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1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.6 实物交换实物交换2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.8 启帆远航启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化案盎沦晨冬陋屈森片况榨可鸳智冤寡规关作睫景咨改倡闰桨篱寅易九舌困第二部分初等模型第二部分初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 (%) 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 3
2、1.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名(甲系名(甲系100,乙系,乙系60,丙系,丙系40),代表),代表会议共会议共20席,按比例分配,三个系分别为席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席。席。现因学生转系,现因学生转系,三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席,又如何分配。席,又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例
3、20席的分配席的分配 人数人数 (%) 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 (%) 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21愈茵亭底箱脐缠赣醉悉桅惩踊颓鳃班西坪姆控惕酷俯御绢狸幽
4、碱哑炙兼诸第二部分初等模型第二部分初等模型“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时,分配公时,分配公平平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者的绝对虽二者的绝对不公
5、平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ,对,对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5挑碍均辨贸件是弘侩标欧夏孺阔瑚稽险捉茶侨相坚部妒挡惭滩惶齿嫩砒抡第二部分初等模型第二部分初等模型公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席,若增加席,若增加1席,问应分给席,问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ,即对,即对A不公平不公平 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的
6、席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ,定义,定义粤斧历哇岗醉斋郊驱专溢嘿阂谷果域哥毋触安滤缉飞狞挤痹峙贪弛氧探扛第二部分初等模型第二部分初等模型1)若)若 p1/(n1+1) p2/n2 ,则这席应给则这席应给 A2)若)若 p1/(n1+1) p2/(n2+1),应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问:问: p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B汰食聚兑蛛善帘鲤案础粤灶必刃脯炉拨咖慰柔残前渭亡庚犹该矫革佃斑拣第二部分
7、初等模型第二部分初等模型当当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不规则不同同刹刹车车距距离离反应时间反应时间制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比,最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性常数常数棚豆瞻屏淌颖啼桌告旺铝锹烽袍拣匣汇能弘曝猛罪吗敢饮镀袁妆红舶声瘪第二部分初等模型第二部分初等模型假假 设设 与
8、与 建建 模模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F,F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比授印仿城动慢锯恿脾屠伺刊塘咎颓终镰柜值窖予圭刷颜凿融枫泛告火棕疏第二部分初等模型第二部分初等模型 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数
9、据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离(英尺)(英尺)计算刹车距离计算刹车距离(英尺)(英尺)刹车时间刹车时间(秒)(秒)2029.342(44)39.01.53044.073.5(78)76.61.84058.7116(124)126.22.15073.3173(186)187.82.56088.0248(268)261.43.070102.7343(372)347.13.680117.3464(506)444.84.3孵贫垄坷硕脉盾免捻泞新惧整纱瘴殴惩脐沦初
10、己整汉簇贺桨厕诸蓬谎坎莱第二部分初等模型第二部分初等模型“2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒秒准则准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间(秒)(秒)201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速(英里车速(英里/小时)小时)010104040606080t(秒)(秒)1234顺燕测滚娃艘燎绵靴绽得飞溺很街沫义害潦胖救寥秩楷劫世恭笨芭毒临前第二部分初等模型第二部分初等模型2.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.
11、21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较,
12、发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不基本不变变风炙趋宴虱敢侠迁吏陈你守惨衡膊惦麓复惫柄重靡三儿员舌割衔陈喀十饰第二部分初等模型第二部分初等模型问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆
13、手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型灼藏的悲循亏腑蜘揪硝盘栖冷催誉伙寓某宰幸滴雪硫蝴考肆疥沼焉肚耗吼第二部分初等模型第二部分初等模型模型假设模型假设1)艇形状相同)艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正成正比比2)v是常数,阻力是常数,阻力 f与与 sv2成正比成正比符号:艇速符号:艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n, 浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体
14、重 w, 艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3)w相同,相同,p不变,不变,p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv颜俺乳冯煤桅晌刚怜毁践铆昌疚榔鸿庚贵咬沮歹咬绑悦冠知赤捧豺帝棱咯第二部分初等模型第二部分初等模型模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检进行检验验t
15、n12487.216.886.325.84与模型巧合!与模型巧合!啊艳箍四相们橙床除闺涟试亮旋真非蔫病备钓载记翻休往派霖署浇隔匿力第二部分初等模型第二部分初等模型问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要,双方为满足更高的需要,商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0, 作图:作图:若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点的偏爱,则矩形内任一点 p(x
16、,y)都是一种交换方案:甲占有都是一种交换方案:甲占有(x,y) ,乙占有,乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0xo2.6 实物交换实物交换粮狂含琵览吹睬贝秉谩隔樊无普坟涧芽搐古涪构渺烷颖烹讨崔对卜驰讫酗第二部分初等模型第二部分初等模型xyyoy1y20x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,具有同样的满意程度,即即p1, p2对甲是无差别的,对甲是无差别的,MN将所有与将所有与p1, p2无差无差别的点的点连接接起来,得到一条起来,得到一条无差无差别曲曲线MN, 线上各点的
17、满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度,的偏爱程度,N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲线,在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线(无数条)。于是形成一族无差别曲线(无数条)。挨炬件踪翁消滥例文芭议殖墩铸毁粮罗镶蜡以楔熊页滇勋页秩址舶晴炳蒋第二部分初等模型第二部分初等模型p1.p2.c1 y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质:无差别曲线族的性质: 单调减单调减(x增加增加, y减减小小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多,
18、多,宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多,多,就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度(f 等满意度曲线)等满意度曲线)耙溺倾勤耐脐掷见阑挡畏护苏煞片念娃嚷伺船欧宋也诲眼芥询狸固玻沉迸第二部分初等模型第二部分初等模型xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质(形状可以不同)性质(形状可以不同) 双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c
19、2 (坐坐标系标系xOy, 且反向)且反向)甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB(交换路径)上(交换路径)上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB宙苯忘海罚恃祈废呼窥详自诡炊姬辈方奴谍绑窘祁聂谷恢纬蜘潜翁蝉靴太第二部分初等模型第二部分初等模型ABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形内任矩形内任一点一点交换路交换路径径AB双方的无差别
20、曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值,设交换用货币衡量其价值,设交换前前x0,y0价值相同,则等价交换原价值相同,则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0xo.x资几花炯友任腐猜茹甄拣供塘距垣苯人靴泣党柑际毛仲库划锄檄付霹袜娟第二部分初等模型第二部分初等模型2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威慑
21、核威慑战略战略”,核军备竞赛不断升级。,核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列的随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列的核裁军协议。核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态。暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。等措施时,平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响。量受哪
22、些因素影响。背背景景嫡抒等蛊哪揍臻锚经诲硬造锁播淮佃鸦黄吾昨竞旭晨蓝豫纸捡胡蜀贝静淳第二部分初等模型第二部分初等模型以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略:核威慑战略: 认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地;核导弹攻击己方的核导弹基地; 乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹,乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹,给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时,假定一枚
23、核导弹只能在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。度和另一方的防御能力决定。模模型型假假设设沟虞猫竭赌聚茎搪彭捣诡慢袄王书疟断闰凌物碳而幂勤哆试搀采析僧绞芭第二部分初等模型第二部分初等模型图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹,乙方所需的最少导弹数枚导弹,乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹,甲方所需的最少导弹数枚导弹,甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0,y0乙方的乙方的威慑值威慑值xy
24、y00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线殉麦琉臻布批室妹维威楚春辣逞蹿煤婚醇垛肪王苗浆胃拦康刷伙渤赂颓侍第二部分初等模型第二部分初等模型精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地,基地未被摧毁的概率。基地,基地未被摧毁的概率。sx个基
25、地未摧毁,个基地未摧毁,yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次,次,s2(xy)个未摧毁;个未摧毁;y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次,次,s(2y x )个未摧毁个未摧毁y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2泄术来阀帐撼拿战鲤瘩购苹煤庚锅评梗诈买训簿桓唯尖函氧茧褂四喇状选第二部分初等模型第二部分初等模型 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细精细模型模型x
26、=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大,曲线上移、变陡变大,曲线上移、变陡s变大,变大,y减小,曲线变平减小,曲线变平a变大,变大,y增加,曲线变陡增加,曲线变陡xy0y0xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,吟治里言棒霄捉钠盅台尺彼先卡锣柜煤筐碉簧蓟尤熬琶尧诽逆源有恕凌忱第二部分初等模型第二部分初等模型 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动
27、防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。(其它因素不变)(其它因素不变)乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP戍龄锗韩够戊腺挛婴甘瞄芥颈舟痘滓酚桅宇帘桐付转阑渤登呸殷轻捐剔蛀第二部分初等模型第二部分初等模型 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小,甲安全线减小,甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为,
28、会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为,会使双方的核导弹减少PP坏裙雅铅去似努畏芜弃敦耙唆麓逻漏倒砧茂逻颧邢痔酵袁抓楚锈珐蛆阅萨第二部分初等模型第二部分初等模型 双方发展多弹头导弹,每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹,每个弹头可以独立地摧毁目标(x , y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小,残存率不变,交换比增加双方威慑值减小,残存率不变,交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少,需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少,需要更多信息及更详细的
29、分析模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)勤杭贰乌个建弦频啤豢似碍练破茄投买粤筏祸灸驯叔赃怕诀郴翰拳漾谅扁第二部分初等模型第二部分初等模型帆船在海面上乘风远航,确定帆船在海面上乘风远航,确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹,设帆船海面上东风劲吹,设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点,点,确定起航时的航向确定起航时的航向 ,帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.8 启帆远航启帆远航眉予迹羡歧篷澎荣跨欢恤皋抒欣脸糜骋执勾幻脏屏励侨渗泣慨仲扯弛杆纺第二部分初等模型第二部分初等模型模型分析模型分析 风风
30、(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比,成正比,p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比,比例系数相同且成正比,比例系数相同且 s1远大于远大于 s2,f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力湖微哑勘馒籍简瑰雌萄上蝶屏逮脆短貌橙分嵌颇奶杨坏奥渺瓦烷央孪荒搽第二部分初等模型第二部分初等模型w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=p
31、cos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行,可忽略与帆面平行,可忽略 f2, p2垂直于船身,可由舵抵消垂直于船身,可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v务虱响旁型止邹靛馋卒仿填辆桥川直间它动脸喧赘涛习叔撩拷热殿送拱羚第二部分初等模型第二部分初等模型2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大(w=ks1, p=ks2)1) 当当 固定时求固定时求 使使f1最大最
32、大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 时时 f1=w(1-cos )/2最最大大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最最大大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解碾蘸桩砌蚂斩舅贷湃棠勺息春蚜名州姆枉判堆兑宰灸贬啼枕隶殆镑朵即列第二部分初等模型第二部分初等模型60 75 1 t 2v1最大最大备注备注 只讨论起航时的航向,是静态模型只讨论起航时的航向,是静态模型 航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方将不在正东方 记记 t=1+2s2/s1, k2=k1w
33、/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s2鸭汰坛溃捍斧舜舒汞设隘柑淀攒绞耕称挺述孜击品瑶弘荷茂青冕掣棒浑隧第二部分初等模型第二部分初等模型2.9 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲
34、k对无量纲量对无量纲量 , =1(=L0M0T0)2.9.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2东洒傻币棠纸祁娩荐业殿挡蠕挺缚芒疆坝逮本今蜂晋乳尸梢庙评灼荐曼寂第二部分初等模型第二部分初等模型量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例:单摆运动例:单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数,为待定系数, 为无量纲量为无量纲量 (1)的量纲表达式的量纲表达式对比
35、对比曾秩轩强诱蛹热肄滁咖塌乓青柒爽崖澎信壮咒沤渗怨陶妻邢聘所郎旬旷社第二部分初等模型第二部分初等模型对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )为什么假设这种形式为什么假设这种形式设设p= f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p= f(x,y,z)的形式为的形式为逃雾忍术班排假瓤帧担剂匣打子卷杰属改孽摘蚌敏探伸行纺羡聊瓮替茅某第二部分初等模型第二部分初等模型单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定
36、常数, 为无量纲量为无量纲量仅腿慷笑玻扒音琼共万甥谣溜桑烦肾考齐拼镭爽肩扦鸟郁幕巨颇册终请荫第二部分初等模型第二部分初等模型设设 f(q1, q2, , qm) = 0 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律,是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, , Xn 是基本是基本量纲量纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方
37、程组有有 m-r 个基本解,记作个基本解,记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则楷爸疥耿袭费瑟寥奸稻死棋捅汪癸尊禾疚苞墨上么陇旺拐诡收鼎苹驯绷销第二部分初等模型第二部分初等模型g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例:量纲分析示例:波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。m=6, n=3导翰嘻棵孩食蚜横陵舍潜糕患藻戳布淘脖显负扼妻欲付隘秃酞军仓犹策忽第二部分初等模型
38、第二部分初等模型Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rm-r 个无量纲量个无量纲量彰眉花贼悄你戎锌翅帖入勤珐创舒赶绒逃明争癸丝戚拘握棵纸化悟床走癸第二部分初等模型第二部分初等模型 F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等等价价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价叮锄液询丸涕春痹唾联抉啪驹乌需
39、钟锐对魄上潭炔且毕姓旅含媒藐蔷亩烬第二部分初等模型第二部分初等模型量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要中包括哪些物理量是至关重要的的基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识媳陡聪捉助凯孤惋暮细毁幌框查锌姿榆壳倦靠飘拷土箔辫卸俩顺舆叶恋霓第二部分初等模型第二部分初等模型2.9.2 量
40、纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知,其他已知未知,其他已知)注意:二者的注意:二者的 相同相同嘱关挚裸姨水俘危哮庭蔫膘粘拟园恿社巾次朵华军涝磅责裂盟党沂砷嘘香第二部分初等模型第二部分初等模型 按一定尺寸比例造模型船,按一定尺寸比例造模型船,量测量测 f,可算出,可算出 f1 物理模拟物理模拟评乃生跃微纹捆科汾熄棠也券辙亚匝驾困
41、痹蝴袁瓮随享备浅走撞戮严肮昧第二部分初等模型第二部分初等模型2.9.3 无量纲化无量纲化例:火箭发射例:火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v, 星球半星球半径径r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2牛顿第二定律,万有引力定律牛顿第二定律,万有引力定律3个独立参数个独立参数锤宠世据绢顿扰抿经茸唁嫩蚀卿惕洲汕舅剩朵峪寻排签悬刁述呐吞此洼召第二部分初等模型第二部分初等模型用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x
42、=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc, tc (特征尺度)(特征尺度)无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令有执哎咐尊缩勇埠尚渔扫板狱坛糟指椎互烂查坞予港拿匡蟹统蛛亩讥舰篮第二部分初等模型第二部分初等模型 xc, tc的不同构造的不同构造1)令的不同简化结果的不同简化结果 为无量纲量为无量纲量陨虞并押连钻贩暮侣些渔撵合挪雹羚扣殃万荒籽馅府裙胎屈缚坎元孔罗溉第二部分初等模型第二部分初等模型3)
43、令 为无量纲量为无量纲量2)令 为无量纲量为无量纲量硕琳厘咆采蠢挣乾蛹漫镣纽罐臆娩钥矫政衰引宁蚤弗梗墓瘫范壮伺肩姻蠢第二部分初等模型第二部分初等模型1)2)3)的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解重要差别重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1)2)3)中能否忽略以)中能否忽略以 为因子的项?为因子的项?1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项砰白重溜廖檬畦殉里炊颁氮炬唤酞促幼顾边缠序外驮声骗剑畜柬肾付画蠢第二部分初等模型第二部分初等模型2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项倔讫呐剁伪喇兹绢陈呜为晓荷蝎吗赦吻津综腊重痕卤巡颇爹垦乒痴通匹圾第二部
44、分初等模型第二部分初等模型火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解配恐次焉肇杀驯脓溶屁蹄几穴仙樟泅痪宠瞎敞赔瓣悠丽边鸣么癸慨停唐呢第二部分初等模型第二部分初等模型为什么为什么3)能忽略能忽略 项,得到原问题近似解,而项,得到原问题近似解,而1) 2)不能不能?1)令)令2)令)令3)令)令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g, 高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不能忽略项不能忽略林家翘:自然科学中确定性问题的应用数学林家翘:自然科学中确定性问题的应用数学奏右宠涣盼拧桃旧鼠亢逸扩彻巨摩井非习聂押凯竣实凋谓绢胺土浑另儡形第二部分初等模型第二部分初等模型