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1、1.1.3导数的几何意义导数的几何意义2021/6/161(1)(1)函数平均变化率函数平均变化率: : 【温故知新】(2)(2)平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义OABxyy=f(x)x0x0+xf(x0)f(X0+x)x(3)(3)导数的定义导数的定义割线割线ABAB的斜率的斜率(4)(4)(4)(4)求极限方法求极限方法求极限方法求极限方法: : : :一差、二商、三极限一差、二商、三极限2021/6/162PPnoxyy=f(x)T 我们发现我们发现, ,当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P,P,即即x0x0时时, ,割线割线PPnPPn趋近于确定位置趋近于确定位置
2、PT.PT.则我们把则我们把直线直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线. .【探索新知】割线切线2021/6/163想一想？想一想？割线割线PPPPn n的斜率的斜率k kn n与切线与切线PTPT的斜率的斜率k k有什么关系有什么关系? ?割线割线PPPPn n的斜率的斜率: :当点当点P Pn n无限趋近于点无限趋近于点P P即即x0x0时时, ,k kn n无限趋近于切线无限趋近于切线PTPT的斜率的斜率k.k.设设 相对于相对于 的增加量为的增加量为 , ,则则 2021/6/164 当当x0x0时时, ,割线割线 PPnPPn的斜的斜率率, ,称为曲线在点称为曲线
3、在点P P处的处的切线的切线的斜率斜率. .即即:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.PQoxy割割线线切切线线T因此因此, ,函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的处的导数就是切线导数就是切线PTPT的斜率的斜率. .【概念形成概念形成】概念用途概念用途: :2021/6/165 这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平均变化率的极限. 注意注意,曲线在某点处的
4、切线曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关；与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。2021/6/166例例1:求曲线求曲线y=x2+1在点在点P(1,2)处的切线斜处的切线斜率及切线方程率及切线方程.QPy=x2+1xy-111Oj jMDyDx因此因此,切线的斜率切线的斜率k=2切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线上某点处的切线方程的步骤求曲线上某点处的切线方程的步骤:求出函数求出函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)；利用点斜式求切线方程。利用点斜式求切线方程。若点不在曲
5、线上呢？若点不在曲线上呢？2021/6/167变式变式1：试求过点试求过点 且与曲线且与曲线 相切的直线方程。相切的直线方程。切线斜率：切线斜率：解得解得切线过点切线过点直线方程直线方程即即解：因为点解：因为点 不在曲线上，设此切线过抛物线上不在曲线上，设此切线过抛物线上 的点的点 ，则，则思路：思路：设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求2021/6/168 如图已知曲线如图已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处处的切线方程的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的
6、斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练一练练一练2021/6/169例例3已知抛物线已知抛物线f(x)2x21，根据下列，根据下列条件，求出切点的坐标条件，求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为切线的倾斜角为45.(2)切线平行于直线切线平行于直线4xy20.(3)切线垂直于直线切线垂直于直线x8y30.2021/6/16101已知曲线已知曲线yx33x上的某点处的切线平行上的某点处的切线平行于于x轴，求该点的坐标轴，求该点的坐标2021/6/1611例42021/6/1612(1)当当t=t0时时,曲线曲线h(t)在在t
7、0处的切线处的切线l0平行于平行于x轴轴.所以所以,在在t=t0附近曲线比较平坦附近曲线比较平坦,几乎没有下几乎没有下降降. (2)当当t=t1时时,曲线曲线h(t)在在t1处的切线处的切线l1的斜率的斜率h(t1)0.所以所以,在在t=t1附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数h(t)在在t=t1附近单附近单调递减调递减. (3)当当t=t2时时,曲线曲线h(t)在在t2处的切线处的切线l2的斜率的斜率h(t2)0.所以所以,在在t=t2附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数h(t)在在t=t2附近也附近也单调递减单调递减. 与与t2相比相比,曲线在曲线在t1附近下降得缓慢些附近下降得缓慢些.2021/6/1613活页P3 3,62021/6/1614课堂小结课堂小结一个概念：曲线在某点的切线一个概念：曲线在某点的切线 两种题型两种题型:(1)求曲线在某点的切线方程求曲线在某点的切线方程 (2)研究函数图像的变化趋势研究函数图像的变化趋势 三种思想：无限逼近三种思想：无限逼近,以直代曲和数形结合以直代曲和数形结合2021/6/1615 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
