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1、 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征习题课习题课4（下）（下）上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 习题课习题课4分为上、下两部分分为上、下两部分. 在在 上部分上部分中中, 我们归纳了第四章的概念、理论与我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容方法等内容, 并对关键而又容易出错的地方作并对关键而又容易出错的地方作了讲评了讲评. 在在“例题分类解析例题分类解析”部分部分, 讲解了讲解了: 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望直接按定义计算随机变量的数学期望; 2. 利用利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算数学期望的性质及常见分布的期望进行计算. 3. 直接按
2、定义计算随机变量的方差直接按定义计算随机变量的方差; 4.利用方利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算差的性质及常见分布的数字特征进行计算. 习题课习题课4（下）内容简介：（下）内容简介： 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在在下部分下部分中中, 在在“例题分类解析例题分类解析”部分，部分， 讲解讲解: 6. 一维随机变量函数的数字特征一维随机变量函数的数字特征; 7.二二维随机变量及其函数的数字特征维随机变量及其函数的数字特征; 8. 相关性与相关性与独立性问题独立性问题; 9. 有关数字特征的证明问题有关数字特征的证明问题. 介介绍了学习与研究方法绍了学习与研究方法.上
3、页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 6. 一维随机变量函数的数字特征一维随机变量函数的数字特征 分析分析 例例4.11 设设X表示表示10次独立重复射击命中目次独立重复射击命中目标的次数标的次数, 每次射中目标的概率为每次射中目标的概率为0.4 , 则则 的的数学期望数学期望 _. 解解 , 得到得到 所以所以 本题涉及二项分布及函数的数字本题涉及二项分布及函数的数字 特征特征. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 扩展扩展 本题可扩展到求本题可扩展到求X(X+1)的数学期望的数学期望 , 或考虑更为一般的形式或考虑更为一般的形式 讲评讲评 的灵活应用的灵活应用.
4、在解题中在解题中, 我们经常需要先计算我们经常需要先计算 本题考查方差公式本题考查方差公式 进而算得方差进而算得方差D(X) .但有时但有时, 如本例也如本例也可倒过来可倒过来, 借助常用分布的期望和方差来计借助常用分布的期望和方差来计算某些随机变量函数的数字特征算某些随机变量函数的数字特征. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例 4.12 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的指数的指数分布分布, 求求 分析分析 本题涉及一维随机变量函数的数本题涉及一维随机变量函数的数学期望的计算学期望的计算. 解解 由题设可知由题设可知X的概率密度的概率密度 于是于是 因此因此,
5、 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 本题主要考查随机变量函数的期望本题主要考查随机变量函数的期望公式公式再次强调指出再次强调指出, 书写时不要出现类似书写时不要出现类似这样的低级错误这样的低级错误. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 扩展扩展 的的 随机变量随机变量X的函数的函数 数学期望为数学期望为 使我们可以直接使我们可以直接计算计算Y的期望的期望, 而不必求其分布而不必求其分布. 7. 二维随机变量及其函数的数字特征二维随机变量及其函数的数字特征 的分布律为的分布律为 例例4.13 设设 和和 是相互独立且服从同一分是相互独立且服从同一分布的两个
6、随机变量布的两个随机变量, 已知已知 又设又设 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1) 写出二维随机变量写出二维随机变量 (X,Y)的分布律的分布律; (2) 求求 分析分析 本题涉及二维离散随机变量的函数本题涉及二维离散随机变量的函数 的分布律和期望的分布律和期望 .解解 (1) 下面实际计算一下下面实际计算一下 注意到注意到 因此因此 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 类似地计算类似地计算, 可得可得 的分布律如下表的分布律如下表 332121 Y X000上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以 讲评讲评 和和 是两个是两个重要的随机变量
7、函数重要的随机变量函数. 对于离散型而言对于离散型而言, 由由独立独立通过通过穷举法穷举法即可得到其分布律即可得到其分布律, 进而可得边缘进而可得边缘分布律及所需数字特征分布律及所需数字特征. (2) 由由 的分布律可得关于的分布律可得关于X的的321X边缘分布律边缘分布律上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回扩展扩展 本题可扩展成求本题可扩展成求 等等. 和和 例例4.14 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求 分析分析 由于概率密度中含有待定参数由于概率密度中含有待定参数, 所以应首先根据所以应首先根据求得求得A. 上页上页下页下页返回返回上页上页下
8、页下页返回返回 解解 由由 得得 因此因此, 于是有于是有利用对称性利用对称性,有有 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由于由于 所以所以, 协方差协方差 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在二维随机变量的数字特征计算在二维随机变量的数字特征计算中中,一定要注意二重积分的一定要注意二重积分的“有效积分区域有效积分区域”.同时同时, 熟悉一些基本的积分结果将有助于提熟悉一些基本的积分结果将有助于提高我们计算连续型随机变量数学期望的速度高我们计算连续型随机变量数学期望的速度和准确性和准确性. 如本题中的如本题中的 扩展扩展 讲评讲评 本题比较全面地考查了二维随机本题比
9、较全面地考查了二维随机变量的数字特征变量的数字特征. 例例4.15 设设X和和Y是相互独立且服从正态是相互独立且服从正态分布分布 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回的两个随机变量的两个随机变量, 则则 _. 分析分析 注意到相互独立的正态随机变量的注意到相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布线性函数仍服从正态分布, 得得 X,Y的分布是确的分布是确 解解 记记U=X- -Y, 则则 由此可知由此可知 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 类似本题这样的问题利用正态类似本题这样的问题利用正态随机变量的良好性质可以简化计算随机变量的良好性质可以简化计算.
10、于是于是 扩展扩展 本题可扩展成考虑更为一般的本题可扩展成考虑更为一般的期望问题期望问题,形如形如 以及以及 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 8. 相关性和独立性问题相关性和独立性问题 例例4.16 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)服从二维正态服从二维正态分布分布, 则随机变量则随机变量与与 不相关的不相关的充分必要条充分必要条( ). (A) (B) (C) (D) 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 分析分析 本题涉及协方差的计算本题涉及协方差的计算, 因为因为不相关等价于协方差为零不相关等价于协方差为零. 解解 而而 等价于等价于 与与 不相关不相关
11、, 所以选所以选( (B). 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 相关系数相关系数(相关性相关性)是二维随机是二维随机变量的一个重要数字特征变量的一个重要数字特征. 扩展扩展 本题可扩展为进一步考虑本题可扩展为进一步考虑 与与 的独立性的独立性. (A) 不相关的充分条件不相关的充分条件, 但不是必要条件但不是必要条件. (B) 独立的充分条件独立的充分条件, 但不是必要条件但不是必要条件. 例例4.17 设随机变量设随机变量X和和Y的方差存在且不的方差存在且不是是X与与Y ( ).等于等于0, 则则 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(C) 不相关的充分
12、必要条件不相关的充分必要条件.(D) 独立的充分必要条件独立的充分必要条件. 分析分析 两个随机变量不相关的充要条件是两个随机变量不相关的充要条件是它们的相关系数为零它们的相关系数为零, 而后者只是两个随机变而后者只是两个随机变量立的必要条件量立的必要条件. 解解因为因为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回故选项故选项(C)正确正确. 所以所以X 和和Y 不相关的充分必要条件是不相关的充分必要条件是 即即 讲评讲评 注意随机变量注意随机变量X 和和Y 的独立性仅是的独立性仅是 的充分条件的充分条件. 扩展扩展 事实上事实上, 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 分析分
13、析 本题涉及知识点很多本题涉及知识点很多, 包括期望、包括期望、方差和相关系数及独立性等方差和相关系数及独立性等. 例例4.18 已知随机变量已知随机变量 且且X与与Y的相关系数的相关系数设设 (1) 求求 和和 (2) 求求X与与Z的相关系数的相关系数 (3) 问问X与与Z是否相互独立是否相互独立? 为什么为什么? 解解 (1) 由于由于 所以所以 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回而而 因此因此 (2) 由于由于上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回所以所以 (3) 由由 知知X与与Z不相关不相关, 因因Z不一定服不一定服从正态分布从正态分布,( X, Z ) 更不
14、一定服从正态分布更不一定服从正态分布,X与与Z不一定相互独立不一定相互独立. 讲评讲评 性质性质, 如如“相互独立的正态随机变量的线性相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布函数仍服从正态分布”, “二维正态随机变二维正态随机变量不相关和独立是等价的量不相关和独立是等价的”等等. 这些结果可这些结果可以简化问题的计算以简化问题的计算. 正态随机变量具有一些非常好的正态随机变量具有一些非常好的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 扩展扩展 . 9. 有关数字特征的证明问题有关数字特征的证明问题 分析分析 事实上事实上 就是一个以就是一个以C为参为参 数的数的二次函数二次函数.
15、. 证证 由于由于 本题可扩展为考虑随机变量本题可扩展为考虑随机变量X和和 的独立性如何依赖的独立性如何依赖X与与Y的的相关相关系数系数 在在 例例4.19 设设X是随机变量是随机变量, C是常数是常数, 证明证明处取得最小值处取得最小值 函数函数 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 取得最小值取得最小值 等号仅当等号仅当 时成立时成立, 所以所以 在在 处处 讲评讲评 意义意义, 即方差即方差 是函数是函数 本题从另一个侧面揭示了方差的本题从另一个侧面揭示了方差的在在 处取最小值处取最小值.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 扩展扩展 本问题可扩展为考虑二元函数本
16、问题可扩展为考虑二元函数 的极值问题的极值问题. 分析分析 本题涉及随机变量的方差的性质本题涉及随机变量的方差的性质. 证证 由于由于 所以所以 从而有从而有 例例4.20 证明证明: 对于任意两个随机变量对于任意两个随机变量X和和Y,则有则有 若若 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 扩展扩展 关系式关系式 即即X和和Y不相关不相关. 例例4.21 对于任意二事件对于任意二事件A,B, 讲评讲评 与数学期望不同与数学期望不同,随机变量的方差不随机变量的方差不是线性的是线性的. 只有当随机变量只有当随机变量 X和和Y独立或独立或不相关时才有不相关时才有上页上页下页下页返回返回上页
17、上页下页下页返回返回称做称做事件事件A和和B的相关系数的相关系数. (1) 证明事件证明事件A和和B相互独立的充分相互独立的充分 必要条件是其相关系数等于零必要条件是其相关系数等于零;(2) 利用利用随机变量相关系数随机变量相关系数的基本性质证明的基本性质证明 1 . 分析分析 这里定义了随机事件的相关系数这里定义了随机事件的相关系数, 并讨论了它的某些性质并讨论了它的某些性质. 证证 (1) 由由 的定义可知的定义可知 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回即二事件即二事件A和和B独立独立. 因此因此 是是A和和B独立的充分必要条件独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量考虑随机变
18、量 由条件知由条件知,X,Y都服从都服从0- -1分布分布 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本题考查了本题考查了0-1分布的数字特征分布的数字特征的计算的计算. 考查学生的应变能力考查学生的应变能力. 随机事件的随机事件的指示函数的作用指示函数的作用. 于是于是. 这样这样, 可知随机事件可知随机事件A和和B的相关系数就的相关系数就等于随机变量等于随机变量X和和Y的相关系数的相关系数. 因此因此 1. 讲评讲评 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回. 借助于形如借助于形如这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙地转化为关于随机变量的
19、讨论地转化为关于随机变量的讨论. 这种方法值这种方法值得重视得重视. 可以扩充到两个随机事件的指示函数可以扩充到两个随机事件的指示函数讨论问题讨论问题. . 扩展扩展 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.22 设设A,B是二随机事件是二随机事件, 随机变量随机变量 试证明随机变量试证明随机变量X和和Y不相关的充要条件是随不相关的充要条件是随机事件机事件A和和B相互独立相互独立. 分析分析 本问题涉及随机变量的相关性和本问题涉及随机变量的相关性和随机事件的独性随机事件的独性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证 记记 由数由数学期望的定义有学期望的定义有注意
20、到注意到 XY的可能取值为的可能取值为- -1,1,又又 因此因此 从而从而 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由此可见由此可见 即即 故故X和和Y不相关的不相关的充要条件是充要条件是A和和B相关独立相关独立. 讲评讲评 扩展扩展 关系是一个非常重要的问题关系是一个非常重要的问题, 在以往研究生在以往研究生考试中曾多次涉及考试中曾多次涉及, 参见第三节历年考研真参见第三节历年考研真题详解题详解. 随机变量的独立性和不相关性的随机变量的独立性和不相关性的概念和随机事件独立的概念概念和随机事件独立的概念. 切记切记, 相互独立相互独立的随机变量一定是不相关的的随机变量一定是不相关的,
21、 但反之不然但反之不然. 本题考查了随机变量的不相关的本题考查了随机变量的不相关的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 10. 应用题应用题 例例4.23 假设一部机器在一天内发生假设一部机器在一天内发生故障的概率为故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止机器发生故障时全天停止工作工作. 若一周若一周5个工作日里机器无故障企业可个工作日里机器无故障企业可获利获利10万元万元; 机器发生一次故障企业仍可获机器发生一次故障企业仍可获利润利润5万元万元; 机器发生二次故障企业所获利润机器发生二次故障企业所获利润0元元; 机器发生三次或者三次以上故障企业就机器发生三次或者三次以上故障企
22、业就亏损亏损2万元万元, 求一周内企业期望利润是多少求一周内企业期望利润是多少?上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 分析分析 本题涉及离散型随机变量函数的本题涉及离散型随机变量函数的数学期望数学期望. 易知一周内发生故障的次数易知一周内发生故障的次数服从二项分布服从二项分布, 而所获利润是它的函数而所获利润是它的函数. 解解 以以X表示一周表示一周5天内机器发生故障天天内机器发生故障天数数, 则则X服从参数为服从参数为5, 0.2的二项分布的二项分布 于是于是上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 以以Y表示所获利润表示所获利润, 则则因此因此 =5.216(万元万元)
23、. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 扩展扩展 正确建立函数关系的能力正确建立函数关系的能力. 题型是题型是: X服从已服从已知分布知分布, Y是是X的分段函数关系的分段函数关系, 计算计算E(Y). 本题主要考查在实际应用问题中本题主要考查在实际应用问题中本问题很具有代表性本问题很具有代表性, 其方法可扩其方法可扩展到展到X是其它离散型随机变量是其它离散型随机变量. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4.24 假设由自动生产线加工的某种零件假设由自动生产线加工的某种零件 的的内径内径X (单位单位: mm)服从正态分布服从正态分布 内径内径小于小
24、于10或大于或大于12为不合格品为不合格品,其其 余为合格品余为合格品.销售每件合格品获利销售每件合格品获利,销售每件不销售每件不合格品亏损合格品亏损.已知销售利润已知销售利润T (单位单位:元元)与销售零与销售零 件的内径件的内径X有如下关系有如下关系:问平均内径问平均内径 取何值时取何值时, 销售一个零件销售一个零件的平均利润的平均利润最大最大? 并求出平均利润的最大值并求出平均利润的最大值. 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 分析分析 本题是一道综合题，既涉及到随机本题是一道综合题，既涉及到随机变量的数学期望的计算变量的数学期望的计算, 又要用到又要用到导数求最值导数求最
25、值. 解解 由于由于 所以所以 销售一个零件的平均利润为销售一个零件的平均利润为 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因为因为 得得 令令 解得解得 容易验证容易验证 是是 的最大值点的最大值点,即当即当 mm时时, 销售一个零件的平均利润最大销售一个零件的平均利润最大, 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回最大值为最大值为 讲评讲评 本题考查的是离散型随机变量的本题考查的是离散型随机变量的数学期望的计算数学期望的计算. 由于数学期望的计算结果由于数学期望的计算结果是是 的函数的函数, 因此需要利用导数来确定极因此需要利用导数来确定极值和最值值和最值. 扩展扩展 本问题
26、可以扩展到本问题可以扩展到X服从其它的连服从其它的连续型分布续型分布, 如指数分布等如指数分布等. 12.74(元元). 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 4.3 学习与研究方法学习与研究方法分析事物之间的关联程度分析事物之间的关联程度相关系数相关系数. 相关系数相关系数 表述了随机变量表述了随机变量X与与Y的线性相关程度的线性相关程度. 在在 2003年研究生入学考试题目中，年研究生入学考试题目中，称为事件称为事件A和和B的相关系数的相关系数. 事件事件A和和B独立的独立的充要条件是充要条件是参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成. 概率
27、论与数理统计概率论与数理统计. 大连理大连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏. 概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指 导书导书. 大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健. 光盘：概光盘：概率论与率论与数理数理 统计教案统计教案 作业与试作业与试卷及答案卷及答案 数学实验视频数学实验视频. 大大 连连理工大学出版社，理工大学出版社，2015年年8月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强. 概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验 教材教材. 中国科学技术出版社，中国科学技术出版社， 2007年年7月月. 联系方式联系方式：
