例】 设犡犳（狓，）（）狓，狓，其他烅烄烆，未知， 求的矩估计量犡犈 犡狓 犳（狓，）狓狓（）狓狓狓 ，令犡犡犡（） 对于两个参数， 用犡 令犈 犡，狀狀犻 犡犻 令犈（犡）烅烄烆【 例】 设总体犡犳（狓，）（狓），狓，狓烅烄烆， 由样本犡，犡， ，犡狀， 求，的矩估计量【 分析】38 最大似然估计“ 参数？ 时， 观测值出现的犘最大”（） 写犔（狓，狓， ，狓狀，）狀犻 狆（狓犻，） ，狀犻 犳（狓犻，）烅烄烆（） 令犔 令或 犔 令 【 例】 设犡的分布律为犡（）烄烆烌烎，其中（）是未知参数， 从总体犡中抽取容量为的一组样本， 其样本值为， 求的矩估计值和最大似然估计值【 分析】【
30、例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 第（） 问设总体犡在区间， 上服从均匀分布，犡，犡， ，犡狀是取自总体犡的简单随机样本，犡狀狀犻 犡犻，犡（狀） 犡，犡， ，犡狀求的矩估计量， 最大似然估计量【 分析】39 估计量的评价（） 无偏性给出， 若犈 ， 称为的无偏估计量（） 有效性若犈 ，犈 ， 当犇 犇 时， 称比有效（） 一致性（ 相合性） （ 只针对大样本狀 ）若为的估计量， 当， 有 狀犘狘狘 ，或 狀犘狘狘 ，即狆时， 称为的一致（ 相合） 估计【 例】 取自 张宇概率论与数理统计讲 ， 例 设总体犡在区间， 上服从均匀分布，犡，犡， ，犡狀是取自总体犡的简单随机样本，犡狀狀犻 犡犻，犡（狀） 犡，犡， ，犡狀（） 求的矩估计量， 最大似然估计量；（） 求常数犪，犫， 使犪犡，犫 犡（狀）均为的无偏估计， 并比较其有效性；（） 应用切比雪夫不等式， 试证，均为的一致（ 相合） 估计【 分析】40【 例】 取自 年真题数学一（ ） 题（ 数学三（ ） 题） 改编题设总体犡的概率密度为犳（狓；）狘狓狘， 狓，其中（，） 为未知参数，犡，犡， ，犡狀为来自总体犡的简单随机样本， 记的最大似然估计量为（） 求；（） 求犈 和犇 （） 是否存在实数犪， 使得对于， 都有 狀犘狘犪狘 ？【 分析】41
