第4章Cohen类时频分布

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1、第第4章章Cohen类时频分布类时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 4.1 前言前言 4.2 Wigner分布与模糊函数分布与模糊函数 4.3 Cohen类时频分布类时频分布 4.4 时频分布所希望的性质时频分布所希望的性质 及核函数的制约及核函数的制约 4.5 核函数对时频分布中核函数对时频分布中 交叉项的抑制交叉项的抑制 4.6 减少交叉项干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计处箍笺宏稠拷胯言缠惋泌坠邀匠渡弥驯孰考兽掠世润砸傍罪寇聪颤昧晶绒第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.1 前言前言 1966年，年，Cohe

2、n给出了时频分布的更一般表示给出了时频分布的更一般表示形式：形式：式中式中 称为时频分布的核函数，也可称为时频分布的核函数，也可以理解以理解为是加在原为是加在原Wigner分布上的窗函数。不同的分布上的窗函数。不同的 ，可以得到不同类型的时频分布。可以得到不同类型的时频分布。 目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频分布都可以看作是分布都可以看作是Cohen类的成员。类的成员。 筋麓搐惰酣菌诌戍鳖范邻烦舶推薪黄浴半楞咙蔚燃喊排荚加优镐苫爹奸蛀第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.2 Wigne

3、r分布与模糊函数分布与模糊函数u模糊函数定义模糊函数定义 令令 为一复信号，由定义为一复信号，由定义 的瞬时自相关的瞬时自相关函数为函数为 （4.2.1）并定义并定义 相对相对 的傅立叶变换的傅立叶变换 （4.2.2）为为 的的WVD。 消柄黍爬看枚尊怎壤掣拌难匣冬莆数狠慕醋退胞滇渣嚏靖键算郑乱赌倘霄第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 的对称模糊函数的对称模糊函数 定义为定义为 相对变相对变量量 的傅立叶逆变，即的傅立叶逆变，即： （4.3.3）由（由（4.2.3）式，有）式，有 (4.2.4）对该式两边取相对变量对该式两边取相对变

4、量 的傅立叶变换，立即可得的傅立叶变换，立即可得 （4.2.5）该式说明，信号的该式说明，信号的WVD是其是其AF的二维傅立叶变换。的二维傅立叶变换。 畔致口悉溶工阮软魄尉夺徽送屹谅妥范等奥炬潞茎瞒累岳芯释婉菲述伪雀第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 令令 为一复信号，定义为一复信号，定义 ， 分别是作分别是作正、正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即： （4.2.6a） （4.2.6b） 式中为时移，为频移，显然式中为时移，为频移，显然 (4.2.7）即：模糊函数可理解为信号在作时移

5、和频率调制后的即：模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的 内积。内积。 u 模糊函数的含义模糊函数的含义 赃遗吮写保氧挤磋捕拴湃浙煤岗怂缀诗惦并真刨很娠批荐延囊涛彤尤植呢第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 当将信号当将信号 发射出去并由一固定目标发射出去并由一固定目标作作无失真反射回来时，反射信号应是无失真反射回来时，反射信号应是 。通过估计时间可知道从信号发射点到目标的通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还将产生频移，即接受到的信号应是将产生频移，即接

6、受到的信号应是 。因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作用。用。痹勾尘甩鉴霹都侈凸奸人檄肋缠囱狭尺签瓤引戈怪卒剿哺酸渔渍为鲜洪贞第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 模糊函数的性质：模糊函数的性质： .若若 ， 则则 （4.2.8） 2. 若若 ， 则则 （4.2.9） 的最大值始终在平面的最大值始终在平面 的原点，且的原点，且该最大值即该最大值即是信号的能量，即：是信号的能量，即：（4.2.10）如果我们再定义如果我们再定义 （4.2.11）洞椅塔睬揽骑付掇劫因雪吕塔较湃退咽篱语围饭徽樊恳寨崔

7、鸳咋鸵镶试育第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布为为 的的“瞬时瞬时”谱自相关，式中为的谱自相关，式中为的FT，则：，则： （4.2.12） （4.2.13）且且 （4.2.14） 仟族心蜗译手婿翟褥拍姬崎寐泵宝垒拷蜘第讨口蝎滥诡扛绸靶室贫核脚蚂第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布uWVDWVD和和AFAF的本质区别：的本质区别：不论不论 是实信号还是复信号，其是实信号还是复信号，其WVDWVD始终是实始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。信号，但其模糊函数一般为复函数。两

8、个信号两个信号 ， 的互的互WVDWVD满足满足 （4.2.15a4.2.15a）而其互而其互AFAF不存在上述关系，即不存在上述关系，即 （4.2.15b4.2.15b）浚沸枝馈除奏菏粳创诅滓沈缮坯胶浮二湍锋揖学希您韩爷江哭杨靠乙磐熟第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVDWVD和和AFAF分别处在不同的分别处在不同的“域域”： ：时频域，对应：时频域，对应 ：瞬时自相关域，对应：瞬时自相关域，对应 ：“瞬时瞬时”谱自相关域，对应谱自相关域，对应 ：模糊函数域，对应：模糊函数域，对应之所以称之所以称 为为“模糊函数模糊函数”，是

9、因为，是因为 和和 分分别对应了频域的别对应了频域的“频移频移”和时域的和时域的“时移时移”。锡坪烃彰洁嘱馅洁渡膊炸认饿嘴伊厦奎涸魁莉更绣眺遍撞惊老亦睛畴癌谬第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.2.1WVD和AF的关系金锰编臆镶晤儒坎粪拨甩赞演藐泡披舆余柳沦缀把舶泅寡曲叶图枕善阀钞第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 举例说明举例说明 和和 在在 和和 平面上的位置的不同平面上的位置的不同 例例4.2.14.2.1令令 （4.2.164.2.16）我们在例我们在例3.3

10、.53.3.5中已求出其中已求出其WVDWVD是是 （4.2.174.2.17）同样可求出其模糊函数是同样可求出其模糊函数是 （4.2.184.2.18）迂撵眷徊俺助惑瞎掖亦邹瞩醋独于椰庙熏婪辣员车镊肯猴造割撞邵涕声磺第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布分析结论：分析结论：（1 1） 是实函数，而是实函数，而 是复函数；是复函数；（2 2） 的中心在的中心在 处，它是一高斯型函数，处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受时域、频域的扩展受 的控制；的控制； 的中心在的中心在 处，其幅值也是高斯处，其幅值也是高斯型函数，且受到一复正弦的

11、调制。该复正弦在型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在 和和 轴方向上的震荡频率由轴方向上的震荡频率由 和和 所控制。这就是说，所控制。这就是说， 和和 并不影响并不影响 的中心位置，影响的只是其的中心位置，影响的只是其震荡速度。震荡速度。峨争意凸竿称迸冗沧泞沧侈肇哇沪丽夫竟皋庇暇推犊拐更节浓沧碳昂脂职第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布例例4.2 令令 （4.2.19）其模糊函数（其模糊函数（AF）：）： (4.2.20) 及及 是是 的的AF的互项，其中：的互项，其中： （4.2.21）式中式中 ， ， ，因此因此 的中心为的中

12、心为 的中心为的中心为 脖副绷疗拧圭裔内桨谰屉精详气申妻街近揣膨霹秤芽廷吓造踢潞些糠涎午第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.2.2x(t) 的模糊函数与时频分布, (a) 模糊函数, (b) 时频分布霖阑疽没捎舞田惶灿倒诣锗处叮思常防锤允使虞侗逾汽绪犯鞠舆慑芳就橇第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 将将WVDWVD的互项及（的互项及（4.2.214.2.21）式均写成极坐标的形式，即：）式均写成极坐标的形式，即： （4.2.22a4.2.22a） （4.2.22b4.2

13、.22b）由（由（4.2.214.2.21）式，有）式，有 （4.2.23a4.2.23a）由（由（3.5.23.5.2）式，有）式，有 （4.2.23b4.2.23b）络泼亭炮郁镜氰锨么歌搭殊律炔好匀憋坍创归局疚掂丑臻携猴管丑越谅狙第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布上式结果表明：上式结果表明： WVD互项的相位对互项的相位对 和和 的偏导数分别对应于该信的偏导数分别对应于该信号模糊函数的互项的中心坐标，即号模糊函数的互项的中心坐标，即 。AF中互项中互项的位的位置直接反映了置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。中交叉项的震荡状况。

14、WVD中交叉项震中交叉项震荡越厉害，那么，荡越厉害，那么，AF中互项的中心距中互项的中心距 平面的原点平面的原点越越远，反之，我们由远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判断互项的中心位置又可大致判断WVD互互项的震荡程度。项的震荡程度。 柞惰避换浊恳卤脐句刮歧兜签卜击健格牟目丫醚额零扶辑咒打侄嚣耳扦爪第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVD WVD和和AFAF各自互项与自项的位置及它们互项间的关各自互项与自项的位置及它们互项间的关系提供了一个抑制系提供了一个抑制WVDWVD中交叉项的有效途径，即：中交叉项的有效途径，即：（1

15、 1）首先对）首先对 求模糊函数，由于求模糊函数，由于 的自项始的自项始终在平面终在平面 的原点处，而互项远离原点，因此，的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个我们可设计一个 平面的低通滤波器对平面的低通滤波器对 滤波，从而有效地抑制了滤波，从而有效地抑制了 中的交叉项；中的交叉项；（2 2）对滤波后的）对滤波后的AFAF按（按（4.2.54.2.5）式作二维傅立叶变）式作二维傅立叶变换，得到换，得到 。这时。这时 的已是被抑制了的已是被抑制了交叉项的新交叉项的新WVDWVD。撑假拭唬峪挨抢象援园舟恿院勒扼褪奴庭孔国银驯姻伤痘鄙搭惩命似咒摇第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类

16、时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布AF中越是远离原点的交叉项，在中越是远离原点的交叉项，在 的作用的作用下，抑制的效果越明显。下，抑制的效果越明显。 图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图刚耐孺美喳激箱谬生矿呀尖肮粕语赚差准勘胰箱寞摩书勉巍件鄂鬼亮乏璃第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.3 Cohen类时频分布类时频分布 u时频分布形式时频分布形式 令令 ，Cohen类分布的统一表示形式变为类分布的统一表示形式变为 （4.3.1）即即WignerWigner分布是分布是CohenCohen类的成员

17、，且是最简单的一种。类的成员，且是最简单的一种。 植贮桶撬袋超习符顷毡昌楔扫沧托规核防斥笨淳粤豫揣晌纹岛坐觉睫场拓第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 Rihaczec分布分布 Page分布分布 ChoiWillams分布分布 BornJordan分布分布屠依嘴郁挖茶程顿住崭物叁鲁植灸斧蔷茸烽酬球恃阜增湾拴参仰舔雨逾拿第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u Cohen Cohen类分布的其它表示形式类分布的其它表示形式 1、用、用 的频谱的频谱 表示，即表示，即 2、用模糊函

18、数表示、用模糊函数表示 （4.3.2） （4.3.3）3、用、用WVD表示表示 （4.3.4） 岿疯易看辕术藩未互螺汰豹免依蛹遇交祷伯帛酵饿样疼赤灭贵矢莹化挺价第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4、用广义模糊函数表示、用广义模糊函数表示在（在（4.3.3）式中，定义）式中，定义 （4.3.5）为信号的广义模糊函数，那么为信号的广义模糊函数，那么 （4.3.6）5、用广义时间相关表示、用广义时间相关表示定义时间自相关域的核函数为：定义时间自相关域的核函数为： （4.3.7）则广义时间自相关定义为：则广义时间自相关定义为： （4.3.8

19、）烘契治懂谆级之河椎沟膝侍润魁阴梁对嫂款寿穆银剖荤墟废歇汛畅华潮憨第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 （4.3.9）6、用广义谱自相关表示。定义、用广义谱自相关表示。定义 （4.3.10）为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为：为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为： （4.3.11）这样，这样， 可表为可表为 的傅立叶逆变换，的傅立叶逆变换，即：即： （4.3.12）窑踩帽弹禽耸峰颖擒冬跳搂躺敖旁穆抽灿矿狠牵员琅傲帆奶隘均渠苔娥龋第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时

20、频分布u Cohen类时频分布的六种表达形式，归纳类时频分布的六种表达形式，归纳起来可分为四类：起来可分为四类： 和和 在域在域 内的卷积（内的卷积（4.3.44.3.4）；）；广义模糊函数的广义模糊函数的 傅立叶变换（傅立叶变换（4.3.54.3.5）、）、（4.3.64.3.6）及（）及（4.3.34.3.3）；）；瞬时时间自相关瞬时时间自相关 和时间自相关域核函数和时间自相关域核函数 在在t t方向上卷积后的方向上卷积后的 傅立叶变换傅立叶变换(4.3.7(4.3.7）（）（4.3.94.3.9）；）；瞬时谱自相关瞬时谱自相关 和谱自相关域核函数和谱自相关域核函数 在在 方向上卷积的傅立

21、叶变换（方向上卷积的傅立叶变换（4.3.104.3.10）（4.3.124.3.12）。）。盗救事香恳赔盎士肋瓷堡进垃峙冻骆荔抱必曙柬澄揉约侥上捅砖灼霸榔挪第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 由由MoyalsMoyals公式，可以证明，图谱也是公式，可以证明，图谱也是CohenCohen类的成员，即：类的成员，即： （4.3.134.3.13）式中式中 是作是作STFTSTFT时所用时域窗函数时所用时域窗函数 的的WVDWVD。比。比较（较（4.3.44.3.4）式，）式， 对应对应 ，它应是某一模，它应是某一模糊函数的糊函数的2-

22、D2-D傅立叶变换。傅立叶变换。碴寒贺活赘吹烛煎愤察泣追峪槽片流货溜狸辨愁奈碴淡唇炬藉扫希壕胚后第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表表4.3.1已知时频分布及其核函数已知时频分布及其核函数 Spectrogram（谱图）（谱图） ZhaoAtlasMarks ChoiWilliams（ED） Page BornJordan（Cohen） Rihaczek ReRihacze 伪伪Wigner分布分布 1 Wigner 时频分布表达式时频分布表达式 核函数核函数 分布名称分布名称 巡驭廖既染体醚珐嚣暮吴钦郝蹦腻溉欺黍舀僳佐矗磅呛寻淖谍

23、喘让熄六郁第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.44.4时频分布所希望的性质及时频分布所希望的性质及对核函数的制约对核函数的制约 由表由表4.3.14.3.1可以看出，给出不同的核函数可以得可以看出，给出不同的核函数可以得到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分布，对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所布，对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所希望的时频分布的性质。表希望的时频分布的性质

24、。表4.4.14.4.1列出了这些性质列出了这些性质 及对核函数的制约及对核函数的制约 。醇娥铱逛辊伙普拍侮坡杠贺难合悔筏倍藻顽佬侦礁撕匹讶睫吭送爸铰叉凛第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表4.4.1所希望的时频分布的性质及对核函数的制约性质名称性质名称 表达式表达式 对核函数的约束对核函数的约束 ：非负性：非负性 ： 是某些函数的模是某些函数的模糊函数糊函数 ：实值性：实值性 ： ：时移：时移 ： 不取决于不取决于t ：频移：频移 : 不取决于不取决于 ：时间边：时间边 界条件界条件 ： ：频率边：频率边 界条件界条件 ：皱狐执莲

25、绸练逢姚武尹旁紊盼刺撅壮杜让与闪布饵州氮向妥孟饺逐镣除畏第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 ： 是一个是一个 低通滤波器低通滤波器 ：减少干扰：减少干扰 ：若若 ， 则对则对 ：频率支持域：频率支持域 ：若若 ，则对则对 ：时间支持域：时间支持域 ： 及及 ：群延迟：群延迟 ： 及及 ：瞬时频率：瞬时频率 拥察段符惭苑快卖健氏称锑贝坤颈酣坯崇评战穗狞谦卑空胆脊锻呐嘻钞弱第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表表4.4.2六个时频分布满足性质情况比较六个时频分布满足性质情况比较

26、 性质名称性质名称分布名称分布名称 WignerRihaczekRe RihaczekChoiwilliamsSpectrogramBornJordan Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y-Yes侯送蹄肌裁薪渝厨犯呻卑魏污贡讫乖粉涕勒箩弓谤吗顷拣项庙要比泰颅俩第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 性质性质 及对核函数及对核函数 的要求的要求 给出一些给出一些解释解释 ，时

27、频分布的非负性，即，时频分布的非负性，即 但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性质。如表质。如表4.4.24.4.2中的六个分布，只有谱图总是正的。中的六个分布，只有谱图总是正的。条件条件 指出，若想保证指出，若想保证CohenCohen类的某一成员是恒正类的某一成员是恒正的分布，则的分布，则 应是某一函数的模糊函数。应是某一函数的模糊函数。蹈春翱嫩消契讹绪碧愉菲裁污听颐釜索洗叹吸及币蝴沾汝病哄渔疯钠扔稳第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 实值性，即实值性，即 ， ：证明：由

28、（证明：由（4.1.14.1.1）式，）式，令令 ， ，则上式变为，则上式变为显然，如要求显然，如要求 ，必有，必有 退付辟蜂缩浚疽挫搜晶嫉邀饱胞忻筷口享豌盯抢悸津窟抒泰躲从雀庚欠钥第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时移：时移： ：若若 ，则，则 ： 不决定于不决定于 证明：因为证明：因为 处于处于 域，和域，和t无关，无关，所以它不影所以它不影响分布的时移性质；响分布的时移性质；频移：频移： ：若：若 ，则，则 ： 与无关与无关性质性质 与与 称为称为Cohen类时频分布的类时频分布的“移不变移不变”性质，它包含了时移和频移性质，

29、它包含了时移和频移 。内社位阐搅命晕砂柿哗苫柔酶赶牟亮例唁管阅淑皖腑涩去级疹朔苞盒痴炉第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时间边缘条件，即时间边缘条件，即 ： ： 频率边缘条件，即频率边缘条件，即 ： ：原器慎栅流留烹旅醛犹页蕾假袒壳极回冤倾骡椿孝筷舜敏育漱汇贴去皋剩第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布瞬时频率与瞬时频率与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 群延迟与群延迟与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 瓤曲幽霄炔矩榔敢孕舷木两怀据橙盟乳喀风将待疚赦伎桐点野慕蛹舍碍写

30、第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 时域支撑范围，即时域支撑范围，即：若：若 时，时， ，希望，希望 ，对，对 ： 频域支撑范围，即频域支撑范围，即 ：若：若 时，时， ，希望，希望 ： ：减少交叉项干扰减少交叉项干扰 ： 是是 平面上的平面上的2 2D D低通函数。低通函数。条舟隘蒋夺坑助寿鹰浴洪撬憨鄂窜袋动湘歪甲牺疟宵靳丧宣轨狰佳决浊庇第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 给定一个信号给定一个信号 ，记其时频分布为，记其时频分布为 。假定。假定 在在 和和 的范围内为零

31、，若的范围内为零，若 在在 和和 的范的范围内也为零，则围内也为零，则 称具有弱有限时间支撑性质。同理，称具有弱有限时间支撑性质。同理，假定假定 在在 之外为零，若之外为零，若 在在 也为也为零，则称零，则称 具有弱有限频率支撑性质。具有弱有限频率支撑性质。 和和 指的是指的是弱有限支撑。弱有限支撑。 若信号若信号 分段为零，分段为零， 在在 为零的区间内也为为零的区间内也为零，则零，则 称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要义是：只要 为零，在所对应的时间段内为零，在所对应的时间段内 恒为零。恒为零。 同理可定义强有限频率支撑。同理可定义强

32、有限频率支撑。 乔眷而页汤购谷始投害旬文格赖角强筑悄扔吴汾刽七缩学剁二趟数蔷妮揖第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.54.5核函数对时频分布中交叉项的抑制核函数对时频分布中交叉项的抑制 单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率时刻，该信号的瞬时频率 是单值的还是多值的。是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：一个多分量信号又可表为单分量的和，即： (4.5.1)式中式中 都是单分量信号，因此都是单分量信号，因此 （4.5.2)谈侠伸伞骏榔虎苑值黍辉

33、氏潘瘫昆鲁锯粕枚愧峡毫醇服施里舱景墙喜程强第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布相应的时频分布相应的时频分布 （4.5.3）也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻减轻 中交叉项的一个有效途径是通过的中交叉项的一个有效途径是通过的模糊模糊函数来实现函数来实现。 的广义模糊函数：的广义模糊函数： （4.5.4）核函数核函数 取平面取平面 上的上的2-D低通函数。低通函数。可去除可去除或抑制时频分布

34、中的交叉项。或抑制时频分布中的交叉项。嵌辟峦五修雏壕靖轰目哨奠脚驯炼湛往熙鹤牟洁鼻闷踊赵悦展它扯酣韶恢第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u举例说明核函数举例说明核函数 对交叉项的效果对交叉项的效果 例例 指数核指数核 （4.5.7)其相应的其相应的TF分布称为指数分布（分布称为指数分布（ED），属于），属于Cohen类。类。 显然显然 ， ，且，且当当 和和 同时不为零同时不为零时时 。 为常数。为常数。 越大，自项的分辨率越高，越大，自项的分辨率越高， 越小，越小，对交叉项的抑制越大。因此，对交叉项的抑制越大。因此， 的取值应在自

35、项分辨率和交叉的取值应在自项分辨率和交叉项项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频信号的幅度和频率变化得快，应取较大的率变化得快，应取较大的 ，反之取较小，反之取较小 。 的取值推荐在的取值推荐在0.10.11010之间。之间。当当 时，时， ，ED变成变成WVD，可以有，可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质效地抑制交叉项，但不能保证性质 和和 。涕估仆邹防作卿靳脑贵颊客洪校际沛刻算墩吞频顿恒磕涌签救喊胯碴墅跨第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布EDED对应的时域的核为对应的时域

36、的核为 （4.5.84.5.8）相应的时频分布是相应的时频分布是 （4.5.94.5.9）瞎乾臂晰虚吉块刚可谍宜窥敢记鸣县讶小春交栖贺朝乌蒲婪哑永虞孕宦麦第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 例例4.5.14.5.1令令 由三个时频由三个时频“原子原子”组成，组成， 和和 具有相同的归一化频率（具有相同的归一化频率（0.40.4），但具有不同的时间位置（分），但具有不同的时间位置（分别是别是3232和和9696）。令）。令 和和 具有相同的时间位置，但归一具有相同的时间位置，但归一化频率为化频率为0.10.1。 的时域波形如图的时域波

37、形如图4.5.1a4.5.1a所示，其理想的时所示，其理想的时频分布如图频分布如图4.5.1b4.5.1b所示。其所示。其WVDWVD如图如图4.5.1c4.5.1c所示。图所示。图c c中存在中存在着由这三个着由这三个“原子原子”两两产生的共三个交叉项。两两产生的共三个交叉项。图图4.5.1d是是 的模糊函数。图的模糊函数。图4.5.1e是指数核是指数核 的等高线图，的等高线图，枉挤鸭舜轮叶择姓兑抗桂尔画蛙炙酚网钝绞灿葵毁次烹钉饵黑掺温这匹骸第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 图图4.5.1（a） 的时域波形的时域波形 图图4.5

38、.1 （b） 理想时频分布理想时频分布纠命坛镐吗踊圃秧区瞒坏滑夜引妹掷袒闺子滁猩娜烷降沫摧抢摊裁词降斧第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.5.1(c ) 的的WVD 可以看到，图中存在着由这三个可以看到，图中存在着由这三个“原子原子”两两产生的共三两两产生的共三个交叉项个交叉项 以腔讥癣盐瞅舔咯哲旅豪兔屁哇罗少钙挪伐油缉溪桂敛注拟勿延卸谈即撇第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布AF的自项位于中心，在的自项位于中心，在 轴和轴和 轴上各有两个互项，在轴上各有两个互项，在

39、第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有共有6个互项。个互项。 图4.5.1（d） 的模糊函数 庶哑长终醇皿罕眠嘛号蹭孟掣翘齐牛赌号竭乱惊嫂除厚蹿墩皖塌每拣列捉第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.5.1(e) 指数核指数核 的等高线图的等高线图 它在原点最大，在它在原点最大，在 轴和轴和 轴上恒为轴上恒为1 1。改变。改变 ，可，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。调节坐标轴两边两个等高线的距离。 越大，距离越越大，距离越大，反之距离越小。大，反之距离越小。蚁山汲郁威脖泡翠

40、仍伤爹衙啤葵睫丢炮虹樊议篡骤相鞍逮如篇宾驶尉续屁第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布在第二和第四两个象限的互项已被去除，在在第二和第四两个象限的互项已被去除，在 轴和轴和 轴上的轴上的四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。图图4.5.1(f)4.5.1(f) 援陋甸养颅音津胜恳敢号答岩款啼麦产污拆厉蹦殆景舱瓶舒空乙壁痕竣告第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.5.1g 是用ED求出的 的时频分布 交叉项较之图交叉项较之图4.5

41、.1b的的WVD，已大大减轻，已大大减轻 悬慎棵耐梭揭专求岸依比派评橱空植搀枕报五卯侧我罩梭甲驳睬来茎嘿超第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.6减少交叉项干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计 如果如果 可以写成变量可以写成变量 ， 的积的函数，的积的函数，即即那么该核函数称为那么该核函数称为“积核积核”，在表，在表4.3.1中中 ，sinc 及及ED核都是积核。核都是积核。 如果如果 可以写成可以写成 各自函数的积，各自函数的积，即即那么那么 称为可分离的核。称为可分离的核。 u 定义定义翁挑元诫剧丙城廓租禁升涣叹浴沮绸淳节耗症

42、宦服香咬源毅叮书访坟缚凌第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 可分离核的计步骤：可分离核的计步骤：步骤步骤1 1 设计一个基本函数设计一个基本函数 ，使满足下述条件：，使满足下述条件：（a a） 有单位面积，即有单位面积，即 ；（b b） 为偶对称，即为偶对称，即 ；（c c） 是时限的，即当是时限的，即当 时时 。（d d） 以以t=0t=0为中心向边际平滑减少，以保证含有较少为中心向边际平滑减少，以保证含有较少的高频分量。的高频分量。步骤步骤2 2 取取 的傅立叶变换，即的傅立叶变换，即步骤步骤3 3 用用 代替代替 中的中的

43、，得到积核函数，得到积核函数 （4.6.14.6.1）腻九助德瑶涡榴透钦逮故梯溃揣滞吞杏桔弊责碴哦男臆掺枕猩鼎颁佐学烂第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 按以上原则设计出的核按以上原则设计出的核 ，所对应的分布称为，所对应的分布称为减少减少干扰分布，即干扰分布，即RID。RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同主要强调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时频分布的其它性质。时也兼顾时频分布的其它性质。 式（式（4.6.1）的核函数）的核函数 ，条件（，条件（a）对应）对应 和和 ，条，条件（件（b）保证了）保证了 ， 和和 。现在考察条件

44、（。现在考察条件（c）。现将）。现将（4.6.1）两边相对作傅立叶变换，即）两边相对作傅立叶变换，即 （4.6.24.6.2）按傅立叶变换的变量加权性质，有按傅立叶变换的变量加权性质，有 （4.6.34.6.3）什议踌掩慰嘶屑讫令朝蚊栓烧瘤访喧匀劫药砖糠诊九拄谐得够敖藐狄诀狼第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布因此条件（因此条件（c）意味着满足）意味着满足 和和 。 条件（条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令）的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是是 平面的平面的2D低通函数，因此条件（低通函数，因此条件（d）满足）满足 。u 不

45、同不同 所对应的所对应的T TF F分布形式分布形式 若若 ，那么，那么 ，对应的分布是，对应的分布是WVDWVD。满足条件（满足条件（a a）、（）、（b b）和（）和（c c），但不满足（），但不满足（d d），），因此因此WVDWVD不具备性质不具备性质 及相应的制约及相应的制约 。若若 ，则，则 ，此为复数核，此为复数核形式的形式的RihaczekRihaczek分布，分布， 满足条件（满足条件（a a）和（）和（c c），），不满足条件（不满足条件（b b）和（）和（d d）。）。航缩弄浮晒账韵傣锻哀坯逝竟删三剥勘值悬贷树吩娩缎颧厦怖蚜杉殴脉垒第4章Cohen类时-频分布第4章Coh

46、en类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布若若 ，则，则 ，对，对应应ReReRihaczekRihaczek分布，分布， 也只满足条件（也只满足条件（a a）（c c），不满足（），不满足（d d），所以该分布也和），所以该分布也和WVDWVD一样，一样，满足满足 ，不满足，不满足 及相应的制约及相应的制约若对若对 ， 则则 ，对应，对应BornBornJordnJordn分布，分布， 满足条件（满足条件（a a）（）（d d），所），所以该分布满足性质以该分布满足性质 。若若 ，此，此 对应对应ChoiChoiWillamsWillams分布，分布， 满足条件（满足条件（a

47、a），（），（b b）和（）和（d d），），所以相应的所以相应的T TF F分布有性质分布有性质 和和 葫叉捧潮睛口酮榆船桃杠榨节茄榴描挠辉嗜帚字剥沾扔旷德敷鳞祝盔贾脱第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u设计思路及所得核在四个域内的形状设计思路及所得核在四个域内的形状BornJodan（BJ）分布对应的）分布对应的 ，对，对该该 满足上述（满足上述（a）（）（d）的四个条件。由）的四个条件。由 对应对应 域域用用 代替代替 ，得，得BJ分布的核，即分布的核，即 （4.6.4）这是模糊域这是模糊域 的核函数。形状如图的核函数。形状如

48、图4.6.1（a）所示。）所示。 栖闯辛邹丁瀑生喘驻从汰戚赤欺挨壳蚁谰慈庭运赋硷抓怨栈脸惺蔡抄厦诗第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.6.1(a)BJ分布核函数在 域内的形状犬彤碾白绩筛漳脊搜惕椽诌她罐假涸烯潜答默沽茁浦尼碉梁述紫法掠拍衡第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 对应对应 域域令令 ，则，则 ，利用傅立叶变换的定标性质，利用傅立叶变换的定标性质，有有 （4.6.54.6.5） 的形状如图的形状如图4.6.1(c)4.6.1(c)所示。所示。楔嘛檄讹自盆簇倡谜

49、奈洱芋肠祝魁岂郴葡脆印粟花糠抠卓猖谊棚坟玩淡痢第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.6.1(c) 的形状的形状斑署必办氏嫌隧民势饱宰准湾佳寨以逗层普破焦侥住的臭虫撑成嗣唇幌友第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 在在 域的表示形式域的表示形式 （4.6.64.6.6） 的形状如图的形状如图4.6.14.6.1（d)d)所示。所示。筛救碗华衍剔黑煎区隶铂陵份辈梁达宽玩摄山屈蕴噬鼎才搪差料凶躬潍收第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类

50、时频分布类时频分布 图图4.6.1（d） 的形状的形状 聂皇易臭画漏庚寸曼掸畦握扛咋掠磐悸贞跺吠碱铲玖豁孟申重拌典槽剩犁第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 在在 域的表示形式域的表示形式 （4.6.7） 其形状如图其形状如图4.6.14.6.1（b b）所示。）所示。驱务笨擎线五祟筏肢屈澡逆讲噬手谢澜灸粕袭贼准押步牛视了杨盲酿睡驳第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.6.7 的形状盐脚蚂乱缴玻纬鸳盗暂曰漾乱佑曾络嘘铝者彦骗浮款不凳炭荷贾擅争曾惹第4章Cohen类时-频分布第4章Cohen类时-频分布