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1、上课2024/7/221微积分-两个重要极限几何解释几何解释:2.5 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则(1)单调递增有上界；单调递增有上界；1. 单调有界准则单调有界准则准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.注注: 根据准则只能判断极限存在根据准则只能判断极限存在, 无法求出极限值无法求出极限值.(2)单调递减有下界单调递减有下界.2024/7/222微积分-两个重要极限证明证明=例例1 12024/7/223微积分-两个重要极限又又2024/7/224微积分-两个重要极限例例2 2(1 1)证证(舍去舍去)两边取极限得两边取极
2、限得并求极限值并求极限值.(2 2)解解2024/7/225微积分-两个重要极限证证2. 夹逼准则夹逼准则2024/7/226微积分-两个重要极限2)上述数列极限存在的准则可以推广到函数极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数极限注注:1) 条件（条件（1）可放宽为：）可放宽为：准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.3)2024/7/227微积分-两个重要极限例例3 3解解由夹逼定理得由夹逼定理得2024/7/228微积分-两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限1.证证2024/7/229微积分-两个重要极限注注: 1.2.(图图!)3. ,例例4故有：故有：2024/7/2
3、211微积分-两个重要极限等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理 ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证2024/7/2212微积分-两个重要极限常用等价无穷小常用等价无穷小: :(待证待证)2024/7/2213微积分-两个重要极限例例5 5解解例例6 6不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中对于代数和中的各无穷小不的各无穷小不能分别替换能分别替换. .注意注意用等价无穷用等价无穷小替换定理小替换定理:2024/7/2214微积分-两个重要极限例例7 7错错解解解解2024/7/2215微积分-两个重要极限例例8 8解解例例9 92024/7/2216微积分-
4、两个重要极限2.数列情形已证数列情形已证, 可推广至可推广至x + 及及x (P55)利用该重要极限解题时抓住特征：利用该重要极限解题时抓住特征：2024/7/2217微积分-两个重要极限例例1111解解一般地：一般地：例例1010解解不要仿照不要仿照教材解题教材解题步骤步骤勿作变换勿作变换!= e k=e2=e1212024/7/2218微积分-两个重要极限例例1212解解 原式原式例例13132=e2解解 原式原式2a=e2a2024/7/2219微积分-两个重要极限例例1414例例1515解解解解2=e22024/7/2220微积分-两个重要极限本金本金A0，年利率，年利率r，连续复利，
5、连续复利本利和作为新本金本利和作为新本金, 重复计算利息重复计算利息), t年后本利和年后本利和A?1. 先不考虑连续复利，只每年末结息先不考虑连续复利，只每年末结息:满一年本利和满一年本利和满两年本利和满两年本利和满满t年本利和年本利和2. 每年分每年分n次记息次记息, 年利率仍为年利率仍为r, 则每次结算利率则每次结算利率3. 最后，连续复利最后，连续复利:三、连续复利问题三、连续复利问题(重要极限重要极限2的一个经济应用的一个经济应用)(利息随时记入本金利息随时记入本金,t年共结算年共结算nt次，故满次，故满t年本利和年本利和:2024/7/2221微积分-两个重要极限这种将利息计入本金
6、重复计算复利的方法称为连这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。很重要的实际意义。 例例16 一机器原价值一机器原价值100000元，不断变旧，每年元，不断变旧，每年减少价值减少价值0.9，求其，求其10年后的价值年后的价值.100000(1-0.9)10未考虑连续复利未考虑连续复利, 不科学不科学.中学做法中学做法:解解 A
7、0=100000, r =0.9%, t =10.故故10年后机器价值年后机器价值22(补证补证)2024/7/2223微积分-两个重要极限证明: 当时,证证:2024/7/2224微积分-两个重要极限小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .3. 经济应用经济应用连续复利连续复利, 年利率年利率r, 本金本金A0, t年后本利和年后本利和A= 2024/7/2225微积分-两个重要极限解答解答思考题思考题求极限求极限2024/7/2226微积分-两个重要极限作业：完成完成 P6914(1);16(3)(4)(8)(9) (11)(13)(15)(16);17(5)(6)(10).11 做在书上做在书上.2024/7/2227微积分-两个重要极限故极限存在，备用题备用题 1.1.设 , 且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2024/7/2229微积分-两个重要极限下课2024/7/2230微积分-两个重要极限
