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1、2.2.22.2.2直接证明与间接直接证明与间接证明证明反证法反证法反证法反证法思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 反证法：反证法： 假设假设命题结论的
2、命题结论的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误, ,从从而证明原命题成立而证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反例例1 1用反证法证明用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么练一练：练一练： 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且有且只有一个根。只有一个根。反思反思1 1：用用反证法证题反证法证题的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假
3、设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例例2 2 求证：求证： 是无理数是无理数。假设不成立，故假设不成立，故 是无是无理数。理数。练一练：练一练：1 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。）与假设矛盾。（1 1）难于直接难于直接使用已知条件使用已
4、知条件导出结论导出结论的命题；的命题；（2 2）唯一性唯一性命题；命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命题。命题。2 2、你认为反证法的使用情形有那些？、你认为反证法的使用情形有那些？反思反思2 2：（4 4）与客观事实矛盾）与客观事实矛盾. .说明：说明：常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其否定：正面正面词语词语等于等于大于大于（）小于小于 ()是是都是都是否定否定正面正面词语词语至多有至多有一个一个至少有至少有一个一个任意的任意的所有的所有的至多有至多有n个个任意任意两个两个否定否定不等于不等于小于或小于或等于等于
5、（）大于或大于或等于等于（）不是不是不都是不都是至少有至少有两个两个一个也一个也没有没有某个某个某些某些至少有至少有n1个个某两个某两个思考：思考：小结小结 1.1.反证法是一种间接证明的方法，是反证法是一种间接证明的方法，是解决某些解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，其问题的有力工具，其基本思路是：基本思路是：假设结论不成立假设结论不成立构设矛盾构设矛盾否定假设否定假设肯定结论肯定结论. . 2.2.反证法主要适用于以下两种情形：反证法主要适用于以下两种情形： （1 1）所证的结论与条件之间的联系不）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；明显，直接有条件推出结论线索
6、不清晰； （2 2）从正面入手需要分成多种情形进）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形或很少的几种情形. .练习：练习：1 1、 已知实数已知实数a a，b b，c c满足满足00a,b,ca,b,c100，ab+ac+bcab+ac+bc00，abcabc00，求证：，求证： a0a0，b0b0，c0c0作业作业综合法和分析法的应用综合法和分析法的应用 ( (习题课习题课) )知识回顾知识回顾 1.1.综合法的基本含义和思维流程分别综合法的基本含义和思维流程分别是什么？是什么？含义含义: :利用已知条件和某些数学定义
7、、公利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立的推理论证，最后推导出所证结论成立. .流程流程: :2.2.分析的基本含义和思维流程分别是什分析的基本含义和思维流程分别是什么？么？含义含义: :从所证结论出发，逐步寻求使它成从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止定理、性质、法则等）为止. . 流程流程: :显然成立的条件显然成立的条件应用举例应用举例 例例1 1 已知已知a，b，c0 0，求证：，求证：a3 3b3 3c3 33 3abc. 例例2 2 已知数列已知数列aan n 满足满足 , , , ,求证：求证： 例例3 3 已知已知a33，求证：，求证： 例例4 4 在在ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的的对边分别为对边分别为a a，b b，c c，已知，已知A A，B B，C C成等成等差数列，求证：差数列，求证： 例例5 5 已知已知a a2 2b b2 2c c2 21 1，求证：，求证： ababbcbcca1.ca1.
