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1、第第2课时空间几何体的表面积和体积课时空间几何体的表面积和体积第第2课课时时空空间间几几何何体体的的表表面面积积和和体体积积考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考温故夯基温故夯基面对高考面对高考温故夯基温故夯基面对高考面对高考柱、锥、台和球的侧面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积2rhShr2hrl(r1r2)lChSh4R2思考感悟思考感悟对于不规则的几何体应如何求其体积？对于不规则的几何体应如何求其体积？提示：提示：对于求一些不规则几何体的体积，常对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解
2、决体进行解决考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一三视图与几何体的体积与表面积三视图与几何体的体积与表面积以以三三视视图图为为载载体体考考查查几几何何体体的的表表面面积积，关关键键是是能能够够对对给给出出的的三三视视图图进进行行恰恰当当的的分分析析，从从三三视视图图中中发发现现几几何何体体中中各各元元素素间间的的位位置置关系及数量关系关系及数量关系 (2010年高考天津卷年高考天津卷)一个几何体的三视一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为图如图所示，则这个几何体的体积为_例例例例1 1【思路分析思路分析】由三视图知，该几何体的上由三视图知，该几何
3、体的上面是一正四棱锥，下面是一正四棱柱面是一正四棱锥，下面是一正四棱柱【方法指导方法指导】对常见简单几何体及其对常见简单几何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形，数量关何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握系有什么特点等都应该熟练掌握(1)求球的表面积或体积，关键在于求半径求球的表面积或体积，关键在于求半径(2)画出轮廓图，画出相关的截面圆，把数量画出轮廓图，画出相关的截面圆，把数量关系集中到直角三角形中关系集中到直角三角形中(3)若球的半
4、径为若球的半径为R，截面圆半径为，截面圆半径为r，球心到截，球心到截面距离为面距离为d，则，则R2r2d2.考点二考点二球的表面积和体积球的表面积和体积例例例例2 2【思路分析思路分析】球心为几何体的中心，构造球心为几何体的中心，构造直角三角形来解决直角三角形来解决【解析解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为且侧棱与底面边长相等，均为a.【答案答案】B【方法指导方法指导】解决与球有关的组合体问解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截题，可通过画过球心的截面来分析例如，底面半面来分析例如，底面半径为径为r，高为，高为h的圆锥内部的圆锥内部
5、有一球有一球O，且球与圆锥的，且球与圆锥的底面和侧面均相切底面和侧面均相切过球心过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰作球的截面，如图所示，则球心是等腰ABC的内接圆的圆心，的内接圆的圆心，AB和和AC均是圆锥的母均是圆锥的母线，线，BC是圆锥底面直径，是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心是圆锥底面的圆心用同样的方法可得以下结论：用同样的方法可得以下结论：(1)长方体的长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；方体的棱长；球与
6、正方体的球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线体的面对角线(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径变式训练变式训练若设长方体的长、宽、高分别为若设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2方法技巧方法技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条
7、件中的已运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用知元素彼此离散时，我们可采用“割割”、“补补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、柱、锥、台台)，或化离散为集中，给解题提供便利，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的几何体的“分割分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之分割成若干个易求体积的几何体，进而求之方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟(2)几何体的几何体的“补形补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体与分割一样，有时为了
8、计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素角形、直角梯形求有关的几何元素失误防范失误防范1将几何体展开为平面图形时，要注意在将几何体展开为
9、平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开转体要沿一条母线剪开(如例如例3)2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正球
10、外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点切点”、“接点接点”作出截面图作出截面图(如例如例2)考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考考情分析考情分析考情分析考情分析从从近近几几年年的的广广东东高高考考试试题题来来看看，空空间间几几何何体体的的表表面面积积、体体积积等等问问题题是是高高考考的的热热点点，题题型型既既有有选选择择题题、填填空空题题，又又有有解
11、解答答题题，难难度度为为中中、低低档档客客观观题题主主要要考考查查由由三三视视图图得得出出几几何何体体的的直直观观图图，求求其其表表面面积积、体体积积或或由由几几何何体体的的表表面面积积、体体积积得得出出某某些些量量；主主观观题题考考查查较较全全面面，考考查查线线、面面位位置置关关系系，及及表表面面积积、体体积积公公式式，无无论论是是何何种种题题型型都都考考查学生的空间想象能力查学生的空间想象能力预测预测2012年广东高考仍将以空间几何体年广东高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻查学生的空间想象能力、运算能力
12、及逻辑推理能力辑推理能力例例例例真题透析真题透析真题透析真题透析【解析解析】如图所示，设正四棱锥如图所示，设正四棱锥SABCD的高的高SOh.【答案答案】C【名师点评名师点评】本题考查锥体的体积公式，本题考查锥体的体积公式，在求解中，利用导数求其最值，考生在求解在求解中，利用导数求其最值，考生在求解中易忽略高中易忽略高h的范围，这与学生平时考虑不的范围，这与学生平时考虑不严谨有关，试想该四棱锥体积有最小值吗？严谨有关，试想该四棱锥体积有最小值吗？名师预测名师预测名师预测名师预测答案：答案：B答案：答案：D4(2010年高考上海卷年高考上海卷)已知四棱锥已知四棱锥PABCD的底面是边长为的底面是边长为6的正方形，侧棱的正方形，侧棱PA底面底面ABCD，且，且PA8，则该四棱锥的，则该四棱锥的体积是体积是_答案：答案：96
