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1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄. 微积分微积分. 中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学. 高等数学高等数学. 高等教育出版高等教育出版社社微积分第八章第八章二元函数的定义二元函
2、数的定义微积分（1）邻域）邻域一、多元函数的概念微积分（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集微积分微积分连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，微积分有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，微积分（3）聚点）聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明： 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点微积分 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点
3、都是聚点也都属于集合微积分（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明： n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 微积分 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为微积分（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数微积分例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为微积分（6） 二元函数二
4、元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）微积分二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.微积分例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:微积分二、多元函数的极限微积分说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似微积分例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立微积分例例3 3 求极限求极限 解解其中其中微积分例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随
5、k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在微积分不存在不存在.观察观察播放播放微积分确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：微积分利用点函数的形式有利用点函数的形式有微积分三、多元函数的连续性定义定义3 3微积分例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取微积分故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时微积分例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续微积分闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在
6、有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理微积分（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在D D上一致连续上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初
7、等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域微积分例例解解微积分多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义微积分思考题思考题微积分思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取微积分练练 习习 题题微积分微积分微积分练习题答案练习题答案
