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1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解问题提出问题提出1. 1. 函数函数 有零点吗？你怎有零点吗？你怎样求其零点？样求其零点？2.2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于了三次和四次方程的求根公式，但对于高于4 4次的方程，类似的努力却一直没有成功次的方程，类似的努力却一直没有成功. . 到了十九世纪，根据阿贝尔（到了十九世纪，根据阿贝尔（AbelAbel）和伽罗）和伽罗瓦（瓦（GaloisGalois）的研究，人们认识到高于）的研究，人们认识到高于4 4次次的代数方程不存在求根公式，即不
2、存在用四的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于即使对于3 3次和次和4 4次的代数方程，其公式解的次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法. . 知识探究（一）知识探究（一）: :二分法的概念二分法的概念 思考思考1:1:有有1212个大小相同的小球，其中有个大小相同的小球，其中有1111个小球质量相等，另有一
3、个小球稍重，个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球用天平称几次就可以找出这个稍重的球？ 思考思考2:2:已知函数已知函数 在区间（在区间（2 2，3 3）内有零点，你有什么）内有零点，你有什么方方法求出这个零点的近似值？法求出这个零点的近似值？ 思考思考3:3:怎样计算函数怎样计算函数 在区在区间（间（2 2，3 3）内精确到）内精确到0.010.01的零点近似值？的零点近似值？ 区区间（a a，b b） 中点值中点值mf（m）的近的近似似值精确度精确度| |a- -b| |（2 2，3 3）2.52.5-0.084-0.0841 1（2.52.5，3 3）2.7
4、52.750.5120.5120.50.5（2.52.5，2.752.75）2.6252.6250.2150.2150.250.25（2.52.5，2.6252.625）2.562 52.562 50.0660.0660.1250.125（2.52.5，2.562 52.562 5）2.531 252.531 25-0.009-0.0090.06250.0625（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）2.546 8752.546 8750.0290.0290.031250.03125（2.531 252.531 25，2.546 8752.546 875）2.539
5、062 52.539 062 50.010.010.0156250.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813思考思考4:4:上述求函数零点近似值的方法叫上述求函数零点近似值的方法叫做做二分法二分法，那么二分法的基本思想是什，那么二分法的基本思想是什么？么？ 对于在区间对于在区间aa，bb上连续不断且上连续不断且f(a)f(a)f(bf(b) )0 0的函数的函数y=y=f(xf(x) )，通过不断，通过不断地把函数地把函数f(xf(x) )的零点所在的区间一分为的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，二，使区间的
6、两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法进而得到零点近似值的方法叫做二分法. . 知识探究（二）知识探究（二）: :用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤 思考思考1:1:求函数求函数f(xf(x) )的零点近似值第一步的零点近似值第一步应做什么？应做什么？ 思考思考2:2:为了缩小零点所在区间的范围，为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？接下来应做什么？ 确定区间确定区间 a,ba,b ，使，使 f(a)f(bf(a)f(b) )0 0 求区间的中点求区间的中点c c，并计算，并计算f(cf(c) )的值的值 思考思考3:3:若若f(cf(c)=0
7、)=0说明什么？说明什么？ 若若f(a)f(a)f(cf(c) )0 0或或f(c)f(c)f(bf(b) )0 0 ，则分，则分别说明什么？别说明什么？ 若若f(cf(c)=0)=0 ，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点； 若若f(a)f(a)f(cf(c) )0 0 ，则零点，则零点x x0 0(a,c)(a,c)；若若f(c)f(c)f(bf(b) )0 0 ，则零点，则零点x x0 0(c,b).(c,b).思考思考4:4:若给定精确度若给定精确度，如何选取近似，如何选取近似值？值？ 当当| |mn| |时，区间时，区间 m，n 内的任意一内的任意一个值都是函数零点的近似值个值
8、都是函数零点的近似值. . 思考思考5 5：对下列图象中的函数，能否用二对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？分法求函数零点的近似值？为什么？xyoxyo理论迁移理论迁移例例2 2 求方程求方程 的实根个数及的实根个数及其大致所在区间其大致所在区间. .例例1 1 用二分法求方程用二分法求方程 的近似的近似解（精确到解（精确到0.10.1）. .用二分法求函数零点近似值的基本步骤：用二分法求函数零点近似值的基本步骤：3. 3. 计算计算f(cf(c) )： （1 1）若）若f(cf(c)=0)=0，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点； （2 2）若）若f(a)f(
9、a)f(cf(c) )0 0 ，则令，则令b=cb=c，此时零点，此时零点x x0 0(a,c)(a,c)；（3 3）若）若f(c)f(c)f(bf(b) )0 0 ，则令，则令a=ca=c，此时零点，此时零点x x0 0(c,b).(c,b). 2. 2. 求区间求区间( (a,ba,b) )的中点的中点c c；1 1确定区间确定区间 a,ba,b ，使，使f(a)f(a)f(bf(b) )0 0 ，给，给定精度定精度；作业作业P P9292习题习题3.1A3.1A组：组：3 3，4 4，5 5题题 4. 4. 判断是否达到精确度判断是否达到精确度：若：若 ，则，则得到零点近似值得到零点近似值a a（或（或b b）；否则重复步骤）；否则重复步骤 2 24 4
