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1、第六章 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件1 流体微团运动法分析2 速度环量和漩涡强度3 速度势和流函数5 基本的平面势流6 有势流动叠加7 理想流体的漩涡运动理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件61 流体微团运动分析流体微团的运动：平移 转动 变形转动平移理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件变形角变形线变形理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件一.平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四
2、边形移到 a、b、c d，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydybacdy理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件二.线变形在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各点的速度不同，经过t时刻后由b点的 和d点 的作用下，会产生线变形。 xabcdyuvbacd理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用 表示。由定义有：三个方向的线变形理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。 三.角变形b
3、acdabcdyuv理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用 表示。由定义有：为三个平面内的角变形理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 四.转动：假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度dbacabcduv理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以表示。代入和理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 有或当 称无旋流或势流。称有旋流或涡流。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身
4、轴转动。例：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例：如图所示，流体各个微团以速度 解：平行于x轴作直线流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2 速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度 的方向重合。由涡线定义得涡线方程：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2.涡管 在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管
5、，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度 是变化的。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件二.漩涡强度： 在涡量场中任取一微元面积 ， 上流体质点的旋转角速度向量为 ， 为 的法线方向，微元面积上的漩涡强度用 表示定义：A对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件当 在A上均布,则有：称为涡通量漩涡强度 等于2倍的涡通量。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件三、速度环量定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，在该曲线上取一微元段为沿微元线段 上的环量。与 之间的夹角为，则称AB理想不可压缩流体的平面势流
6、和旋涡运动课件曲线AB上的环量为： 若曲线AB是封闭曲线，则环量为：L理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件将矢量 、 分别 表示：故对封闭周线 L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。 例：不可压缩流体平面流动的速度分布为 ，求绕圆 的速度环量。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件解：积分路径在圆上，有理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度 ，等于该面积的边界L上的速度环量。Stoke
7、s law 将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 1.微元面积的 stokes law 证明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 沿A、B、C、D的速度环量为 由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：将各点速度代入整理，有：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 stokes 定理得证。（水平面）2.有限单连域的 stokes law:将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积，理想不可压缩流
8、体的平面势流和旋涡运动课件求出每条边 ，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线 L的环量。L理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 此式即为有限大单连域 stokes 定理。即：此定理也可用于复连域：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 L1L2AStokes law 说明，速度环量不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 问题：沿封闭周线L的环量为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否 只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量
9、皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度 水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求若封闭周线取为圆？1234理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例2：求有间断面的平行流的速度环量？1234Lbu1u2理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例3：龙卷风的速度分布为 试根据 stokes law 来判断是否为有旋流动。时时如图，当 ，流体以象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件在 区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或
10、势涡。自由涡rr0强制涡复合涡理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件分别讨论自由涡和强制涡。在 区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量:ABCDr1r2r0p强制涡：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件式中 为扇形ABCD的面积即 有旋由于p是任取的，故这一结果可推广到强制涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流。讨论自由涡：在 区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件ABCDr1r2r0p由于ABCD是任取的，故此结论可推广到自由涡中任一区域。结论：龙卷风的风眼是有旋的，风眼外是无旋的。理想不可压缩流
11、体的平面势流和旋涡运动课件例：设二元流的速度为：问：1）流动是否存在？ 2）流动是否有旋？ 3）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例：已知速度场 求以所围正方形的。1111理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例：设在（1，0）点置有0的涡，在（1，0）点置有0的旋涡，求沿下例路线的。001）2）3）4）理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件3 速度势和流函数一、平面流动二、速度势函数1.势函数存在的条件：垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动。对无旋流此条件可写成：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件此条件称柯西黎曼条件由高数知识可知
12、，柯西黎曼条件是使成为某一个函数全微分的充要条件，即理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件而当 t 为参变量，的全微分为比较两式有：柱坐标理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。 把 称为速度势函数简称势函数用势函数表示速度矢量：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2、势函数的性质 1）流线与等势面垂直证：令 为等势面，在其上任取一微元线段 ， 上的速度为 ,求两者点积理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 在等势面上， 故 即 速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。2
13、）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量。3）与之间的关系理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关。 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 若函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零。4）在不可压流体中，势函数是调和函数由连续性方程：有：满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 三、流函数1、流函数的定义：在不可压流体的平面流中，应满足即由高数知识可知，此式是使 成为某一个函数 全微分的充要条件，即理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 而
14、的全微分又可表示为：比较两式有极坐标称为流函数。只要流动存在，无论而理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流函数。2、流函数的特性：1）流函数 与流线的关系：的等值线是平面上一条流线。证明：由流线方程：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 而即故 时 c 是流线方程的解,它是平面上一条流线。注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中。2）流函数 与流量Q的关系： 流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 流线ABV由此结果可知： 两流线之间流量保持不变，与曲线AB的起始点无关，若AB本身就
15、是一条流线，则通过AB的流量为零。若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 3）流函数与势函数的关系：对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是a:b: 等线与等线垂直前已证明，流线与等势面垂直，而 的线是流线故等线与等线垂直。流网理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 代入 4）在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数。对平面无旋流将有：满足拉普拉斯方程，故 是调和函数。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例1： 不可压缩平面流动的速度势为 ，求在点（2，1.5）处速度的大小。解 由速度势的定义求出理想不可压缩流体的平面势流和旋
16、涡运动课件例2：设二元流动的速度场为求 1)流动是否存在？是否有旋？ 2）？ 3）？ 4）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例3：已知流场的流函数试问 1) 是否存在 ？ 2）求出通过 A(2,3)和 B(4,7)任意曲线的流量和沿曲线的环量。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例4：已知试问 1)流动是否存在？ 2）流动是否有势？ 3）？ ？ 4）求沿 的及通过此曲线的流量Q。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件6-4 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示一、复位势与流函数、势函数间的对应关系流函数与势函数的关系 这正是柯西-黎曼条件。
17、复变函数的理论， 和 可以组成以复变量 为自变量的一个复变函数。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件它的导数为 被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数。 被称为复速度，实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件二、复位势的性质1. 两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。2. 复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动。3. 两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件三、势流叠加原理势函数速度理想不可压缩流体
18、的平面势流和旋涡运动课件5 基本的平面有势流动势流叠加原理: 由于函数和函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用来描述一个新的有势流动即函数和函数可叠加，叠加后仍是无旋流。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件一、均匀直线流动 平行流有几种情况：如图 xyyxvuxyc=c理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件讨论一般情况：1、速度场可分解成2、与由积分有:理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件3、求流线同理:令 有解得:流线是斜线斜率是理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件点z相同，有 即全流场压力为常数如0，流线平行与x轴,如90流线平行与y轴
19、，4、压力分布平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有在水平面上，各理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件二、平面点源和点汇理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件点源：单位时间内通过一半径为 的圆周流出流量 当 时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度。1.点源的速度场由与r 成反比。 为源， 为汇。只有径向流动理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2.点源势函数和流函数由0积分 当const，即 r=const，等势线为一族同心圆。当 ， 故源点是奇点，不讨论。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件流函数由0积分 const 为流线，即=co
20、nst，流线是半射线。等线与等线正交。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件3.点源的压力分布在源上任取一点与无穷远处写能量方程将 ， 代入 有P与r成抛物线正比。r p ; r pr0rp理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件三、点涡点涡：无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。这种流动也称纯环流。若设点涡的强度为 则在半径r处由点涡所诱导的速度为 而 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件1.速度分布：因为由环量定义理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2.势函数流函数：积分令const，即 const，等势线是半射线。0同理可求：
21、理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件积分令const 为流线，即r const ，流线是圆周线。如图示。3.压力分布0此种流动是复合涡的情况，单独讨论。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件四：二元涡所谓二元涡就是前面讨论的强迫涡加自由涡，也即复合涡的问题。rr0强制涡复合涡自由涡理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件1.速度分布前面已讨论过涡核内外的速度分布： 与半径成正比如图。由于 这部分流体有旋。与半径r成反比。涡内：涡外：在 时当 不变 处的 为常数理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2、压力分布：自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中任
22、取一点与无穷远处写伯努利方程：忽略位能若则将 代入在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线）理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件越靠近涡核，压力越小，当 时涡核边缘处与无穷远处的压力差为理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件涡核内的压力分布涡核内是有旋的，能量方程只对流线成立，故只能从原始的运动方程入手导出压力分布，其结论为：将代入即在涡核内压力分布也是抛物线理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件此时 是常数，若设涡核中心点为c，当漩涡中心点的压力涡核边缘与涡核中心的压降为与自由涡压降相等理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件由以上推导可知：涡核中心的压力低于无穷远处的压力，差值为在
23、漩涡区内，压力急剧下降，在漩涡中心产生一个很大的吸力，对涡外的物体具有抽吸作用。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件6 有势流动叠加一、点源流和直线流的叠加1、势函数流函数：为新的有势流理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件3、驻点：2、速度场令解得驻点在x负轴上4、流线： 令 c 得流线理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件解得流线方程为：当给出一个角，对应一个距离r，如图理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件驻点理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件过驻点的流线上几个特殊点的确定：由数学知识故过驻点此时 最大开口当当当上下对称理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件由于流线不能
24、相交，此条流线可以模拟有头无尾的半物体的固体边界线。二、点涡点汇（螺旋流）势函数：流函数：流线方程：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件 等势线族和流线族是两组互相正交的对数螺旋线族，故称为螺旋流。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件三、偶极子流 将强度为Q的点汇放在坐标原点的右边，强度为Q的点源放在坐标原点的左边， 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件当两点无限靠近所形成的流动称偶极流。 1、函数、函数式中 M 称为偶极矩，为常数.理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件分别令 c 和 =c 可得流线和等势线。如令=c 有:解得：这是圆心在y轴上，与原点相切，半径为 的圆，圆心在
25、理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件=ccxy这种流动就好像流体在一个圆柱里面流动，故用偶极流来模拟圆柱表面。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件四、均匀流绕圆柱体无环量流动将均匀直线流和偶极子叠加,可模拟平行流绕圆柱体的流动.零流线理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件1.流函数和势函数势函数流函数令 称为零流线，有解得：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件零流线是由x轴和以原点为圆心，半径为 的圆组成，由于流线不能相交，故可把零流线模拟圆柱的固体表面。由有代入、表达式：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件2、速度场在圆柱面上径向速度为零，说明流体没有脱离圆柱表面，紧贴在柱
26、面上。切向速度满足正弦函数关系，与半径无关。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件当 和 时，即 是驻点当 时，柱面上的速度以 x 轴 y 和轴对称。3、环量在流场中围绕圆柱体任取一封闭周线做环量：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件故称平行流绕圆柱的流动为无环流。4、压力分布在圆柱面上任取一点与无穷远点写能量方程：式中故理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件用压力系数 来表示压力分布与 r无关在柱面上，当 和 时，当 时，压力按正弦函数分布，上下对称（x轴）理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件左右对称（y轴），在圆柱面上的合力为零。如图：箭头朝外 为负，箭头朝里 为正。理想不可压
27、缩流体的平面势流和旋涡运动课件在圆柱面上取一微元面积 ，其上作用的力为 ， 可分解为将 代入上两式积分理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件即在圆柱体上既无垂直来流的升力，也无与来流平行的阻力。这一理论推导的结果与实际情况矛盾，称为“达朗贝尔疑题”。没有阻力的原因是没有考虑流体的粘性所引起的摩擦力;没有升力是由于物体的对称性，使得流场相对于x轴对称。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件五、均匀流绕圆柱体有环量流动由平行流偶极子环流组成,可模拟平行流绕旋转圆柱的流动.理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件1.求、势函数：流函数：2.速度场理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件在柱面上径
28、向速度为零，说明流体没有脱离柱面，物体表面仍是一条流线。求驻点：令 有有如图三种情况：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件a.柱面上有两个驻点 b.柱面上有一个驻点 c.柱面上没有驻点，驻点在流场中。理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件3.压力分布：在圆柱面上任取一点与无穷远点写能量方程：式中故作用在圆柱上的合力：理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件如图：即这就是著名的儒可夫斯基升力定理。由此可知绕圆柱的有环流无阻力但有升力无阻力的原因仍是没有考虑粘性。有升力的L-圆柱体长度理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件原因是流场相对于x轴不对称，在圆柱体的上表面，平行流与环流的速度同向，和速度增加，压力下降；在圆柱体的下表面，平行流与环流的速度反向，和速度下降，压力增加，故作用在圆柱体上有一个向上的力。升力方向的确定：将来流速度 的方向逆 的方向转90，即为升力的方向理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件机翼压机翼压强分布强分布理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件例：直径为1.2m，长为 50m 的圆柱体以90 r/min 绕其轴顺时转动，空气流以80 km/h 的速度沿与圆柱体轴相垂直的方向绕流柱体。试求速度环量、升力大小及方向。设流体是理想流体理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动课件
