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1、第第10章章 Z-变换变换The Z-Transform本章主要内容本章主要内容1.双边双边Z变换及其收敛域变换及其收敛域ROC。2. ROC特征，各类信号的特征，各类信号的ROC，零极点图，零极点图3. Z反变换，部分分式展开与进行反变换。反变换，部分分式展开与进行反变换。4. 由零极点图分析系统的特性。由零极点图分析系统的特性。5. 常用信号的常用信号的Z变换，变换，Z变换的性质。变换的性质。6. 用用Z变换表征变换表征LTI系统，系统函数，系统，系统函数，LTI系系统的统的Z变换分析法，级联与并联型结构。变换分析法，级联与并联型结构。7. 单边单边Z变换，增量线性系统的分析。变换，增量线
2、性系统的分析。 Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换（傅立叶变换（DTFT）的推广。）的推广。 Z 变换变换的基本思想、许多性质及其分析方法都的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。与拉氏变换也存在着一些重要的差异。10.0 引言引言 (Introduction)10.1 双边双边 Z 变换变换 当当 时，时， 即为离散时间傅立叶变换即为离散时间傅立叶变换这表明：这表明：DTFT就是在单位圆上进行的就是在单位圆上进行的Z变换。变换。一一. .双边双边Z变换的
3、定义变换的定义:The z-Transform其中其中 是一个复数是一个复数二二. Z变换的变换的ROC：Z变换与变换与DTFT一样存在着收敛的问题。一样存在着收敛的问题。1. 并非任何信号的并非任何信号的Z变换都存在。变换都存在。2. 并非并非Z平面上的任何复数都能使平面上的任何复数都能使 收敛。收敛。Z平面上那些能使平面上那些能使 收敛的点的集合，就收敛的点的集合，就构成了构成了 的的ROC。可见：对可见：对 做做 Z 变换就等于对变换就等于对 做做DTFT，因此，因此，Z 变换是对变换是对DTFT的推广的推广例例1.即即时时，例例2.即即1）Z变换由代数表达式和收变换由代数表达式和收敛域
4、组成；敛域组成；2）例）例1和例和例2的零极点图和收的零极点图和收敛域如图所示敛域如图所示.3）如果）如果X(z)的的ROC包括单位包括单位圆，则圆，则xn的的DTFT 存在。存在。说明：说明：a a1 1Z平面平面单位圆单位圆例例2单位圆单位圆1 1Z平面平面a a例例1假定假定 此时，此时，ROC不包括单位圆，所以不包括单位圆，所以不能从不能从 简单通过将简单通过将 得到得到 。Z平面平面1 1xn=un的的ROC：Z变换收敛域的性质：变换收敛域的性质：a）X(z)的的ROC是在是在Z平面以平面以O为心的圆环为心的圆环b）if xn是右边序列，是右边序列，X(z)的的ROC位于圆外位于圆外
5、c）if xn是左边序列，是左边序列，X(z)的的ROC位于圆内位于圆内d）if xn是双边序列是双边序列,X(z) 的的ROC是一圆环是一圆环e）ROC内不包含任何极点；内不包含任何极点；f）if X(z)是有理的，是有理的，X(z)的的ROC总是被极点总是被极点和无限远点界定；和无限远点界定；g）if X(z)是有理的，且是有理的，且xn是右边序列，是右边序列，ROC位于位于Z平面内最外层极点的外边；平面内最外层极点的外边；h）if X(z)是有理的，且是有理的，且xn是左边序列，是左边序列，ROC位于位于Z平面内最里层非零极点的里边；平面内最里层非零极点的里边；i）如果）如果 xn是有限
6、长序列，是有限长序列，then ROC是整是整个个Z平面，可能除去平面，可能除去 z0或或和和 z 点点。这些使这些使X(z)不收敛的点。不收敛的点。2 21/21/2Z平面平面例例3.前面三道例题的前面三道例题的 都是有理的。都是有理的。 只要只要xnxn 是实指数或复指数的线性组合，是实指数或复指数的线性组合， 就一定是有理的。就一定是有理的。例例4.其他其他极点极点：（一阶）（一阶）（N1阶）阶）零点零点：0 0 在在 处，零极点抵消，使有限处，零极点抵消，使有限 z平面平面内无极点。内无极点。当当 时，在时，在 的展的展开式中，只有开式中，只有z的负幂项，故的负幂项，故z不能为不能为0
7、，但可，但可以取以取 。当当 时，在时，在 的展的展开式中，只有开式中，只有z的正幂项，故的正幂项，故z不能为不能为 ，但可以取但可以取0。当当 时，在时，在 的展的展开式中，既有开式中，既有z的正幂项，也有负幂项，故的正幂项，也有负幂项，故z既不能为既不能为 也不能取也不能取0。一般一般：例例5. 在在 时，两个子收敛域无公共部分，表时，两个子收敛域无公共部分，表明此时明此时 不存在。不存在。b b1/b1/bZ平面平面时，时，ROC为为例例6.0 0零点：零点：（二阶）（二阶）在有限在有限Z平面上极点总平面上极点总数与零点总数相同数与零点总数相同极点：极点：若其若其ROC为：为：1则则 为
8、右边序列，且是因果为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。的，但其傅立叶变换不存在。时时xnxn 是左边序列，且是反因果的，是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。其傅立叶变换不存在。2 时时xnxn 是双边序列，其傅立叶变是双边序列，其傅立叶变换存在。换存在。3ROC是否包括是否包括 z=0 , 是是xn是否反因果的标志是否反因果的标志。ROC是否包括是否包括 |z|=，是，是xn是否因果的标是否因果的标志。志。例：考虑单位脉冲序列例：考虑单位脉冲序列n的的Z变换变换ROC：除除z0外的外的Z平面平面ROC：除除z外的外的Z平面平面ROC：整个整个Z平面，即平面，即|z| Z变换
9、的许多性质与变换的许多性质与DTFT的性质相似，其的性质相似，其推推 论方法也相同。故主要讨论论方法也相同。故主要讨论ROC的变化。的变化。：包括包括10.2 Z变换的性质变换的性质1. 线性线性：Properties of the Z-transformv 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则则ROC可能会扩大。可能会扩大。2. 时移：时移：ROC: R ; ROC: R ; 但在但在 z=0z=0和和|z|=|z|=可能会有增删可能会有增删v 由于信号时移可能会改变其因果性，故会由于信号时移可能会改变其因果性，故会使使ROC 在在z=0和和|z|=
10、有可能改变。有可能改变。3. Z域尺度变换：域尺度变换：时时 收敛，故收敛，故 时，时， 收敛。收敛。 当当 时，即为时，即为频频移移特性特性。 若若 是一般复数是一般复数 ，则，则 的零极点的零极点不仅要将不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度的零极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有，而且在径向有 倍的尺度变化。倍的尺度变化。1/21/24. 时域反转：时域反转：v 信号在时域反转，会引起信号在时域反转，会引起 的零、极点的零、极点分布按倒量对称发生改变。分布按倒量对称发生改变。v 如果如果z zi i是是X(zX(z) )的零的零/ /极点极点, ,则则1/1/zi就是就是X(z-1) 的
11、零的零/ /极点。由于极点。由于z zi i* *也是也是X(z)的零的零/ /极点，因极点，因此此1/z1/zi i* *也是也是X(zX(z-1-1) )的零的零/ /极点。极点。即：即： X(zX(z) )与与X(ZX(Z-1-1) )的的零极点呈共轭倒量对零极点呈共轭倒量对称称。也称为关于单位圆对称。也称为关于单位圆对称。0 0例：例：若若X(Z)X(Z)的的ROCROC为为1/2|z|3/21/2|z|3/2则则X(ZX(Z-1-1) )的的ROCROC为为2/3|z|22/3|z|25. 时域内插时域内插: 若若: :证明：证明：则则: :6. 共轭对称性共轭对称性：7. 卷积性质
12、：卷积性质：当当xn是实信号时，是实信号时，x*n=xn于是有：于是有：X(z)=X*(z*);表明此时表明此时X(z)如果有零极点，如果有零极点，必共轭成对出现必共轭成对出现包括包括 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。可能会扩大。该性质是该性质是LTI系统系统Z变换分析法的理论基变换分析法的理论基础。础。Proof：8. Z域微分域微分： 利用该性质可以方便地求出某些非有理利用该性质可以方便地求出某些非有理函数函数X(zX(z) )的反变换，或具有高阶极点的的反变换，或具有高阶极点的X(zX(z) )的反变换。的反变换。例例1. 例例2：9
13、. 初值定理：初值定理：则则时有时有显然当显然当证明：证明：将将X(zX(z) )按定义式展开有：按定义式展开有：10. 终值定理终值定理 ： 若若xnxn 是因果信号，且是因果信号，且 ， 除了在除了在 可以有一阶极点外，其它极点可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则均在单位圆内，则 证明：证明：在单位圆上无极点在单位圆上无极点. . 除了在除了在 可以有可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，单阶极点外，其它极点均在单位圆内， 这其实表明：如果这其实表明：如果 有终值存在，则其有终值存在，则其终值等于终值等于 在在 处的留数。处的留数。Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图平面上极点
14、位置与信号模式的关系示意图10.3 Z-反变换反变换令令一一. .Z-反变换：反变换：The Inverse Z-Transform 当当从从02时，时，z沿着沿着ROC内半径为内半径为 r 的的圆变化一周。圆变化一周。1. 部分分式展开法：部分分式展开法：其中其中 C 是是 ROC 中逆时针中逆时针方向的圆周。方向的圆周。二二. . 反变换的求取：反变换的求取：当当X(zX(z) )是有理函数时，可将其展开为是有理函数时，可将其展开为部分部分分式分式步骤步骤 ：1. 求出求出X(z)的所有极点的所有极点aj； 2. 将将 X(z)展开为部分分式；展开为部分分式；3. 根据总的根据总的ROC，
15、确定每一项的，确定每一项的ROC；4. 利用常用变换对和利用常用变换对和Z变换性质求出每一项变换性质求出每一项的反变换。的反变换。例例1 1：将将X(z) 展开为部分分式有：展开为部分分式有：例例2：2. 幂级数展开法幂级数展开法: :（长除法）（长除法）由由X(zX(z) )的定义，将其展开为幂级数，有的定义，将其展开为幂级数，有 展开式中展开式中z z-n-n项的系数即为项的系数即为xnxn 。当。当X(zX(z) )是是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。为幂级数。v 由于由于右边序列右边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多
16、个Z的负幂项，所以要的负幂项，所以要按降幂长除。按降幂长除。v 由于由于左边序列左边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要的正幂项，所以要按升幂长除。按升幂长除。v 双边序列先将其分成分别对应信号的右边双边序列先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。和左边的两部分，再分别按上述原则长除。例：例： 所以所以前式按降幂长除，后式按升幂长除前式按降幂长除，后式按升幂长除。 幂级数展开法适合用来求解非有理函数幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式形式X(zX(z) )的反变换。的反变换。 幂级数展开法的缺点是当幂级数展开法的缺点是当X(zX(z
17、) )较复杂（含较复杂（含多个极点时）难以得出多个极点时）难以得出xnxn 的闭式。的闭式。3. 留数法留数法：zi是是C内的极点内的极点是是C外的极点。外的极点。时，时，zi是是C内的极点内的极点。时，时，对有理函数的对有理函数的X(zX(z) )由留数定理有：由留数定理有： 当当ROC包括包括|z|=1时，时，Z 变换在单位圆上的变换在单位圆上的情况就是情况就是X(ej)，因此也可以利用零极点图，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。对其进行几何求值。其方法与拉氏变换时完其方法与拉氏变换时完全类似：全类似：10.4. 由零极点图对由零极点图对DTFT几何求值几何求值Geometric E
18、valuation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。即可反映系统的频率特性。令令令令当当|a|1时，时，ROC包括单位圆。包括单位圆。a a1 1例例1. 一阶系统一阶系统显然，显然， 取决于取决于 的变化。的变化。v当当 时，时，在在=0=0处，处，| |H(eH(ej j)|)|有最大值。有最大值。在在=处，处，|H(ej)|有最小值。有最小值。|H(ej
19、)|随随 =0 呈单调递减呈单调递减一阶系统的频率特性：一阶系统的频率特性：v当当 时，时，a a1 1|a|a|越大，极点靠单位圆越近，系统频响越越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。相位的非线性程度越厉害。可以看出可以看出： |a|a|越小，极点靠原点越近，系统的频率响越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时应越平缓，系统的带宽越宽；此时hnhn 衰减衰减越快越快, ,snsn 上升越快。上升越快。例例2. 二阶系统：二阶系统：式中式中极点极点：零点零点：（二阶）（二阶）
20、 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。即可得到二阶系统的频率特性。1 1 当当从从00时，在靠近时，在靠近=处频率响处频率响应会出现极大值。应会出现极大值。 随着随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋于平坦，而趋于平坦，而 hnhn 和和snsn 的变化率会增加。的变化率会增加。 r越接近于越接近于1，| |H(eH(ej j)| )| 的峰值越尖锐。由的峰值越尖锐。由于极点远离原点于极点远离原点, ,hnhn 和和sns
21、n 的变化率越慢的变化率越慢二阶系统的频率特性二阶系统的频率特性：10.5 常用信号的常用信号的Z变换对变换对10.6 利用利用Z变换分析与表征变换分析与表征LTI系统系统 一一. .系统特性与系统特性与 H(zH(z) )的关系的关系: :（自学）（自学）Some Common Z-Transform PairsAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms LTI系统的特性可以由系统的特性可以由hn或或H(ej) 描述，描述，因而也可以由因而也可以由H(z)连同连同ROC来表征。来表征。若若H(z)的的ROC是
22、最外部极点的外部，是最外部极点的外部， 并且包并且包括括 |z|=，则该系统是因果的。，则该系统是因果的。1. 因果性：因果性： H(zH(z) )称为称为系统函数。系统函数。系统的特性应该在系统的特性应该在系统函数中有所表现。系统函数中有所表现。如果如果LTI系统是因果的，则系统是因果的，则n0时，时，hn=0 因果性判定因果性判定1：因果性判定因果性判定2：一有一有有理系统函数有理系统函数H(z)的的LTI系统，如果系统，如果 a）ROC位于最外层极点外部某一圆的外边位于最外层极点外部某一圆的外边b）H(z) 表示成表示成 z 的多项式之比，且的多项式之比，且分子的分子的最高阶次不能大于分
23、母的阶次最高阶次不能大于分母的阶次 ，该系统是因，该系统是因果的。果的。例例1：例例2：2. 稳定性：稳定性：H(z)的的ROC必含单位圆必含单位圆若若 ，则，则LTILTI系统稳定。系统稳定。hn的的DTFT存在存在稳定性判定稳定性判定1：若若H(z) 的的ROC包括单位圆，包括单位圆，则系统稳定。则系统稳定。稳定性判定稳定性判定2：H(z)是有理的，且其全部根均是有理的，且其全部根均在单位圆内。则系统是稳定的。在单位圆内。则系统是稳定的。二二. LTI系统的系统的Z变换分析法：变换分析法：例：因果例：因果LTI系统系统，1） 由由xnxn 求得求得X(zX(z) )及其及其 ROC: RR
24、OC: R1 1 2）由系统的描述求得由系统的描述求得H(zH(z) )及其及其 ROC:RROC:R2 2 3） 由由Y(zY(z)=)=X(z)H(zX(z)H(z) )得出得出Y(zY(z) )并确定它并确定它 的的ROC包括包括 R R1 1、R R2 2的交集。的交集。4） 对对Y(Z)Y(Z)做反变换得到做反变换得到ynyn 。三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统的H(z):对方程两边做对方程两边做Z变换可得：变换可得：由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统，其方程为系统，其方程为是一个有理函数。是一个有理函数。H(z)的的ROC需要通过其它条件确定，如：需要通过
25、其它条件确定，如：1.系统的因果性或稳定性。系统的因果性或稳定性。2.系统是否具有零初始条件等。系统是否具有零初始条件等。例：例：一因果一因果LTI系统满足下列差分方程：系统满足下列差分方程：求求1)系统函数系统函数 H(z) 及其收敛域；及其收敛域；2)单位脉单位脉冲响应冲响应 hn；3)系统稳定？系统稳定？4)画画H(z)的零极的零极点图。点图。例：例：由下列差分方程做出网络结构，并求其由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数系统函数 H(z) 和单位脉冲响应和单位脉冲响应 hn。解：由方程可得解：由方程可得FIR例：例：由下列差分方程做出网络结构，并求其由下列差分方程做出网络结构，并求
26、其系统函数系统函数 H(z) 和单位脉冲响应和单位脉冲响应 hn。解：由方程可得解：由方程可得FIR 一一. . 系统互联的系统函数系统互联的系统函数: :ROC包括包括10.7系统函数的代数属性与系统的级联、系统函数的代数属性与系统的级联、并联结构并联结构System Function Algebra and Block Diagram Representations1. 级联：级联：ROC包括包括2. 并联：并联：3. 反馈联接：反馈联接： 由系统框图可列出如下方程由系统框图可列出如下方程：ROC：包括：包括 由由LCCDE描述的描述的LTI系统，其系统函数系统，其系统函数为有理函数，可以
27、将其因式分解或展开为为有理函数，可以将其因式分解或展开为部分分式。部分分式。二二. LTI系统的级联与并联结构：系统的级联与并联结构：1 .级联型：级联型： 其中其中 H Hk k(z(z) )是二阶（或一阶）系统函数。是二阶（或一阶）系统函数。由此即可得由此即可得系统的级联结构系统的级联结构：将将H(zH(z) )因式分解，在无重阶零极点时可得因式分解，在无重阶零极点时可得: :N为偶数时为偶数时D DD DD DD DLTI系统的级联型结构系统的级联型结构2. 并联型：并联型： 将将H(zH(z) )展开为部分分式，在无重阶极点时有展开为部分分式，在无重阶极点时有N为偶数时为偶数时DDDD
28、LTI系统的并联型结构系统的并联型结构10.9 单边单边Z变换：变换：一一. 单边单边Z变换：变换： 单边单边Z变换是双边变换是双边Z变换的特例，也就是因变换的特例，也就是因果信号的双边果信号的双边Z变换。因此单边变换。因此单边Z变换变换 的的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括一定是最外部极点的外部，并且包括 |z|= 。 The Unilateral Z-Transform所以在讨论单边所以在讨论单边Z变换时，不再强调其变换时，不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边它的反变换也一定与双边Z变换的变换的反变换一致。反变换一致。对其做双边对其做双边Z变换有变换有： 如果信号如果信号 不是因
29、果序列，则其双边不是因果序列，则其双边Z变换变换 与单边与单边Z变换变换 不同。不同。例例1: 显然显然对其做单边对其做单边Z变换有：变换有：对其做双边对其做双边Z变换有：变换有：对其做单边对其做单边Z变换有：变换有：例例2. 只要只要所涉及的信号是因果信号，所涉及的信号是因果信号，单边单边Z变换变换除了时移特性与双边除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其变换略显不同外，其它性质与双边它性质与双边Z变换的情况是一致的。变换的情况是一致的。显然显然二二. 单边单边Z变换的性质：变换的性质： 这是因为这是因为xn在在n0的部分对双边的部分对双边Z变换变换起作用，而对单边起作用，而对单边Z变换不起作
30、用所致。变换不起作用所致。时移特性：时移特性：Proof:若若则则同理可得：同理可得：Proof：同理可得：同理可得：1. 讨论了对离散时间信号和讨论了对离散时间信号和LTI系统进行系统进行Z变变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。与第九章相对应。10.10 小结：小结：Summary2. 与拉氏变换的情况对照，可以发现与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与平面与Z平面之间存在着一种影射关系，平面之间存在着一种影射关系， 就就是这种联系是这种联系。将连续时间信号将连续时间信号 采样，可以得到：采样，可以得到：对其做拉氏变换有：对其做拉氏变
31、换有： 对采样所得到的样本序列对采样所得到的样本序列 做做Z变换有：变换有：比较两式，可以得出比较两式，可以得出S平面与平面与Z平面之间有：平面之间有：映射过程：映射过程：13. 利用利用Z变换分析变换分析LTI系统，较之系统，较之DTFT具有具有更方便、更广泛适用的优点。更方便、更广泛适用的优点。 这种映射关系在数字信号处理，特别是数这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常重要的。明确了这种关字系统设计中是非常重要的。明确了这种关系就很容易对系就很容易对Z 变换与拉氏变换的关系及差变换与拉氏变换的关系及差异之处有更清楚的认识。异之处有更清楚的认识。4. 单边单边Z变换是分析增量线性系统的有力工变换是分析增量线性系统的有力工具具。习题：习题：10.1，10.4、10.5、10.10、10.14、10.17、10.20、10.22、10.24、10.30、10.47、10.48
