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1、1高等数学41不定积分的定义前言前言 在第二章中讨论了求已知函数导数的问题在第二章中讨论了求已知函数导数的问题,在科学技术领域在科学技术领域 中中,还常常遇到相反的问题还常常遇到相反的问题.即即已知一个函数的导数已知一个函数的导数,如何求这个函数如何求这个函数? 如如:一质点作非匀速直线运动的规律为一质点作非匀速直线运动的规律为s=s(t),则在时刻则在时刻t的速度的速度 反之反之,若已知质点运动的速度为若已知质点运动的速度为v(t),如何求如何求质点的运动规律质点的运动规律s=s(t)? 这在数学上归结为这在数学上归结为求导运算的逆运算求导运算的逆运算,称之称之为不定积分法为不定积分法.2高
2、等数学41不定积分的定义例 S(t)是v(t)的原函数定义定义Definition ：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 Concept of Concept of antiderivative and indefinite integralantiderivative and indefinite integral3高等数学41不定积分的定义原函数存在原函数存在定理定理 theorem简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题： (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之
3、间有什么联系？4高等数学41不定积分的定义关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，则则（C 为某个常数）为某个常数）证证Proof （C 为某个常数）为某个常数）若若F(x)是是f(x) 的一个原函数，则的一个原函数，则F(x)+c就是就是f(x)的全体原函数的全体原函数. (c为任意常数为任意常数)5高等数学41不定积分的定义任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：Definition of indefinite integral ：被被积积表表达达式式积积分分变变
4、量量6高等数学41不定积分的定义例例 Example Example 1 1 求求解解解解例例 Example Example 2 2 求求7高等数学41不定积分的定义例例 Example 3 Example 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程此曲线方程.解解 solution设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为8高等数学41不定积分的定义 显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.
5、 Y=F(x)+C的图形是的图形是f(x)的全部积分曲线所构的全部积分曲线所构成的积分曲线族成的积分曲线族. 积分曲线族里所有积分曲线在点积分曲线族里所有积分曲线在点x处的切线处的切线彼此平行，斜率均为彼此平行，斜率均为f(x).如下图如下图9高等数学41不定积分的定义xyoxy=F(x)10高等数学41不定积分的定义结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知如初等数学中如初等数学中:与与与与arcsin(sinx)=x (x为为弧度），sin(arcsinx)=x(x为实数）乘方与开方互逆乘方与开方
6、互逆指数与对数互逆指数与对数互逆11高等数学41不定积分的定义实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、 基本积分表基本积分表 Fundamental integral tableFundamental integral table 12高等数学41不定积分的定义基本积分表基本积分表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为，13高等数学41不定积分的定义(或或-arccotx+C)(或或-arccosx+C)14高等
7、数学41不定积分的定义15高等数学41不定积分的定义例例 Example Example 4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）16高等数学41不定积分的定义证证Proof 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 Properties Properties of indefinite integralof indefinite integral 17高等数学41不定积分的定义例例Example Example 5 5 求积分求积分解解Solution （性质（性质（1）（）（2）
8、称为线性性质，导数与积分都具有）称为线性性质，导数与积分都具有线性运算性质线性运算性质,但但sin(x+y) sinx+siny,ln(x+y) lnx+lny都是非线性运算）都是非线性运算）18高等数学41不定积分的定义例例 Example 6 Example 6 求积分求积分解解19高等数学41不定积分的定义例例 Example 7 Example 7 求积分求积分解解例例 Example 820高等数学41不定积分的定义例例9.例例10.21高等数学41不定积分的定义例例11.例例12.例例13.22高等数学41不定积分的定义例例14例例15例例16（检验结果是否正确，只要把结果求导，看
9、它是否（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否等于被积函数即可。）等于被积函数即可。）23高等数学41不定积分的定义例例 Example Example 17 求积分求积分解解说明说明Directions ：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.24高等数学41不定积分的定义解解Solution 所求曲线方程为所求曲线方程为25高等数学41不定积分的定义基本积分表基本积分表 (1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念原函数的概念不定积分的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四
10、、四、 小结小结 Brief summaryBrief summary26高等数学41不定积分的定义思考题思考题Consideration question符号函数符号函数Sign function 在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？27高等数学41不定积分的定义思考题解答思考题解答 Solution to consideration question不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在内不存在原函数原函数 .结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.28高等数学41不定积分的定义练习题练习题Exercises 29高等数学41不定积分的定义30高等数学41不定积分的定义31高等数学41不定积分的定义练习题答案练习题答案 Answers exercises32高等数学41不定积分的定义33高等数学41不定积分的定义
