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1、3 3 模拟方法模拟方法概率的应用概率的应用 1. 1. 会用模拟方法估计概率会用模拟方法估计概率, ,近似计算不规则图形的面积近似计算不规则图形的面积, , 求求的近似值的近似值; ;2. 2. 通过解决具体问题的实例感受通过解决具体问题的实例感受, ,体会模拟方法的基本思体会模拟方法的基本思想想, ,学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法, ,通通过模拟试验加深对随机事件频率的随机性和概率的稳定性过模拟试验加深对随机事件频率的随机性和概率的稳定性的认识以及用频率去估计概率的方法的认识以及用频率去估计概率的方法; ;3.3.通过模拟方法的设计
2、体验数学的重要性和信息技术带通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术带给数学的帮助给数学的帮助; ;通过动手模拟通过动手模拟, ,动脑思考动脑思考, ,体会做数学题的体会做数学题的乐趣乐趣, ,提高学习兴趣提高学习兴趣; ;通过合作试验通过合作试验, ,培养学生愿意合作与培养学生愿意合作与交流的团队精神，情感态度与价值观增强交流的团队精神，情感态度与价值观增强. .本节课的主要本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯. .重点与难点：几何概型的概念、公式及应用重点与难点：几何概型的概念、公式及应用. .1 1、 知识回顾：我们
3、已经学习了两种计算事件发生的概率的知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概率的方法方法: :（1 1）通过试验方法得到事件发生的频率）通过试验方法得到事件发生的频率, ,来估计概率来估计概率.(.(一种一种近似估计近似估计, ,需通过大量重复试验需通过大量重复试验) )（2 2）用古典概型的公式来计算概率）用古典概型的公式来计算概率.(.(仅适用于基本事件为仅适用于基本事件为有限个的情况有限个的情况) ) 在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必
4、须考虑有无限多个试验结果的情况有无限多个试验结果的情况. .常常会遇到试验的所有可能常常会遇到试验的所有可能结果结果( (即基本事件即基本事件) )为无穷多的情况为无穷多的情况, ,且这无穷多个基本事件且这无穷多个基本事件保持这古典概型的保持这古典概型的“等可能性等可能性”. .这时用大量试验的方法很这时用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率难获得一个符合要求的概率, ,也不能用古典概型的方法求也不能用古典概型的方法求解解. .例如一个人到单位的时间可能是例如一个人到单位的时间可能是8 8：0000至至9 9：0000之间的任之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方何一个
5、时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多这些试验可能出现的结果都是无限多个个. .那怎么办呢那怎么办呢? ? 请观察下列问题并思考如何确定其概率请观察下列问题并思考如何确定其概率? ?问题问题1 1：如图所示在边长为如图所示在边长为a a的正方的正方形内有一个不规则的阴影部分，那形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？么怎样求这阴影部分的面积呢？问题问题2:2:一个人上班的时间可以是一个人上班的时间可以是8:008:009:009:00之间的任一时刻，那么他在之间的任一时刻，那么他在8:308:30之前到达的概率
6、是多大呢？之前到达的概率是多大呢？问题问题3:3:已知在边长为已知在边长为a a的正方形内有的正方形内有一个半径为一个半径为0.50.5的圆的圆. .向正方形内随机向正方形内随机地投石头，那么石头落在圆内的概率地投石头，那么石头落在圆内的概率是多大呢？是多大呢？带着上述的问题，我们开始学习新的带着上述的问题，我们开始学习新的内容内容模拟方法与概率的应用模拟方法与概率的应用. .问题问题1 1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色为黑色、白色、蓝色、红色，靶心为黄色, ,靶面直径为靶面直径为122cm122cm，
7、靶心直径为，靶心直径为12.2cm12.2cm，运动员在，运动员在70m70m外射击假设射箭外射击假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？中黄心的概率有多大？122cm（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件射中靶面上每一点都是一个基本事件, ,这一点可以是靶面直径为这一点可以是靶面直径为122cm122cm的大圆内的大圆内的任意一点的任意一点. .（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗
8、？）符合古典概型的特点吗？问题问题2:2:取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，拉直后在任意位置剪的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于断，那么剪得两段的长都不小于1m1m的概率有多大？的概率有多大？3m（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件从每一个位置剪断都是一个基本事件, ,剪断位置可以剪断位置可以是长度为是长度为3m3m的绳子上的任意一点的绳子上的任意一点. .问题问题3:3: 有一杯
9、有一杯1 1升的水，其中漂浮有升的水，其中漂浮有1 1个微生物，用一个个微生物，用一个小杯从这杯水中取出小杯从这杯水中取出0.10.1升，求小杯水中含有这个微生物升，求小杯水中含有这个微生物的概率的概率. .（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？微生物出现的每一个位置都是一个基本事微生物出现的每一个位置都是一个基本事件件, ,微生物出现位置可以是微生物出现位置可以是1 1升水中的任意升水中的任意一点一点. .(1)(1)一次试验的所有可能出现
10、的结果有无限多个；一次试验的所有可能出现的结果有无限多个；(2) (2) 每个结果发生的可能性大小相等每个结果发生的可能性大小相等 上面三个随机试验有什么共同特点？上面三个随机试验有什么共同特点？ 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性，而将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型保留等可能性，就得到几何概型1 1、基本事件的个数有限、基本事件的个数有限. .2 2、每一个基本事件都是等可能发生的、每一个基本事件都是等可能发生的古典概型的本质特征：古典概型的本质特征：几何概型的特点：几何概型的特点：（1 1）试验的所有可能出现的结果有无限多个）试验的所有可能
11、出现的结果有无限多个, ,（2 2）每个试验结果的发生是等可能的）每个试验结果的发生是等可能的. .古典概型与几何概型之间的联系古典概型与几何概型之间的联系: :试验试验1 1：取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影，取一个矩形，在面积为四分之一的部分画上阴影，随机地向矩形中撒一把芝麻（以数随机地向矩形中撒一把芝麻（以数100100粒为例），假设每一粒为例），假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等. .统计统计落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数，观察它们有怎样的比例关系？有
12、怎样的比例关系？ A分析分析: :由于区域由于区域A A的面积是正方形面的面积是正方形面积的积的1 14,4,因此大约有因此大约有1 14 4的芝麻的芝麻(25(25个个) )落在阴影部分落在阴影部分A A内内落在区域落在区域A A内的芝麻数内的芝麻数落在正方形内的芝麻数落在正方形内的芝麻数区域区域A A的面积的面积正方形的面积正方形的面积通过计算机做模拟试验通过计算机做模拟试验, ,不难得出下面的结论不难得出下面的结论: : 一般地一般地, ,在向几何区域在向几何区域D D中随机地投一点中随机地投一点, ,记事件记事件A A为为“该点落在其内部一个区域该点落在其内部一个区域d d内内”, ,
13、则事件则事件A A发生的概率为发生的概率为: :P(A)=P(A)=区域区域d d的面积的面积( (长度或体积长度或体积) )区域区域D D的面积的面积( (长度或体积长度或体积) )注注: :利用这个定理可以利用这个定理可以求出不规则图形的面求出不规则图形的面积、体积积、体积. .Dd用模拟方法估计圆周率的值用模拟方法估计圆周率的值yx01-11-1基本思想基本思想: : 先作出圆的外切正先作出圆的外切正方形方形, ,再向正方形中随机地撒再向正方形中随机地撒芝麻芝麻, ,数出落在圆内的芝麻数数出落在圆内的芝麻数和落在正方形中的芝麻数和落在正方形中的芝麻数, ,用用芝麻落在圆内的频率来估计圆芝
14、麻落在圆内的频率来估计圆与正方形的面积比与正方形的面积比, ,由此得出由此得出 的近似值的近似值. .我国古代数学家祖冲之早在我国古代数学家祖冲之早在15001500多年前就算出圆周率多年前就算出圆周率的值的值在在3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间，这是我国古代数学家的一大之间，这是我国古代数学家的一大成就，请问你知道祖冲之是怎样算出成就，请问你知道祖冲之是怎样算出的近似值的吗？的近似值的吗？正方形的面积=落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数 圆的面积问题：问题：如果正方形面积不变，但形状改变，所得的比如果正方形面积不变，但形状改变，所得的比例
15、发生变化吗？例发生变化吗？每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面积或每个事件发生的概率只与该事件区域的长度（面积或体积）有关，与图形的形状无关体积）有关，与图形的形状无关. .例例1 1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于台报时，求他等待的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率. .解：解：设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟 ，事件，事件A A恰好是打开恰好是打开收音机的时刻位于收音机的时刻位于5050，6060分钟时间段内，因此由几何概分钟时间段内，因此由几何概型的概率公式得型
16、的概率公式得P P（A A）= =（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6.例例2 2在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，在斜边中，在斜边ABAB上任取一点上任取一点M M，求，求AMAM小于小于ACAC的概率的概率C CA AC CB BM M解：解：在在ABAB上截取上截取ACACACAC，故故AMAMACAC的概率等于的概率等于AMAMACAC的概率的概率记事件记事件A A为为“AMAM小于小于AC”AC”，答：答：AMAMACAC的概率为的概率为结论结论试验的所有可能出的所
17、有可能出现的的结果所构成的区域果所构成的区域长度度构成事件构成事件A A的区域的区域长度度例例3 3、小明家的晚报在下午、小明家的晚报在下午5 5：30306 6：3030之间的任何一个时之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午间随机地被送到，小明一家人在下午6 6：00007 7：0000之间的之间的任何一个时间随机地开始晚餐任何一个时间随机地开始晚餐. .（1 1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？被送到哪一种可能性更大？（2 2）求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少）求晚报在晚餐开始之前被送到的
18、概率是多少? ?（1 1）设计一个模拟方案）设计一个模拟方案 晚报在晚报在5:005:00 6:00 6:00之间送到，或晚餐在之间送到，或晚餐在6 6：30307 7：0000之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开之间开始，这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前，因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大始之前，因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大. .我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率: : 用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘用于模拟晚报用两个转盘来模拟上述过程，一个转盘用于模拟晚报的送达，另一个转盘用于模拟晚餐，
19、两个转盘各转动一次的送达，另一个转盘用于模拟晚餐，两个转盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟并记录下结果就完成一次模拟. .（2 2）理论上的精确值）理论上的精确值: 7/8=0.875: 7/8=0.875 如果小明家的晚报在下午如果小明家的晚报在下午5 5：45456 6：4545之间的任何一之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午个时间随机地被送到，小明一家人在下午6 6：00007 7：0000之之间的任何一个时间随机地开始晚餐间的任何一个时间随机地开始晚餐. . 你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大了还你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大了还是变小了呢？是变小了
20、呢？变小了变小了 有一杯有一杯1 1升的水，其中含有升的水，其中含有1 1个细菌，用一个小杯从这个细菌，用一个小杯从这杯水中取出杯水中取出0.10.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率升，求小杯水中含有这个细菌的概率. .分析：分析：细菌在这升水中的分布可以细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得看作是随机的，取得0.10.1升水可作为升水可作为事件的区域事件的区域. .解：解： “取出的取出的0.10.1升升水水中含有这个细菌中含有这个细菌”这一事件记为这一事件记为A,A,则则 结论结论:试验的所有可能出的所有可能出现的的结果所构成的区域的体果所构成的区域的体积构成事件构成事件A A的区域的
21、体的区域的体积1.1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比例，而与事件的位置及形状无关；积）成正比例，而与事件的位置及形状无关；2.2.几何概型的两个特点几何概型的两个特点: : 基本事件是无限的基本事件是无限的; ; 基本事件基本事件是等可能的；是等可能的；3.3.几何概型概率的计算公式几何概型概率的计算公式4.4.几何概型的应用：几何概型主要用来计算事件可几何概型的应用：几何概型主要用来计算事件可“连续连续”发生的有关概率问题发生的有关概率问题, ,如与速度、温度变化有关的物理问如与速度、温度变化有关的物理问题题, ,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题. .三更灯火五更鸡，正是男儿读书时；黑发不知勤学早，白首方悔读书迟. -（唐）颜真卿 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
