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1、矩阵知识点复习矩阵知识点复习 11. 矩阵的定义矩阵的定义简记为简记为实矩阵实矩阵: 元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵： 元素是复数元素是复数2一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵2. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等: :同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法：矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）两个同型矩阵，对应元素相加（减）加法满足加法满足3数乘满足数乘
2、满足数与矩阵相乘：数与矩阵相乘： 数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 ，规定为，规定为矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：设设规定规定其中其中4乘法满足乘法满足矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律5 A是是n 阶方阵，阶方阵， 方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：满足满足: :6转置矩阵转置矩阵: :3一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . .满足：满足：对称矩阵和反对
3、称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：7伴随矩阵：伴随矩阵： 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵83. 逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且9满足
4、规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法）伴随矩阵法（2）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵105. 5. 初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换初初等等变变换换 逆逆变变换换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换11矩阵的等价：矩阵的等价：初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 如果矩
5、阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作三种初等变换对应着三种初等方阵：三种初等变换对应着三种初等方阵：初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵6. 初等矩阵初等矩阵初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。127. 初等矩阵与初等变换的关系：初等矩阵与初等变换的关系：初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵定理：定理：13即，即，8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵14注意注意:用初等行
6、变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换必须始终用列变换，其间不能作任何行变换159 矩阵方程矩阵方程例例: 解矩阵方程解矩阵方程其中其中 均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A
7、的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵方程解解16在一个在一个mn矩阵矩阵A中，中，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的个元素按原来个元素按原来的次序组成一个的次序组成一个k 阶行列式，称为阶行列式，称为A的一个的一个 k 阶阶定义定义1.任取任取k行行k列，列，10 矩阵的秩矩阵的秩子式，这里子式，这里矩阵矩阵A中不等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数称为矩阵称为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A)定义定义2.17(1) 秩为秩为r 的矩阵可能有等于零的的矩阵可能有等于零的r，r-1 阶子式阶子式。注意：注意：初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.（3） 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩（4）则则A，B等价等价的充要条件是的充要条件是 R(A)=R(B)设设A，B都是都是mn矩阵，矩阵，18
