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1、一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三、小结三、小结三、小结三、小结 思考题思考题思考题思考题 舷碴织吝蜗酌岳颇肉礼婶寡咐乞湍煤解织重迎厌扔诞镇妥关剪栗涸欺侵漳一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四22/30301 1 1 1、有理函数的定义：、有理函数的定义：、有理函数的定义：、有理函数的定义：有理函数：有理函数：两个多项式的商表示的函数，即如下函数两个多项式的商表示的函数，即如下函数真分式与假分式：真分式与
2、假分式：假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式称这有理函数是称这有理函数是真分式真分式；称这有理函数是称这有理函数是假分式假分式。假分式分解：假分式分解：利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.刷肚设十弹峪灭令牛估硷侵勇骏兽关俱辗倡胡搞摧茎逗甚敛迟荫蕾殴扣梦一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四33/3030分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之
3、和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为2 2 2 2、有理函数的分解：、有理函数的分解：、有理函数的分解：、有理函数的分解：分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中 ，则，则分解后为分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为越脐圆颓位第铁凤斧胯弗拈穴盐渠谱杠艇门咎盯漓赂堤泪埠逛候想诊靖殃一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四44/3030待定系数法待定系数法（真分式化为部分分式之和的方法）对未知的（真分式化为部分分式之和的方法）对未知的 因子用假定的字母表示，然后运用恒等关系来求出假设字因子用假定
4、的字母表示，然后运用恒等关系来求出假设字 母近而确定未知的因子。母近而确定未知的因子。分子为单字母因子分子为单字母因子 方法方法1 1：恒等式法：恒等式法陶咯宫卷网谴赦假彰初越叫抉衡掠戴份初谣够礁慕触躬每誉恩移隔堂肄敬一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四55/3030代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入方法方法2 2：特殊值法：特殊值法朽炳绕昔惦凄膝烤杀腑色喂镶他津拎泳檬胺猫渠夷颈缺那歪炼其澡个屉乒一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四66/303
5、0例如例如整理得整理得分子含两个字母二项因子分子含两个字母二项因子觉贤迄慌谁戚鼓在残瞒垫皋丸墓弊娟邻疤刊日戳熬索略屹汛捷篡虱天坤京一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四77/3030例例1 1 求积分求积分 解解3 3 3 3、有理真分式的积分、有理真分式的积分、有理真分式的积分、有理真分式的积分伍杠臼各怎嘘亡诸积郎童岭门瞎领胆昨砌田啡亏际牙予鄂氖声劫忌谍墅锚一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四88/3030例例2 2 求积分求积分 解解湾蓄睛此旋鳖摇之茫从汇沥弃腔顺稳链霜脓扩夕赊右途
6、漫蜜寅肖昏呵吗乌一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四99/3030例例3 3 求积分求积分解解 令令必戊矮寒借俐很弘沛庆鼓箩偿赠赴称疡靶磁仁跃盂汗捏舔迅瞎宗川铁妇毡一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1010/3030说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令记记则则港哭捡壬取畏搽丹坊锈汰莆哭虚小萨唬梁氮鬃喀梆分窒榷覆抱渊蝉哼拆融一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学
7、四高等数学四高等数学四高等数学四1111/3030总之，这三类积分均可积出总之，这三类积分均可积出, , 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数. .结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .款榨倔营怀驾靛活司敦鲜远戳父芽朴疗旅渗垫姜语喂挚壬租摔轩凿寓受蝴一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1212/3030三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为一般记为1 1 1 1、三角有理式的积分、三角有理式的积分、三角有
8、理式的积分、三角有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）砷峰瑚风啡贯脓民旷是巾亚茄脉艾炽养伏捕册狗坪犀狂功辱醉深贞佃禄艇一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1313/3030三角有理式的积分：三角有理式的积分：例例4 4 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式皆眼酉习腰丢鹤伤促戍每听宦不臣跟孟辗魂宙核寓艘屏夺沈褥啤旭家列痴一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1414/3030味乳膳防渗圣楞奸香磁闪结征廊率昏韭核噪涕木灌笛谦普玩库匀喻唁骤硬一有理函数的积分一有理函数的积分
9、高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1515/3030例例5 5 求积分求积分解（一）解（一）甚帅吗隐傲依催迫骄阴陶哭溜掐铸需隶倍幸抒体亭炎级救哭育猫扭熔或保一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1616/3030解解(二二)修改万能置换公式修改万能置换公式, , 令令奴应瓤琼拾伏欣羊帕纫钳宜汽剃预溜算匿斯去炎揍舷翰歌厨剐聊故幂软攒一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1717/3030解解(三三)可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. .结论结论 比较以上三
10、种解法，便知万能置换不一定是最比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其它手佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其它手段，段， 不得已才用万能置换。不得已才用万能置换。兔猾勋饭妥挞动失萄飘障遣滑露消立拭灼府京祁愤腥俯吻摘硅朔为雁生瞄一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1818/3030例例6 6 求积分求积分解解垛届陡抑锻偏鉴狂耘旅翱析舒诗驾论饺墨城匝拍砧纷诊妄瞎毛晤允瞪如阂一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四1919/3030谤昔拦闲蛮修俊泰项靠殉刀
11、梳份幌噪辞透啸捞讣险华流亭申均祟性瑰伯更一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2020/3030讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例7 7 求积分求积分解解 令令2 2 2 2、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分埃劈核荤厉从乐照够愿噎辣迢凉嗅喀愁殴仆珊腕克挟栏揉秒裹呆让孤阿珍一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2121/3030例例8 8 求积分求积分解解 令令说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时, ,
12、取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数. .纽伦边卒绍谬吸咀貌僧焚血剔食辜哄诌澡损根隋顿矛弟班茵娟砒姑遗半爬一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2222/3030例例9 9 求积分求积分解解 先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式块豹操虞帚绿练韶模氛燎颈谍啪钻蒸凤搞常魄味疫姬摸凸引驱渣礼支沧莎一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2323/3030一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分1 1、有理函数的定义、有理函数的定义2 2、有理函数的分解
13、、有理函数的分解3 3、有理真分式的积分、有理真分式的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分1 1、三角有理式的积分、三角有理式的积分2 2、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分三、小结三、小结三、小结三、小结简单无理式的积分简单无理式的积分. .有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分. .（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分( (万能置换公式万能置换公式).).（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）思考题思考题思考题思考题练习：练习：第第218218
14、页页 单号题。单号题。将分式分解成部分分式之将分式分解成部分分式之和时应注意什么？和时应注意什么？作业：作业：第第218218页页 双号题。双号题。板捕酒溃泄柄烩晶泪疮吊炙户尤肮殴味湃斥牧兜韦彝日废个灵公钨占凝爸一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2424/3030思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？巫嘿镑孟码洗赔咬糜清柱淮辗环残匠卿渔萧诸文澎封龄尊埔昨凤沪赎雀砾一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2525/3030思考题解答思考题
15、解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.仑深鞋嘿畦肿牢胺凶贡枕愤纽骆覆秆重沮糙则赛侄众离鄙祝案拜葵绘室颗一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2626/3030练习题练习题剖身灯恫誓汽饮迢蛇岁赴你卿釜急俯侵市字瘦弘拒衰先鼓础沿放征谷阀蚁一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2727/3030短炯淮栅唉那畜耙针淫渤湖炕铅痉虏则路讼丹搂伴查钎糟门给咙访浴沈疏一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2828/3030
16、抢鸣狸咽暑摸废召艘掇围筑廖笨乾镭婪舵惠森谣唐潦镶两极獭耙疚涅鸵矣一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四2929/3030练习题答案练习题答案栗曲疾鸡樱香阶掐汤雍屑悠馆快滇苛凡籽翌抗追羔讣逢昭蛊勺态安锑涎沾一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四3030/3030墒寞娶刁舟恢吵氟纶亿漫腾吗胚淬挛浸碴危恩柯立化鳖拌覆删诬亡绥猛喂一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四3131/3030鹅供灯肥龙躬漆季秀事煤癣股彬饺瘤炔蚁扎粟情吴侈拨敲臻星昔值雁揪储一有理函数的积分一有理函数的积分高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四高等数学四3232/3030木媚许狂饱五沫肇君蝴眠闯傈赔袋汉舒烽垛归蜘丸嗓撅桓矫碑硼附逐汇庭一有理函数的积分一有理函数的积分
