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1、9 9. .4 4直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理考点自测1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为. = = r1+r2 无解 d=r1+r2 |r1-r2|dr1+r2 一组实数解 无解 知识梳理考点自测1.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.3.过圆(x-a)2
2、+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切. ()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外切. ()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件. ()(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P
3、,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. ()(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. () 知识梳理考点自测2.“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析解析:当a=1时,直线l:y=kx+a过定点P(0,1),点P在圆C内,所以直线l与圆C相交,故充分条件成立;而当a=0时,亦有直线l和圆C相交,故选A.知识梳理考点自测3.(2017宁夏石嘴第三中学模拟,文6)已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相切,则m的值为()
4、D知识梳理考点自测4.(2017辽宁大连一模,文4)直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A知识梳理考点自测5.(2017山东枣庄一模,文11)圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2 =4的位置关系是.相交 考点一考点二考点三直线与圆的位置关系及其应用直线与圆的位置关系及其应用例1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(2017北京东城一模,文4)如果过原点的直线l与圆x2+(y-4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是()B B 考点一考点
5、二考点三考点一考点二考点三思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些?解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.考点一考点二考点三对点训练对点训练1(1)(2017广东佛山一模,文9)对任意aR,曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线l与圆C:(x-1)2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.以上均有可能(2
6、)若过点A(4,0)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的最小值为.A考点一考点二考点三解析解析: (1)由题意y=ex(x2+ax+2x+1-a),当x=0时,y=1-a,曲线y=ex(x2+ax+1-2a)在点P(0,1-2a)处的切线方程为y-1+2a=(1-a)x,即a(x+2)+y-x-1=0,恒过定点(-2,-1),代入(x-1)2+y2-16,可得9+1-160,即定点在圆内,切线l与圆C:(x-1)2+y2=16的位置关系是相交.故选A.(2)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,当直线l与圆相切时,k有最大值或最小值.考点一考点二考
7、点三圆的切线与弦长问题圆的切线与弦长问题例2已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.考点一考点二考点三解(1)圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.考点一考点二考点三考点一考点二考点三思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线与弦
8、长问题?解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.考点一考点二考点三对点训练对点训练2(1)(2017安徽马鞍山一模,文11)过点(3,6)的直线被圆x2+y2=25截得的弦长为8,这条直线的方程是()A.3x-4y+15=0B.3x+4y-33=0C.3x-4y+15=0或x=3D.3x+4y-33=0或x=3(2)已知直线l:x- y+
9、6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过点A,B分别作直线l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.C4考点一考点二考点三考点一考点二考点三圆与圆的位置关系及其应用圆与圆的位置关系及其应用例3已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()C考点一考点二考点三思考在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径的关系如何?解题心得1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要
10、注重数形结合思想的应用.考点一考点二考点三对点训练对点训练3(1)若把例3条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.(2)若把例3条件中的“外切”改为“相交”,则公共弦所在的直线方程为.(3)若把例3条件中的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是.(2a+2b)x+3+b2-a2=0 相离 考点一考点二考点三考点一考点二考点三1.直线与圆、圆与圆的位置关系问题,考虑到圆的几何性质,一般用几何法解决.2.直线与圆、圆与圆的交点问题,要联立直线与圆的方程,或联立圆与圆的方程来解决.3.圆的切线问题:(1)过圆上一点的切线方程的求法是先
11、求切点与圆心连线的斜率,再根据垂直关系求得切线斜率,最后通过直线方程的点斜式求得切线方程;(2)过圆外一点的切线方程的求法,一般是先设出所求切线方程的点斜式,再利用圆心到切线的距离等于半径列出等式求出所含的参数即可.若只求出一条切线方程,则斜率不存在的直线也是切线.考点一考点二考点三4.圆的弦长问题首选几何法,即利用圆的半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理;弦长问题若涉及直线与圆的交点、直线的斜率,则选用代数法.1.过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则斜率不存在的直线也是切线.2.本节问题的解决多注意数形结合,圆与其他知识的交汇问题多注意问题的转化.3.若圆与圆相交,则可以利用两个圆的方程作差的方法求得公共弦所在直线的方程.
