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1、 小波多分辨率分析及其应用n在前面几讲中，已初步建立了小波分析的理论框架，但要使小在前面几讲中，已初步建立了小波分析的理论框架，但要使小波变换在实际中得到应用，就必须发展一套快速小波变换算法，波变换在实际中得到应用，就必须发展一套快速小波变换算法，否则小波分析只能成为信号处理中的一种理论摆设。否则小波分析只能成为信号处理中的一种理论摆设。n1989年年Mallat和和Meyer提出了计算离散正交小波变换的快速算提出了计算离散正交小波变换的快速算法，从而为小波变换实现工程应用奠定了基础。而这一算法是法，从而为小波变换实现工程应用奠定了基础。而这一算法是建立在多分辨率分析的基础之上，因此这里先介绍
2、多分辨率分建立在多分辨率分析的基础之上，因此这里先介绍多分辨率分析的理论与方法。析的理论与方法。n多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它从函数多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示空间的高度研究函数的多分辨率表示将一个函数表示将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。更重要的为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。更重要的是，多分辨率能够提供一种构造小波的统一框架，并且是，多分辨率能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。能够提供函数分解与重构的快速算法。定义：多分辨率分析（定义：多分辨率分析（Multire
3、solution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想）是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。非侧重处理作为个体的函数。基本思想：将基本思想：将L2（R）用它的子空间）用它的子空间Vj，Wj表示，其中表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。分别称为尺度空间和小波空间。在多分辨率分析中，在多分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函称为逼近空间，我们把平方可积的函数数f(t) L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况
4、。每次逼近都看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数是用一低通平滑函数（t）对）对f(t)做平滑的结果，在逐级平做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数滑时平滑函数（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。性质性质1类似于人的视觉系统。例如：人在观察某一目标时，不妨类似于人的视觉系统。例如：人在观察某一目标时，不妨设他所处的分辨率为设他所处的分辨率为j（或（或2-j），观察目标所获得的信息是），观察目标所获得的信息是Vj，当他走近目标，即分辨率增加到，当他走近目标，即分辨率增加到
5、j-1（或（或2-j+1），他观），他观察目标所获得的信息为察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨率，应该比分辨率j下获得的信息下获得的信息更加丰富，即更加丰富，即 ，分辨率越高，距离越近；反之，分辨率越高，距离越近；反之，则相反。则相反。性质性质2 又称为递减性，说明空间的剖分是又称为递减性，说明空间的剖分是完整的，即当完整的，即当j-， 2-j + ，VjL2（R），）， Vj子空间子空间收敛为整个空间收敛为整个空间L2（R），即所有的），即所有的Vj，j=-+的并集收敛的并集收敛于整个平方可积的实变函数空间。于整个平方可积的实变函数空间。性质性质3 又称为递增性，当又称为递增性，当j+
6、， 2-j 0， Vj 0，即，即Vj子空间收敛为零空间。另有嵌套性可知，所子空间收敛为零空间。另有嵌套性可知，所有有Vj， 子空间的交集应为零空间。子空间的交集应为零空间。性质性质4 说明空间的剖说明空间的剖 是性质是性质1的直接的直接结果，将结果，将Vj，Vj1相关联的关键性质。相关联的关键性质。性质性质5 ，说明了函，说明了函数的时移不改变其所属空间。这是由于函数数的时移不改变其所属空间。这是由于函数 的时移不改变的时移不改变其形状，即分辨率保持不变，所以其形状，即分辨率保持不变，所以 和和 属于同一空属于同一空间。间。性质性质6 标准正交标准正交基。基。定义：函数定义：函数 为尺度函数
7、，若其经过整数平移为尺度函数，若其经过整数平移k和尺度和尺度j上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：称每一个尺度称每一个尺度j上的平移系列上的平移系列jk（t）所组成的空间）所组成的空间Vj为尺度为为尺度为j的尺度空间。的尺度空间。n根据多分辨率理论，根据多分辨率理论，Mallat提出了小波分解与重构的快速提出了小波分解与重构的快速算法，称为算法，称为Mallat算法，其在小波分析中的作用相当于算法，其在小波分析中的作用相当于FFT在傅立叶分析中的作用。它标志着小波分析走上了宽在傅立叶分析中的作用。它标志着小波分析走上了宽阔的应用领域。
8、阔的应用领域。小波分解与重构算法小波分解与重构算法-Mallat算法算法nV7 W7nV6 W6nV5 W5n准确预测轨道不平顺的变化规律是提高轨道养护维修效率、降低维修成本的关准确预测轨道不平顺的变化规律是提高轨道养护维修效率、降低维修成本的关键问题之一。鉴于轨道不平顺波长对列车运行状态的影响，基于小波理论，通键问题之一。鉴于轨道不平顺波长对列车运行状态的影响，基于小波理论，通过选取合适的小波基函数及分解层数，对原始不平顺时域序列进行小波分解及过选取合适的小波基函数及分解层数，对原始不平顺时域序列进行小波分解及重构重构。利用小波分解的预测方法，可以实现不同波长段的轨道不平顺预测；利用小波分解的预测方法，可以实现不同波长段的轨道不平顺预测；n数据来源数据来源合武线上行合武线上行2km里程范围内的实测数据。所选里程段均为有砟轨道，里程范围内的实测数据。所选里程段均为有砟轨道，设计时速为设计时速为250km/h，测试车辆为，测试车辆为0号综合轨检车，采样间隔为号综合轨检车，采样间隔为0.25m。各波长段小波重构后的不平顺序列由于轨检车的采样间隔为0.25m，且由于轨检车检测波长的范围为1.5, 120m，而小波分解后第j层对应波长区间为为采样间隔。选取db6小波，当选取小波分解层数为8时，最后一层的波长区间为64, 128m，满足需求。n谢谢！
