高中数学选修1-2_1.1回归分析的基本思想及其初步应用

《高中数学选修1-2_1.1回归分析的基本思想及其初步应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修1-2_1.1回归分析的基本思想及其初步应用（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 新学期我们怀揣大学梦想，新学期我们怀揣大学梦想，只要我们相信自己，刻苦努力只要我们相信自己，刻苦努力每一天，就一定能考进每一天，就一定能考进 北京大学北京大学未名湖和博雅塔第一章第一章 统计案例统计案例a. 比数学3中“回归”增加的内容数学统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法的了解最小二乘法的思想思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程解用回归直线方程解决应用问题决应用问题选修-统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产生产生的原因的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟合和模型拟合的效果之间的

2、关系的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非利用线性回归模型解决一类非线性回归问题线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果我们回忆一下我们回忆一下最小二乘法最小二乘法:样本点的中心样本点的中心:回回归方程方程:MODESHIFT SCL=113，M+16549，M+17565，M+16558，M+15751，M+17053SHIFT ASHIFT B2=1(进入回归计算模式进入回归计算模式)(清除统计存储器清除统计存储器)(输入五组数据输入五组数据)所以回归方程为所以回归方程为 y=0.673x-56.79(计算参数a)(计算参数

3、b) EXCEL怎怎样样使使用用函函数数计计算算器器求求线线性性回回归归方方程程？问题问题1 1：正方形的面积正方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y = xy = x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：例如：在在 7 7 块并排、形状大小相同的试验田块并排、形状大小相同的试验田上上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：如下所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 1

4、5 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455复习复习: :变量之间的两种关系变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1 1、定义：、定义： 1 1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方

5、法叫回归分析回归分析。2 2）：）：2 2、现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄；如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费；商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量探索：水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间大致有何之间大致有何规律？规律？10 20 30 40 5010 20 30 40 50500500450450400400350350300300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索探索2 2：在这些点

6、附近可画直线不止一条，在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直哪条直线最能代表线最能代表x x与与y y之间的关系呢？之间的关系呢？x xy y施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455散点图散点图我们回忆一下我们回忆一下最小二乘法最小二乘法:样本点的中心样本点的中心:回回归方程方程:例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学

7、生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体重：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线

8、性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系描述它们关系。 我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。思考思考P3产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因是什么？思考思考产生随机误差项产生随机误差项e的原因是什么？的原因

9、是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源( (可以推广到一般）：可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、是否喜欢运动、生长环境、度量误差等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 x 的观测误差。例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名

10、女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，制表7 8 合计654321i所以回归方程是所以回归方程是所以，对于身高为所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报的女大学生，由回归方程可以预报其体重为其体重为探究探究P4：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据

11、如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。探究探究P4：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗吗？如果不是，你能解析一下原因吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在，

12、但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。左右。60.136kg不是每个身高为不是每个身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生的女大学生平均平均体重的预测值体重的预测值。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型： 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值的值由自变量由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解释部分只能解释部分y的变化的变化。 在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量

13、x称为解释变量，因变量称为解释变量，因变量y称为预称为预报变量。报变量。1.用相关系数用相关系数 r 来衡量来衡量2.公式：公式：求出线性相关方程后，求出线性相关方程后， 说明身高说明身高x每每增加一个单位增加一个单位,体重体重y就增加就增加0.849个单位个单位,这表这表明体重与身高具有正的线性相关关系明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢述它们之间线性相关关系的强弱呢?、当、当 时，时，x x与与y y为完全线性相关，它们之为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。间存在确定的函数关系。、当、当 时，表示时，表示x x与与y y存在着一定的线存在着一

14、定的线性相关，性相关，r r的绝对值越大，越接近于的绝对值越大，越接近于1 1，表示，表示x x与与y y直线相关程度越高，反之越低。直线相关程度越高，反之越低。3.性质：性质：我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是 显然，显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变表示解释变量对预报变量变化的贡献率化的贡献率。 R2越接近越接近1，表示回归的效果越好（因为，表示回归的效果越好（因为R2越接

15、近越接近1，表，表示解释示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。变量和预报变量的线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即的值来做出选择，即选取选取R2较大较大的模型作为这组数据的模型的模型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的代表自变量刻画预报变量的能力能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来

16、刻画回归的效果，其计算公式是1354总计0.36128.361随机误差(e)0.64225.639解释变量(身高)比例平方和来源表表1-3 从表从表3-1中可以看出，解释变量对总效应约贡献了中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64%，即，即R20.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随，而随机误差贡献了剩余的机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。差的效应大得多。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用点图

17、来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。回归模型来拟合数据。残差分析与残差图的定义：残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，

18、作图时纵我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据据，或体重估计值等，这样作出的图形称为，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。表表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。相应的残差数据。使用公式使用公式 计算残差计算残差残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形

19、区域；横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明： 第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，

20、这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回

21、归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线）由经

22、验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。练练:某种产品的广告费支出某种产品的广告费支出x与销售额与销售额y之间有如表之间有如表所示数据所示数据:零件数零件数X24568加工时间加工时间y(分分钟钟)3040605070(1)求求x,y之间的相关系数之间的相关系数;(2)求线性回归方程求线性回归方程;