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1、第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同学们都知道，数学是一门基础学科，是解同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其他一些学科问题的有力工具决其他一些学科问题的有力工具. .其实数学的很其实数学的很多理论是由其他学科的一些知识抽象而来的多理论是由其他学科的一些知识抽象而来的. .成成为理论后又反过来对其他学科起作用为理论后又反过来对其他学科起作用. .比如同学比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系. .唉唉, 哪儿去了哪儿去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨猫猫!AB老鼠由老鼠由A A向东北方向以每秒向东北方向以每秒6 6米的米的速度逃窜
2、，如果猫由速度逃窜，如果猫由B B向正东方向正东方向以每秒向以每秒1010米速度追赶，那么猫米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？能否抓到老鼠？为什么？1.1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念掌握向量的意义、表示方法以及有关概念. .（重点）（重点）2.2.能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等是否平行、共线、相等. .（重点、难点）（重点、难点） 请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量又有方向的量. . 探究一：向量的物理背景与概念探究一：向量的物理背景与概念 在现实
3、生活中，我们会遇到很多量，其中一些在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等度、质量等. .还有一些量，如我们在物理中所学习还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图受到的重力是竖直向下的（图2.1-12.1-1），物体的质），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图浮力是竖直向上的（图2.1-22.1-2）；被拉长的弹簧
4、的）；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图弹力是向左的（图2.1-32.1-3），被压缩的弹簧的弹力），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图是向右的（图2.1-42.1-4），并且在弹性限度内，弹簧），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大拉长或压缩的长度越大，弹力越大. .向量的定义向量的定义既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量叫做的量叫做向量向量. .数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小向，大小，不能比较大小.思考思考: :时间时间, ,路程路程, ,功功, ,速度速度, ,加速度是向量加速度是向量
5、吗吗? ?为什么为什么? ?下列不是向量的是（下列不是向量的是（ ） 质量质量; 速度速度; 位移位移; 温度温度;加速度加速度; 路程路程; 密度密度;功功. 【即时训练即时训练】ABAB探究二：探究二：向量的表示方法向量的表示方法有向线段有向线段 （起点、起点、 ）(1)(1)几何表示法：几何表示法： (2)(2)字母表示法：字母表示法：B B（终点）（终点）A A（起点）（起点） 方向、方向、 长度长度“向量就是有向线段，有向线段就是向量向量就是有向线段，有向线段就是向量. .”的说的说法对吗？法对吗？不不对，向量只有大小和方向两个要素；与起点向量只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要
6、大小和方向相同，无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是两个向量就是相同的向量；相同的向量；有向有向线段有起点、大小和方向三段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向不同的有向线段段.【即时训练即时训练】探究三：向量的有关概念探究三：向量的有关概念1.1.向量的向量的长度（模）度（模）：向量：向量ABAB的的大小大小, ,也就是向量也就是向量的的长度（或称模）度（或称模）. . |AB|AB|记作作2 2两个特殊向量：两个特殊向量： 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点一
7、点P P，那么它们的终点的集合组成什么图形？，那么它们的终点的集合组成什么图形？零向量零向量长度度为0 0的向量叫做零向量，的向量叫做零向量，记作作 0 0. .P单位向量单位向量长度等于长度等于1 1个单位的向量，叫做单位向量个单位的向量，叫做单位向量. .提示：圆提示：圆【即时训练即时训练】例例1.1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示在图中分别用向量表示A A地至地至B B，C C两地的位移，并两地的位移，并求出求出A A地至地至B B，C C两地的实际距离（精确到两地的实际距离（精确到1km1km）. .解：解：表示表示
8、A地至地至B地的位移，且地的位移，且 200km. 表示表示A地至地至C地的位移，地的位移，且且 280km.判断正误判断正误(1)零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的. (3)单位向量的模都相等单位向量的模都相等.()(4)单位向量都相等单位向量都相等.(x)()(X)【变式练习变式练习】（1 1）相等向量：相等向量：长度长度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等的向量叫做相等向量向量. .记作：作： abo o.b a探究四：向量间的关系探究四：向量间的关系各向量的终点与直线各向量的终点与直线l之间有什么关系？之间有什么关系？如：如：（2 2）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或
9、或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行叫做平行向量向量. .记作作 a b cb c规定：定： 与任一向量平行与任一向量平行. .问：问：把一组平行于直线把一组平行于直线l的向量的起点平移到直的向量的起点平移到直线线l上的一点上的一点O O ，这时它们是不是平行向量？，这时它们是不是平行向量？O Ol .C COC = cOC = cA AOA = a OA = a OB = b OB = b B B 平行向量又叫做共线向量平行向量又叫做共线向量两个向量是否可以比较大小？两个向量是否可以比较大小？ 向量不能比向量不能比较大小，我大小，我们知道，知道，长度相等且度相等且方向相同的两个向量表示相等
10、向量，但是两个向方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之量之间只有相等关系，没有大小之分，只有相等关系，没有大小之分，对于向于向量量，或或这种种说法是法是错误的的.【即时训练即时训练】例例2 2如图，设如图，设O O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心，分别写的中心，分别写出图中与出图中与 相等的向量相等的向量. 解：解：方向相同方向相同长度相等长度相等A AB BC CD DF FE EM M解解：（1）DE，BF，FB，FA，AF，ED，MC（2）FB，AF，MC如图如图,D,D，E E，F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBC
11、MF是平行四边形，请分别写出是平行四边形，请分别写出：（1 1）与）与CMCM长度相等且共线的向量；（长度相等且共线的向量；（2 2）与）与EDED相等相等的向量；的向量；【变式练习变式练习】1 1、下列说法中正确的是、下列说法中正确的是( )( )A.A.平行向量就是向量所在直线都平行平行向量就是向量所在直线都平行的向量的向量B.B.长度相等的向量叫做相等向量长度相等的向量叫做相等向量C.C.零向量的长度为零向量的长度为0 0D.D.共线向量就是在同一直线上的向量共线向量就是在同一直线上的向量C C2 2、下列说法中错误的是、下列说法中错误的是( )( )A.A.零向量是没有方向的零向量是没
12、有方向的B.B.零向量的长度为零向量的长度为0 0C.C.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行D.D.零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的A AC4、如图，、如图，D,E ,F分别是等腰分别是等腰RtABC的各边的中点，的各边的中点，BAC=90.（1）分别写出图中与向量）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等的向量长度相等的向量.（2）分别写出图中与向量）分别写出图中与向量相等的向量相等的向量.DE,FD（3）分别写出图中与向量）分别写出图中与向量共线的向量共线的向量.FDDE,BCDEFABCDEFA解：(1)5 5、已知边长为、已知边长为2 2的等边三角形的等边三角形ABCABC，求，求BCBC边上的中线边上的中线向量向量 的模的模. .单位向量单位向量 概念概念表示方法表示方法关系关系 共线向量共线向量相等向量相等向量向量向量零向量零向量无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵品质。加里宁
