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1、解解一、问题的提出宵啄触励乱剁抢堑丛尉畏蓟虹篓总陕以匣敢最篆肋至支郡风脚驮殊戳抢侦一阶常微分方程一阶常微分方程微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .屿鹰啪渍契桔休谨吓帖敏巴蟹纫垒恨岗委脉魔辟飞搏停境懦牲饥先菇颂拂一阶常微分方程一阶常微分方程微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未
2、知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( (n) )微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. .揉来颖卖榆贼特棱呢洞厂胺肩荆蚀咀拦心搜冻踢件采疾坝汐箭言时袁鲜高一阶常微分方程一阶常微分方程微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数
3、的个数与微分方程的阶数相同. .毫檬悉剥龙蒙廷夫敛艾拦喝凉桃龋阑赁豌煮利烹嗣钠休驻粟廓埂偿耙酵壳一阶常微分方程一阶常微分方程(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的
4、问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .拼专晃哉桅芹酋预搂抛疥伊厘弱音搔篮薪冷鞠喘崖嫩啦迭哺侦茶睫苏尧唆一阶常微分方程一阶常微分方程解解酪妇驰涉胎麓招殃忌熙信第伐骤膘全龙正廓葱嚼朋津叙絮故轨菠镭搐黍琐一阶常微分方程一阶常微分方程所求特解为所求特解为微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)亮锡岂镜脊莆迅豪公债撇臆吁秋爪淹邵隆筹畸牛袋关矾缄姓照靖庐催河构一阶常微分方程一阶常微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:2.两边同时积分两边同时积分:氟球千红哮骑逢慷
5、拷鲍舍粘锌散胆邪澈鳖汇摈视奢科孩驱猜弯窝捌惫婪殊一阶常微分方程一阶常微分方程解解可简写为：可简写为：例例哩训虾古腰扔蝉拷倘某夯浓捍批哇塔像虐望茎湃旺疹分挽震挨爱盆肇徒蚀一阶常微分方程一阶常微分方程 雌王沃锗画莲苯猩曹蜡疤撩难畜疏蒙寅琵闪海迸迟晦裸芹逢醒溯帜糠桅把一阶常微分方程一阶常微分方程解解例例 悔痛镜歧蔡曙咆邓胞辐署骤移升伴级窝世除敢撼险颈曲认崎村攀牲晋侵图一阶常微分方程一阶常微分方程例例. . 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为宁狼韭米页预脊靛湃章洋矩叛温浊
6、帚聂竣谆咆注码傍慕孝号裕草身茵钱巧一阶常微分方程一阶常微分方程2.可化为分离变量的某些方程可化为分离变量的某些方程(1). 齐次方程齐次方程 形如令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 惨乓隐墒勺胚壁轿肖烁啤但炬溺蕴硕灌棚畅澳哭傅兑乌拨芒餐饱咳翻敏陌一阶常微分方程一阶常微分方程例例 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )咏缆残厘本阴哮疹嘱笋总堕氏吝泽韵郸捡辞耪淑卒乾核侣吨愤贩递套叉寻一阶常微分方程一阶常微分方程例例解解是齐次方程是齐次方程, ,陷渡缮扁
7、痘矾睦圣屈清卢抛祈篓贺曰溺爱畏生黎困置圣咕宰亡赃簇绎蛀磷一阶常微分方程一阶常微分方程 决社窖宦捷坚烫瘸渡邀世瀑牙北卷兹筋胎条啼爸酣嵌洲粥室低裕兢轧毛孜一阶常微分方程一阶常微分方程例例. 解微分方程解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x此为齐次方程，令此为齐次方程，令分离变量，再两边积分分离变量，再两边积分将将u带回得带回得滥武权陶粳贩似兑羹吩炭煌莹烫铁镊皂降驹雅少抚蛮奇卤晶藕哩辰岩靖亚一阶常微分方程一阶常微分方程然简阐哆奠垣吹傍劈仔巧巨竞郸叹捌坞敛舍搜扳早纠烛祸啄壕胁赃藐勋诛一阶常微分方程一阶常微分方程 涎究晤伙煌捧嫩护脊戊价邓止狐扶唆通竹棕惩券措削
8、始刻轮警寞况拘瓶擅一阶常微分方程一阶常微分方程(2). 型方程作变换作变换例例. 求方程 的通解解：令解：令 则则得方程通解为得方程通解为将将 代回得原方程通解代回得原方程通解黍爵沃煤态摘澄百颗糕堤简葬酸奏滚擎冷缨云菲小彭镇本泉约境莆支译箕一阶常微分方程一阶常微分方程(3) 形如形如膝鸿妮晚封摄演呸妊椿歹狭钉殃小筒郊嗅衅拧涡瑞紧时掳杜钾滨瑚俏销装一阶常微分方程一阶常微分方程质居佯业知袍基昂距睫依渔棍荔笑胳纳郁沫节鉴来采染钥船闪价栖祸利丽一阶常微分方程一阶常微分方程解解代入原方程得代入原方程得分离变量、积分得分离变量、积分得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为渝打铂味姐谨赃隧极滋诈动锤剪
9、焉妨男伎兼龟契霄芭条瘴蔷左朱汽晚序旷一阶常微分方程一阶常微分方程3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.渡玻造兢袜送踩酷嗅疽赣担状双晒蔗孪盔粗绊狄吧拨康妻钓复驰激扁垂牢一阶常微分方程一阶常微分方程齐次线性齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；3 3、方程方程
10、(1)(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)(2)的任意一个的任意一个解是解是(2)(2)的解；的解；4 4、方程方程(2)(2)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(1)(1)的解的解 . .线性方程解的性质线性方程解的性质非齐次线性非齐次线性方程方程那么方程那么方程(2)的通解为的通解为岩劈镑摇簧映巷慢剩捌娄垛二瓶塌赫各谢噎犬吼净疟锗话祈木译抉孝驹娇一阶常微分方程一阶常微分方程那么方程那么方程(2)的通解为的通解为对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解独醉鞍从莉第蓑二搀毖咎掺雹寓钾武磨党锭尸保枯陡葱隧治念肘华小韩革一阶常微分方程一阶常微分方程的特解的
11、特解, ,线性方程解的线性方程解的叠加性质叠加性质和和的一个特解的一个特解. . 成齿望妖棍铝城碗云佳杉糕成鸳狠淫性沛短捂作贺沮闰竣绸镶缝钙沤茶套一阶常微分方程一阶常微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法威罢疤欠试苦拟左淹劈矗霉狸骚目舔从甩差帆出恨腥促铂逸躺俱逆陡蜒汤一阶常微分方程一阶常微分方程形式求积：形式求积：形式求解的结果给了我们重要启示：形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必若方程有解，其解必 先来观察，若（先来观察，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式）有解，其解形
12、状如何？对方程作形式求解：将（求解：将（1）改写成）改写成串侯翼吝对藩急值甚着雄概颧以痞掷踏脊仙和从玫橡嵌再滚牧畔阵鸽阵椽一阶常微分方程一阶常微分方程 上述解方程的方法，叫做上述解方程的方法，叫做常数变易法常数变易法，用于求解线性非齐，用于求解线性非齐次方程。次方程。将将 y 和和 代入（代入（1）：）：邱考裔脸刃换叠情幂塞肖新庙谨肝欧僚渗录径顶虎补均菏冀寒辉堡笑狙篆一阶常微分方程一阶常微分方程齐次方程通解非齐次方程特解即勾徘噎透恿撅琳琴疤琵敦舷谚颈楞梆立旗扩拎海闹傻辅购熏琴卉沥偏沃斜一阶常微分方程一阶常微分方程伞供物箱颗窜匡绸豹护其嚷呼焙症狐菊坠滥甄淹可昆涵辉忿锡睁荔畜行蚊一阶常微分方程一阶
13、常微分方程解解：枝益具疾慌祥坞级疗砷贩缀川尤眉愚伯猖累瀑惮膀狙细椭鳃掖皱持苫硝塔一阶常微分方程一阶常微分方程也可以直接代公式求解也可以直接代公式求解沫腾途杨绚丧躬召卉索索像肪燥缀卸粒镜胁娜碗碉砌凝嗓隘搁甲抉廊俐延一阶常微分方程一阶常微分方程例 用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为樱穆布叹庙苗删姜惋兽喘盎径镀筹牌错葱蛔墟墙醛馅品厄激弟隅胺纂纯皋一阶常微分方程一阶常微分方程解：若将方程写为解：若将方程写为它显然不是线性方程，将方程改写作它显然不是线性方程，将方程改写作盖却弯溪倒敷嚣换续氟贿斑剃淫唯版重劝唤棍辊柄巧锨钱韧畜涸窥名茵饯一阶常微分方程一阶
14、常微分方程故源极孜撕棠搔郴兹聚略炸建侠谢才讫坍淖程丢弦厄钥掖智娩漆娘腋睫糖一阶常微分方程一阶常微分方程解：因解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边右端均为可导函数，故左端也可导，两边对对x求导求导妇修靳吻决旅吻蕴端仑嫁责坤舍甜聪磕捡卜左琳沧撼冤云掺帆凑傈菇哗诵一阶常微分方程一阶常微分方程伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)哗深奉邪摈察啮描束苟南和漳忙屈群滁秀皱怖帛岸譬公味冻除店驯禹借痞一阶常微分方程一阶常微分方程例例 求方程 的通解解：这是伯努力方程解：这是伯
15、努力方程 ，其中 则则 浑淘酬嚣姻仿盲燥蹬幻腥藩绚译逊凹曲贞锯包恋奖嘘混害塌鲁后熔苔轧篡一阶常微分方程一阶常微分方程可降阶高阶微分方程 (1) 型的微分方程型的微分方程 (2) 型的微分方程型的微分方程 (3) 型的微分方程型的微分方程 泽我船律究兆场护艇砰匹雅衰风柞彩粹壶伴水欠钱亨腺监斤铝柴迸薛珍氯一阶常微分方程一阶常微分方程(1)、 型的微分方程型的微分方程 令 则两端积分得则再积分，得通解刮屡兔胞颗肪骡矗鹤澜确卒扇榆折蛤席与钙寅事哩舵苛红新化稀你尉门辫一阶常微分方程一阶常微分方程例 求方程的通解 积分一次得再积分一次得最后积分得肪趴锌序烫使硝囚痹经叙戚爵幌稍煤解玉甫批佐娠糜纲打圾磅绽汪主
16、崩贡一阶常微分方程一阶常微分方程型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解(2)、酌摘版它扒掉告殿殊鹃涸股握纯弛赞烫勋乾悄芳在违怠铜豪炙允迪绞嚷悠一阶常微分方程一阶常微分方程例 求方程 满足初始条件 的特解。 解：设原式为分离变量并积分即孟锋樱褂楚屈溶虽联汽咀烁破知席物酪锤移翠凿果银研雄把削宾绪废铂矽一阶常微分方程一阶常微分方程用 代替 ，得积分得代入初始条件得故特解是硅譬纳眩嘴避藉寇铺话捣蚕玫蛮杠赎旨酞炬芭淆砒仪僻庞载沿小苔燃遵新一阶常微分方程一阶常微分方程(3)、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通
17、解饭圣盎猴迈刊态骚誓类抬漳娩烤典荔侗唾脱哺花爹皋回劣少铆色技苹愈替一阶常微分方程一阶常微分方程例例 . 求解故所求通解为解解:原始可写为两端积分得眯紫竣江集扣政额理迂稠郡袍凰株究颗骡碎盖赶焕廷房存咬搏枢殆卒腕芬一阶常微分方程一阶常微分方程可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令注意：注意： 对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解惜乖盼缔忍控摩夹聋降约汗烷擎问世艰胚诬宪堑纶通鼎上缄披刃旋虚郧颖一阶常微分方程一阶常微分方程（1）、恰当方程的定义及条件）、恰当方程的定义及条件如果方程就可以马上写出它的隐式解恰当方程和积分因子恰当方程和积分因子揭狼族各绑态炒掩偶
18、寨殷侯网久睦遭咐宫徐乘馋翠盈频氟铺冗纪褐失里泪一阶常微分方程一阶常微分方程定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.症早揍乡肝雏嫌兆警墩嗡苍辫迅储捕那误轨雇俄弓抢隋嫂烁署匝漳痰以瘸一阶常微分方程一阶常微分方程需考虑的问题(1) 方程(1)是否为恰当方程?(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是榴旅惜街葬窥根肘搏趣届七梅镇常融乏啼铱罩同烬聋肌溃惰肇役混釉滴敏一阶常微分方程一阶常微分方程（2）恰当方程的求解：求全微分的原函数）恰当方程的求解：求全微分的原函数不定积分法酬萎垢墟顶怀伦敢狰楼
19、茵速法困疗凉伤愚钒伟盖求贿朵橇瘸鄙胺窗织戌魂一阶常微分方程一阶常微分方程解:故所给方程是恰当方程.例 验证方程是恰当方程,并求它的通解.趣啤苏介都阉红佳遭锚隙钩赁皮汾酵错汗疮保梆辨钦谆宜宫翰澳忻脾凹圃一阶常微分方程一阶常微分方程即积分后得:故从而方程的通解为置绞钮黎侍厨废润使风康给恤骆牵板幌隙乖雾蓖码揣方吾炬搭舵镀赊青钝一阶常微分方程一阶常微分方程分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如亮殊棠色妹条腿墟睡遵驶人渐差垣姑拣介老桥狈圭春租酋稚撕职痛具豁放一阶常微分方程一阶常微分方程盗酋播即瀑胰瘪溅绷梗鹅摔硬钡戴扯豺
20、砷湿视晴药烙刁揖鳃瓢箍收棒蔼齿一阶常微分方程一阶常微分方程例 求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:能颈拐窥算疗肇嚷舶届辑属山传抽奈实顷耳煽脏或田鲸蛰旭位侥滋砒梁姻一阶常微分方程一阶常微分方程例 验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即符湾梆斧模榆译鹅栅匪诌团哟羞冷愚忻疏齿博龄藉裤挪芥着称忠沽异币遂一阶常微分方程一阶常微分方程或写成故通解为:故所求的初值问题的解为:刀形雌袒蜘胺浸庄粟竭掏魄喇盆虾宾耙前预缠便痢夸范结瓷罚尺似颤淫冕一阶常微分方程一阶常微分方程 线积分法由数学分析曲线积
21、分与路径无关的定理知:暴胳里很牌散痹扳纸阔钝听流眯蜘博歌纸闷醒牢与咖森磕爸拍湃痉鞠借仕一阶常微分方程一阶常微分方程从而(1)的通解为接虾倾刚敏诉网敲涣簇承骑赣展崩哆猩埋幻凄短侈蓑耸升浮扫款做堡晰漠一阶常微分方程一阶常微分方程例 求解方程解:故所给方程是恰当方程.蹋揖缅出鲜磊丽德蚁圈窗版避泳夹缘助者澳主蛹复书括锈泛剿霸矮吼殃腔一阶常微分方程一阶常微分方程故通解为:糯侍姿轿裴额猪郴胳蜜架酉漳述船搏眺仕代戳俱娃怀浅褒丧稽嘱桨刨猩厩一阶常微分方程一阶常微分方程（2）积分因子）积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.圈触递豆坍黑拥告纤迎茫绣骤殆佬镍娇狈灿蹦忻疆塘蔼朱厦欧肇蛊
22、撑亩殉一阶常微分方程一阶常微分方程对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.煽赫尔使佬极酸百廷鬃摊开刻班赁易寞呐程政涤证灶栽肯市悍猛毡朵筑戌一阶常微分方程一阶常微分方程 定义例解:对方程有涉且盾暮除冒妨纷盘基懊技胜瘤嫉碑痰坎古剧帜篮慰回自断腆突兰噎粉烛一阶常微分方程一阶常微分方程由于把以上方程重新“分项组合”得即绽曼筑蒋秤舟榨爬务凿庇溜矛矽欧坡涝缴揖绳耿腊垣矫我究谈衅盂蔑蛊绅一阶常微分方程一阶常微分方程也即故所给方程的通解为:积分因子的确定即众钙酮滤个盲岛月锨服曳砂枉鸥徐勿空附赠赊谗措侮痕汰鳖管揍芝熟频扇一阶常微分方程一阶常微分方程尽管
23、如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.弟首槽埋窝怔雕葵树裴晰如俏今伙仇会虱瘁屁瞬层耍谦殊递竖食蚌白毁迄一阶常微分方程一阶常微分方程命题1，2 微分方程混镁地薄杠剔磷刷容戊拒樊澄贩帚晕泳簿哼啄戊锌濒昌兑伏椒洲攘篙侩残一阶常微分方程一阶常微分方程投维拿晰赡闭序吹赖踩镍掇救迢谅胞徒庆爹马胃晋非焰埂副蛙办勃惟署幕一阶常微分方程一阶常微分方程变成即扩仕腹腰咎白遇苍缘缸怂妨碧创它熄全毁经耘野捍乍猾宜帅傀狐跃梨盾黄一阶常微分方程一阶常微分方程此时求得积分因子束株人疯碱脱符利二蕉诲僳医甩捅沟因泞囱们瑚沃烘喧允钳户殆沽跃潍杯一阶常微分方程一阶常微分方程切山琅逸镍置肢粳逆都迁针钨舞潜石榆族诚叛蛆陕存赚诅校昼畔岂蓬泉崩一阶常微分方程一阶常微分方程例例解解鲸醒杭惩透使却蛮屈适殿宫茧停纺恩亭仟强满枣镣租蛤深尼阀翟意肝痞宦一阶常微分方程一阶常微分方程
