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1、第第5 5章章 数值积分数值积分5.1 5.1 牛顿牛顿- -柯特斯求积柯特斯求积公式公式5.2 5.2 复合求积公式及其误差复合求积公式及其误差5.3 5.3 龙贝格求积法龙贝格求积法引言引言引言引言本章的问题：本章的问题： 计算定积分计算定积分abf(x)dx的近似值。的近似值。 必要性必要性: 如果如果f(x)的原函数是的原函数是F(x)，则则等等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式实际问题中常有些被积函数没有表达式,而只是通过观而只是通过观测得到一些离散的数据点测得到一些离散的数据点,比如求一条河道的某个截面积比如求一条河道的某个截面积,这样的定积分只能用近似计算方法这样的定积分只能
2、用近似计算方法. （牛顿（牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿牛顿-莱布尼兹公式不能用莱布尼兹公式不能用,如如 5.1 5.1 牛顿牛顿- -柯特斯求积柯特斯求积公式公式5.1.1 5.1.1 牛顿牛顿- -柯特斯求积公式的构造柯特斯求积公式的构造5.1.2 5.1.2 求积公式的代数精度、求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估梯形公式和抛物线公式的误差估计计5.1.1 5.1.1 牛顿牛顿- -柯特斯求积公式的构造柯特斯求积公式的构造建立数值积分公式的建立数值积分公式的基本
3、思想基本思想： 选取一个简单的函数选取一个简单的函数(x)近似代替近似代替f(x)，得得牛顿牛顿-柯特斯的思想柯特斯的思想：选取：选取(x) 为插值多项式为插值多项式Pn(x)，推导出实用的数值积分公式。推导出实用的数值积分公式。 再推导出简便实用的计算公式，称为再推导出简便实用的计算公式，称为数值积分公式数值积分公式。在在a, b作等距的插值基点作等距的插值基点 a=x0x1xn=b ，令令 由由 积分作代换积分作代换x= a+sh,则则 推导具体计算公式推导具体计算公式dx=hds, 当当x=a时时s=0， 当当x=b时时x=n，xxj=(sj )h,=i(i-1)1(-1)(-2)(-(
4、n-i) hn= (-1)n-I i! (n-i)! hn由由略去余项得略去余项得牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式 称为称为柯特斯求积系数柯特斯求积系数 n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14425/14425/9619/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/8407751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/172808989/283505888/2
5、8350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/28350柯特斯求积系数表：柯特斯求积系数表：例如：例如：n=2时，有时，有n=3时，有时，有柯特斯系数的性质柯特斯系数的性质： (2)系数有对称性。系数有对称性。 (3)当当n8时开始出现负值的柯特斯系数。时开始出现负值的柯特斯系数。 (1)理由：取理由：取f(x)1，则则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0，于是于是梯形公式梯形公式. 当当n=1时时, 有有 牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式 此公式来源于此公式来源于舍去余项的结果，舍去余项的结
6、果， 相当于用直线相当于用直线P1(x)代替代替f(x)计算积分计算积分。抛物线公式抛物线公式 牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式当当n=2时有时有 此公式来源于此公式来源于舍去余项的结果，舍去余项的结果， 相当于用抛物线相当于用抛物线P2(x)代替代替f(x)计算积分计算积分。例例用用n=1,2,3,4的牛顿柯特斯求积公式计算下面定的牛顿柯特斯求积公式计算下面定积分的近似值积分的近似值:解解当当n=1, 当当n=2, 当当n=4, 当当n=3, （梯形公式）（梯形公式）（抛物线公式）（抛物线公式）0.83333.50.66666710.50.6250.750.87515.1.2 5.1.2
7、 求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估计公式的误差估计的求积公式，如当的求积公式，如当f(x)是是1,x,x2, xm 时时成为准确的等式，成为准确的等式，但当但当f(x)= xm+1时，求积公式不能准确成立，则称求积公式的时，求积公式不能准确成立，则称求积公式的代数精确度代数精确度（简称（简称代数精度代数精度）为）为m。定义定义对一个形如对一个形如（Ai与与f(x)无关）无关）牛顿柯特斯求积公式具有上面的形式，且余项为牛顿柯特斯求积公式具有上面的形式，且余项为定理定理5.1牛顿柯特斯求积公式的代数精确度至少牛顿柯特斯求积公式的代数精确度至少为为
8、n。而且当而且当n是偶数时，公式的代数精确度可达到是偶数时，公式的代数精确度可达到n+1。证明证明当当 f(x)是是1,x,x2, xm 时，时，求积公式成为准确的等式。因此牛顿柯特斯求积公式求积公式成为准确的等式。因此牛顿柯特斯求积公式的代数精确度至少为的代数精确度至少为n。（其余证明略）其余证明略）定理定理5.2（梯形公式的误差梯形公式的误差）设）设f(x)在在a,b上具有连续上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差可表达为的二阶导数，则梯形公式的误差可表达为证证由于由于(x-a)(x-b)在在a, b 中不变号，中不变号，在在a, b 中连续，中连续，根据定积分的第二中值定理，存在一点根据
9、定积分的第二中值定理，存在一点a,b,使使定理定理5.3（抛物线公式的误差抛物线公式的误差）设）设f(x)在在a,b上具有上具有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差可表达为连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差可表达为例例试证梯形公式的代数精确度为试证梯形公式的代数精确度为1。 证明证明梯形公式是梯形公式是误差误差当当f(x)=x0,x时，时，R1 (f ) =0,梯形公式成为准确等式梯形公式成为准确等式.当当f(x)=x2时，根据梯形公式，左时，根据梯形公式，左=右右=左左因此，公式的代数精确度为因此，公式的代数精确度为1。例例试证抛物线公式的代数精确度为试证抛物线公式的代数精确度为3。证
10、明证明抛物线公式是抛物线公式是误差误差当当f(x)=x0,x,x2,x3时，时，R2 ( f ) =0,抛物线公式成为准确等式抛物线公式成为准确等式.当当f(x)=x4 时，时，因此，公式的代数精确度为因此，公式的代数精确度为3。0，抛物线公式不能准确成立。，抛物线公式不能准确成立。5.2.1 5.2.1 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差5.2.2 5.2.2 复合抛物线公式及其复合抛物线公式及其误差误差5.2 5.2 复合求积公式及其误差复合求积公式及其误差5.2.3 5.2.3 变步长的梯形公式变步长的梯形公式公式的构造思想公式的构造思想：将积分区间等分成：将积分区间等分成n个小区
11、间，在每个小区间个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式再相加起来，得到实用的计算公式。上分别用梯形求积公式再相加起来，得到实用的计算公式。 5.2.1 5.2.1 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差设设f(x)在在a,b上有连续的二阶导数，上有连续的二阶导数，n是正整数是正整数.a,b等分成等分成n个小区个小区间间在在上运用梯形公式，上运用梯形公式，各式相加后得各式相加后得由于由于f(x)连续，且有连续，且有 对对f(x)应用连续函数的介值定理知存在应用连续函数的介值定理知存在a, b ,使使 因此因此 略去余项后便得略去余项后便得复合梯形公式复合梯形公式 余项余项为为 例例用用n=
12、6的复合梯形公式计算积分的复合梯形公式计算积分的近似值。的近似值。解解 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.21.827655 练习练习用用n=6的复合梯形公式计算积分的复合梯形公式计算积分解解5.2.2 5.2.2 复合抛物线公式及其误差复合抛物线公式及其误差n取为偶数。取为偶数。在区间在区间分别应用抛物线求积公式（设分别应用抛物线求积公式（设f(x)在在a,b上有连续的上有连续的4阶导阶导数）数）各式相加，舍去余项可得复合抛物线求积公式各式相加，舍去余项可得复合抛物线求积公式当当n=2时即为上节的抛物线公式。时即为上节的抛物线公式。可可推得推得Sn 的的余项为余项为利用连续函数的介
13、值定理利用连续函数的介值定理有有n为偶数为偶数例例用用n=6的复合抛物线公式计算积分的复合抛物线公式计算积分的近似值。的近似值。解解使绝对误差小于使绝对误差小于106。例例用复合抛物线公式计算积分用复合抛物线公式计算积分的近似值的近似值,解解解不等式解不等式求得求得n=6。用用n=6的复合抛物线公式计算积分，见上例。的复合抛物线公式计算积分，见上例。用复合抛物线求积公式计算定积分的一般步骤：用复合抛物线求积公式计算定积分的一般步骤：（1）由被积函数和积分区间，计算）由被积函数和积分区间，计算，并作出估计，并作出估计:（2）由不等式）由不等式解出偶数解出偶数n的最小值。的最小值。（3）计算函数值
14、）计算函数值计算出计算出Sn。5.2.3 5.2.3 变步长的梯形公式变步长的梯形公式分别按复合梯形公式计算的结果记为分别按复合梯形公式计算的结果记为T(0) , T(1) ,T(2) ,T(m) ,.让让n 依次取依次取1,21,22,2m,对应的步长序列为对应的步长序列为， ，. 上式中，当上式中，当k取偶数时，令取偶数时，令当当k取奇数时，令取奇数时，令注意注意即变步长的梯形公式为对于指定的误差限对于指定的误差限，当当|T(m)- T(m-1) |(为绝对误差限）为绝对误差限）时时结束计算。理由如下：结束计算。理由如下：或或|T(m)- T(m-1) |T(m)|(为相对误差限）为相对误
15、差限）所以所以|T(m) T(m-1 )|可以用来估计可以用来估计T(m)的的误差。误差。理由理由 T(m)的余项的余项 为为 记记 设设f(x)连续且变化不大，当连续且变化不大，当m时显然时显然T(m)J。当当m充分大时，充分大时，f(m-1 ) f(m ) ,可得近似式：可得近似式：注意注意：由上述近似式还可推得：由上述近似式还可推得：此式此式可用于构造加速收敛的计算公式。可用于构造加速收敛的计算公式。5.3 5.3 龙贝格（龙贝格（Romberg)Romberg)求积法求积法可以预料它比可以预料它比T(m)的准确性更高。事实上，分别取步长的准确性更高。事实上，分别取步长(b-a)/n,(
16、b-a)/(2n)(n是正整数是正整数),用复合梯形公式计算用复合梯形公式计算Tn,T2n,则有则有可见可见,由复合梯形公式所作出的线性组合由复合梯形公式所作出的线性组合正好是代数精确度达到正好是代数精确度达到3的复合抛物线公式。的复合抛物线公式。在变步长的梯形公式中，得到近似式在变步长的梯形公式中，得到近似式龙贝格求积法的基本思想龙贝格求积法的基本思想：运用一个代数精确度较低的求积公式：运用一个代数精确度较低的求积公式（例如梯形公式），相继以步长和求得定积分的两个近似结果，然后再（例如梯形公式），相继以步长和求得定积分的两个近似结果，然后再作它们适当的线性组合，则可以得到一个代数精确度更高的
17、公式。作它们适当的线性组合，则可以得到一个代数精确度更高的公式。设依次用步长为设依次用步长为的复合梯形公式的计算结果记为的复合梯形公式的计算结果记为这是第这是第1个积分序列，其计算公式由上节可知为个积分序列，其计算公式由上节可知为由第由第1个积分序列（复合梯形公式积分序列），根据关系个积分序列（复合梯形公式积分序列），根据关系可得出较为准确的第二个积分序列（即复合抛物线公式积可得出较为准确的第二个积分序列（即复合抛物线公式积分序列）分序列）龙贝格求积法：龙贝格求积法：用类似的推理可证由关系用类似的推理可证由关系可得出更为准确的第三个积分序列可得出更为准确的第三个积分序列，可验证其中可验证其中T
18、2,0的代数精确度的代数精确度至少是至少是5.一般说来，由已得序列一般说来，由已得序列推导下一序列的公式推导下一序列的公式为为龙贝格积分法可以按下面的龙贝格积分法可以按下面的“T数表数表”的顺序进行：的顺序进行：T0,0(1)T0,1(2)T1,0(3)T0,2(4)T1,1(5)T2,0(6)T0,3(7)T1,2(8)T2,1(9)T3,0(10)当对角线上最后两个相邻项满足当对角线上最后两个相邻项满足时时,可停止计算并取可停止计算并取作为所求积分的近似值作为所求积分的近似值.例例用龙贝格积分法计算积分用龙贝格积分法计算积分,使精确度达到使精确度达到10-4。解解最后得到最后得到龙贝格积分法：龙贝格积分法：
