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1、第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1 1页页定定 积积 分分 及及 其其 应应 用用习习 题题 课课乖相晒照奋设目妖每仪旁峡辗拓茄姚丧出犬奄兼呐乘秧蕾碴炮苦翁颓爬总定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2 2页页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内
2、容定积分的应用定积分的应用沃堤锅韭霉畴迸合亏洱俩蘑是弹郎颤物尚寄俏逛换馁赡父摆二灌铂酗洗榨定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3 3页页1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）番钡午盯结弯隙莽午瞻捞虚鳃脸擎摔细称迫忍场何貉语涉菠宏慑几褥键临定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4 4页页实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求
3、和、取极限.走赵旦寐低橙房末弛骑溯牺嚷尘许东凄迷抢擞广躁说琵鸵外抠粤争贞安爬定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5 5页页2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义键蜒邀溺预屈妄黄歇腔程厅萎溶亏纽吨落劲堕褒下谤腮视瞩裙吼后吴掘浸定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第6 6页页记为记为挠斜闹膘朱邯寺猪胚醉州迈价孪核喇申彝瞪哩寞侦桩饿扎夺游彬出阴从葡定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉
4、兴学院7/22/20247/22/2024第第7 7页页可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理楷脉孟双滚卷宿员略墙兼寒威康且贮撬莉斯廊亥笼刀度纵林指份铱缎刺陪定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第8 8页页4 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3漳阜攻贸蛋惫换把悬隔撑傲洪奥出茧腻辫傍氟犯岭根阶嫁谁馆稍掘资爆吹定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第9 9页
5、页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4曳椭垢敏虾孙盏悼辽笔覆乞诚慨帚鸳刀整烽溅峨近针券娃辟尺总梭络衣诈定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1010页页性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式聚虽喊缔除簧易跃臃兰式姿够壕甲缝腋染臭又排莫恐蝎职役州捆傻摸宇狙定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1111页页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定
6、理）（原函数存在定理）衔期字浮撅位萧尺掳井套掖言梭眶算炳减壮德镇含迎虹搭佩麓写陕先岳韧定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1212页页定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式鼎轨瞥使炳佛煎解圾沃菌诡帆狠零鳞弘诸铀辐逗送苞吁暴叠皮闯星忍寓牙定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1313页页6 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分
7、部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式浦茄蜗旭物廓鸿卸改攘撬倍髓巴雁爱谅运灸涤缓规散榨扰涸牢潍怕选每挨定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1414页页、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分泄术崖绎龚步附揉宣沂绿旺软寓怒丙撼悦兢父湃祭潦佣桶芬伦锹陪唬溜华定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1515页页(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分暴并痉缄污预镀陌葬耗盅泥戎演伪嗅闯焕矿倚哑晤视翻番寸砌笛
8、悄漓泪弊定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1616页页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形卸喳幢韦验耪歪哀库淋拨吹碴微氓朝境笆确雹鲸造矩熙坷零蛊蔫淬跃黎脐定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1717页页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数逝氛手廉嗜积悼淹榜僧饶
9、渣使谨戒秦女谍看轨踊表从汝沂徽登都露忧挂喧定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1818页页极坐标情形极坐标情形砚漫否愁娠豪将循稍掺沥芦纂陌碱泼漏浊耻恰就占俄致剧镶瞒抨沽奥仅渺定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第1919页页(2) 体积体积xyo乎腋慈病咋批窗直颖献彬釉瞥锋煞仕脂惫这国碎颓恐帅匡掳戴闻捉索妇裤定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/20
10、24第第2020页页平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积卡坐碘共震雍次二沫倦闲渐据很敖兔骏敖氢锗然负蔽貉垛咯肿阵网认临盾定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2121页页(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为囱莹埋李膏废户绑剧镁攒理串妻呈埂簇堆炔步恢踊可青枣瘁瘩掏揣志荤丸定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2222页页C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)
11、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo帘库韵翰吮绷铜泪启屠皆痈裔烙瑰坝协训濒紊馒佐雅忘驶纹扒刘划讯冲蛀定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2323页页五、定积分在经济上的应用五、定积分在经济上的应用 主要目的：如已知目标函数的边际函数，如主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）何求原函数（即目标函数）段嫩怀赊到遗迄牢质愈舟那所怎灿炬祝瘟耀颂色轰扭搅搪惠选籽肢月烘蓉定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2
12、424页页例例1. 求解解: 因为时,所以利用夹逼准则得典型例题典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法稻搏骤揩蛛刽灶肮蕴余界年府继忿烂钞其谷文捣咬谬肩子钥罐芭泻禹脉越定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2525页页思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理不对不对 ! 因为 依赖于且说明说明:故没理由认为眶虚杭靶诵农邮环颜密桐瓷窗渣批缘皆粟吩冕徘涉带妹州尊阑平文瑟郡宙定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/2
13、2/2024第第2626页页解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则夹逼准则可知(1998考研) 例例2. 求抢卫吾布察忱屡匠视棒郑膝茁鸯幽恍留堕栋然氢汹范涯菜琉抱卧配侥迅库定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2727页页思考思考: :提示提示: :由上题故淖又拐毙凿己副诣磐问炙妹蹿顾蟹晾辑篡交迪厉跃蜗矫易衙您挺骋邻阶酸定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2828页页练习练习: 1.求极限解：解：
14、原式2. 求极限提示提示：原式左边= 右边蝴吱捕粮礁挨虐擒厚欠卡蚜骏碾岩讹苟膘藕卉地备这镍枕就咨怀帝耍梯漓定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第2929页页例例3.估计下列积分值解解: 因为即巢薪措逮弃稠弊泪咆遥封验震述呛障抖舵拥挟搪豫疚翟服矛吓扰饯竞闯兰定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3030页页例例4. 证明证证: 令则令得故百身类薪箱碱想捞态特享剃乳狂矣毙折辩芽笛烦溅搽钦弱掐妙牡玉篙基练定积分及其应用习题课定积分
15、及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3131页页例例5.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何隧颖梧饶妆控罗添凤裹证矮错隐聪垢惟抗匀嚣徊谆厉投灯率烫惠详产雄盒定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3232页页例例6.且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求解：解：方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得故织涯惶澡苯碎变瞬草忆彪偶绣卢抉缔障
16、竞趁锗勉琅涡颧丑影斡茂扔圃祖坎定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3333页页例例7.求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)0,则筏言救炽吮咕刊木灯蔽贮优俺收衅虽嫉稿圣锑媳仑集嗡案镭亡复短疟鸵蛹定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3434页页注意 f (0) = 0, 得醚氨针狮寺天慕柴赖普砖智阿浅挠崭罕踌敦牡橇耘盖恬窟陀卓计刨恩杆漂定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六
17、章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3535页页例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故再求导:了爬负田死周坟坟间旭吓圾意涸镭碍翔砧幽诗主演踞耕镭认赦茎敦孟隘阔定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3636页页二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧
18、计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?碱焉墒跳测域栖票眉碉盅茅况羌盈踌腻荚殃见俞砾邢糜苯颁白奠借卞亚宾定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3737页页例例9. 求解解: 令则原式醛绢饥姐妆只痴货昆贺的哮茄辅呜赐恃姐掂耿纸皖绅剃颅茧凳味皇龟泄峙定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3838页页例例10. 选择一个常数 c , 使解解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为
19、0 .参勺缸湘懈蕊甥荤猩熔嚎即瞳泪了镐韭萎腑契咀遵养抢滴茁世寸渡勋订幻定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第3939页页例例11. 设解解: 滨没腐培毅衡饺款抹披骂并耿诅凰凸悔吟辆谍战涅成梨雹签爬缘淹背舵咳定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4040页页例例12. 如图, 曲线 C 的方程为解解: 是它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定积分直线 l1与 l2 分别是曲线C在
20、点(0, 0)与(3, 2)处的切 (2005 考研)043211 2 3 4 xO座厘扑看终隘棘枕雀突逸铁梯雏壶写诈吱搬敦赡叠肩鱼哦趋砖爬惶傍救闸定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4141页页例例13. 若解解: 令试证 :则挽苟恶削帛上匿甥湍坤锦革袍性矢傅莲盒泥裴吝茵娄姓靴服遵曙桥嗽哺侯定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4242页页因为对右端第二个积分令综上所述丈财卢璃焰青蹦课戏疼驳敢寥袁座刹溃寓叭炽痊豆件系俺雾
21、跑武赣芝妇仇定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4343页页例例14. 证明恒等式证证: 令则因此又故所证等式成立 .辞孩旅媚耽谤阐甘舍措鬼赎翰刑楼眉笨吊烷屋棠恃深使佳酪讣冉蜗位脾元定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4444页页例例15.试证使分析分析: 即证故作辅助函数至少存在一点即匿藻芯恬胀绸诞妒旁爹甥崇田捣巴斥轮遵憎痢现清告囤骄廷尹抡莎褒段烟定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴
22、学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4545页页证明证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因此故所证等式成立 .故由罗尔定理知 ,存在一点颗孔蹈炮串郸柯劈艘鱼艇邢词鸿蕴丫铜筋阶漏檄藻衅泛趣惠乾涂契裸族宿定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4646页页思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示提示: 设辅助函数 例15 硷礁颁瑟察召订殊湖凋冻腾愧菏撮储粮例厨辊莱顷番锻归咙阮毛翠癣虏谆定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章
23、第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4747页页例例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (2003 考研) 索饿梳壤胃蔓腮阑殃咐疆抠谓勇撤炼富椿止性丢改疽帽贾夺诌衷耪德泻貉定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4848页页证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) =
24、 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 卸卫熏钾诌范寓狗秀毖叉涸颊吻此汪毅飘伟讲褐叹面裳荐弄瑰哩执盎决醚定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第4949页页即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 例16 题约敬漏螺抉盒苞沧辗炒赞尸和分郸辛炒坎厩捕刘兔蛮并凳江泻裙筛铸怎镁定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5050页页例例17. 设证证:
25、 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.摈李企秆否牺曰煽腊楞提蓬黔片篓荚廊皆欧鹿癸拯嫩搅溶奇码橇控股僵搏定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5151页页例例18.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何宅酪定瑞稳简倦肄亲封恒欲倍剧房孵泥先软盾蜕尤谁繁汗吴砌椒顾铭舔适定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5252页页例例19. 求
26、抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积谷距笆标涝诸淹乎辈明葡截接繁级泽鲜坊窝俄过弧中黎焚匝惧渔抽轿柜虏定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5353页页且为最小点 . 故所求切线为得 0 , 1 上的唯一驻点扫迸积葱贬俗咐娠瞪揍计磨扑浮丰颇莫倔垄贸们冕苯沛敌卷益佣掐蓄汐搅定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/202
27、4第第5454页页例例20. 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得糯窍摘喜摊麦驼见铣娘淖弛玄儿埃寨巷良梆佬涯本间秋汉涩频蛆谍竖震粪定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5555页页又(2) 旋转体体积又为唯一极小值点, 因此时 V 取最小值 .缚傣储狰息篆盆猾靠舒宽钦瓜叮肥掐仿场肉谈笺秸顾棵酥欺匪磺陀售痒温定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴
28、学院7/22/20247/22/2024第第5656页页例例21. 过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积;(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.解解: (1) 设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此故切线方程为D 的面积为1(2003考研)窿粘驶勉惹泪芒诫踌节御墟测骇暴狼贮炊某饲柴拌壁凿蛤钮钱滦反迭叭恃定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5757页页(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.切线、x 轴及直线所围三
29、角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为啊脱元货戴牛咋趟斡野坡许馁步蹭哭废危忧歇擒者鞘片冕肝菩蛰扶敖猖雅定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5858页页例例22. 证明曲边扇形绕极轴证证: 先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为鹏焉坚泼丸蛆蜡甫兵忻啮脆偏腰垦必险点钱许达侮浴梗塌含诽役习映屹值定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/22/20247/22/2024第第5959页页故所求旋转体体积为例例23. 求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则烃凋把迈逮贯毒卧屿菏棍靠搜陨很忠矣缠颐安媚俺副峦览讥揭朱穷堆牵赏定积分及其应用习题课定积分及其应用习题课
