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1、第一节：正交设计方差分析的步骤第二节：3水平正交设计的方差分析第三节：2水平正交设计的方差分析第四节：混合型正交设计的方差分析第五节：拟水平法的方差分析第六节：重复试验的方差分析第三讲：正交试验的方差分析计算离差的平方和计算离差的平方和: :设用正交表安排设用正交表安排mm个因素的试验，试验总次数为个因素的试验，试验总次数为n, n, 试验的结果分别试验的结果分别为为x x1 1, x, x2 2, , x, , xn n. . 假定每个因素有假定每个因素有n na a个水平，每个水平做个水平，每个水平做a a次试验，次试验，则则n = ann = ana a. .1) 1) 总离差的平方和总
2、离差的平方和S ST T记记记为记为 其中其中S ST T反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。的，二是因为有试验误差。第一节： 正交设计方差分析的步骤2) 2) 各因素离差的平方和各因素离差的平方和下面以计算因素下面以计算因素A A的离差的平方和的离差的平方和S SA A为例来说明。设因素为例来说明。设因素A A安排在正安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用交表的某列，可看作单因
3、素试验。用x xij ij表示因素表示因素A A的第的第i i个水平的第个水平的第j j个个试验的结果试验的结果(i = 1, 2, , n(i = 1, 2, , na a; j = 1, 2, , a); j = 1, 2, , a)，则有，则有由单因素的方差分析由单因素的方差分析记为记为 其中其中K Ki i 表示因素的第表示因素的第i i 个水平个水平a a次试验结果的和。次试验结果的和。S SA A反映了因素反映了因素A A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A A对对试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对试验结果
4、的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。比如比如 S SAxBAxB = S = S(AxB)1(AxB)1 + S + S(AxB)2(AxB)2第一节： 正交设计方差分析的步骤3) 3) 试验误差的离差的平方和试验误差的离差的平方和S SE E设设S S因因+ +交交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，为所有因素以及要考虑的交互作用
5、的离差的平方和，因为因为 S ST T = S = S因因+ +交交 + S + SE E, , 所以所以 S SE E = S = ST T - S - S因因+ +交交计算自由度计算自由度: :试验的总自由度试验的总自由度 f f总总 = = 试验总次数试验总次数 - 1 = n - 1 - 1 = n - 1各因素的自由度各因素的自由度 f f因因 = = 因素的水平数因素的水平数 - 1 = n - 1 = na a - 1 - 1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积f fAxBAxB = f = fA A X fX fB B试验误差
6、的自由度试验误差的自由度f fE E = f= f总总 - f - f因因+ +交交第一节： 正交设计方差分析的步骤计算平均离差平方和计算平均离差平方和( (均方均方): ):在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和, , 它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和因素的平均离差平方和 = ( = (因素离差的平方和因素离差的平方和)/
7、 )/因素的自由度因素的自由度 = S = S因因/f /f因因试验误差的平均离差平方和试验误差的平均离差平方和 = ( = (试验误差的离差的平方和试验误差的离差的平方和)/ )/试验误差的自由度试验误差的自由度 = = S SE E / f / fE E求求F F比比: :将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第一节： 正交设计方差分析的步骤对因素进行显著性检验对因素进行显著性检验: :给出检验水
8、平给出检验水平 ，从，从F F分布表中查出临界值分布表中查出临界值F F (f (f因因，f fE E) )。将在。将在“ “求求 F F 比比” ”中算出的中算出的F F值与该临界值比较，若值与该临界值比较，若F FF F (f (f因因，f fE E) )，说明该因素，说明该因素对对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。第一节： 正交设计方差分析的步骤第二节： 3水平正交设计的方差分析例例1 1 ( (无交互作用无交互作用): ):磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输磁鼓电机是彩色录像机磁鼓
9、组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于出力矩应大于210g.cm210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：第二节： 3水平正交设计的方差分析解解：( (选用正交表选用正交表L L9 9(3(34 4) )表头设计：表头设计：试验计划与试验结果：试验计划与试验结果：第二节： 3水平正交设计的方差分析9 9个试验点的分布个试验点的分布
10、第二节： 3水平正交设计的方差分析详细计算如下：详细计算如下：第二节： 3水平正交设计的方差分析列方差分析表如下：列方差分析表如下：最佳条件的选择：最佳条件的选择：对显著因子应取最好的水平对显著因子应取最好的水平对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本操作方对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选择便等角度加以选择上面的例子中对因子上面的例子中对因子A A与与B B应选择应选择A A2 2B B2 2，因子，因子C C可以任选，譬如为节约可以任选，譬如为节约材料可选择材料可选择C C1 1第二节： 3水平正交设计的方差分析验证试验：验证试验：对对
11、A A2 2B B2 2C C1 1进行三次试验，结果为：进行三次试验，结果为：234234，240240，220220，平均值，平均值为为231.3. 231.3. 此结果是满意的此结果是满意的例例2(2(有交互作用有交互作用): ):为提高某产品的产量，需要考虑为提高某产品的产量，需要考虑3 3个因素：反应温度、反应压力和溶个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。每个因素都取液浓度。每个因素都取3 3个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。第二节： 3水
12、平正交设计的方差分析解解：( (选用正交表选用正交表L L2727(3(31313) )根据前面的公式作如下计算：根据前面的公式作如下计算：第二节： 3水平正交设计的方差分析由此得出由此得出类似地类似地最后计算总平方和，得出最后计算总平方和，得出第二节： 3水平正交设计的方差分析用公式计算自由度：用公式计算自由度：再用公式计算平均离差的平方和，然后计算再用公式计算平均离差的平方和，然后计算F F值，再与值，再与F F分布表中查分布表中查出的相应的临界值出的相应的临界值F F (f (f因因，f fE E) )比较，判断各因素显著性的大小。比较，判断各因素显著性的大小。通常，若通常，若F FF
13、F0.010.01(f (f因因，f fE E) )，就称该因素是高度显著的，用两个星号，就称该因素是高度显著的，用两个星号表表示；若示；若F FF FF F0.050.05(f (f因因，f fE E) )，则称该因素的影响是，则称该因素的影响是显显著的，用一个星号表示；若著的，用一个星号表示；若FFFF0.050.05(f (f因因，f fE E) )，就称该因素的影响是不，就称该因素的影响是不显著的，不用星号表示。显著的，不用星号表示。第二节： 3水平正交设计的方差分析方差分析表：方差分析表：因为因为S SAXCAXC和和S SBXCBXC都很小，和误差项合并，作为误差项。通过都很小，和
14、误差项合并，作为误差项。通过F F值值与临界值比较看出，因素与临界值比较看出，因素A,B,CA,B,C和交互作用和交互作用AXBAXB对试验的影响都是显对试验的影响都是显著的，从著的，从F F值的大小看，因素值的大小看，因素C C最显著，以下依次为最显著，以下依次为A A，B B，AXBAXB第二节： 3水平正交设计的方差分析方差分析方差分析(2)(2)：由于这里的试验指标是产品的产量，越大越好，所以最优方案应取由于这里的试验指标是产品的产量，越大越好，所以最优方案应取各因素中各因素中K K的最大值所对应的水平。因素的最大值所对应的水平。因素A A应取第应取第1 1水平，因素水平，因素B B应
15、取应取第第3 3水平，因素水平，因素C C应取第应取第3 3水平。交互作用水平。交互作用AXBAXB也是显著的，但由也是显著的，但由于于AXBAXB占两列，直观分析法有些困难，因此把占两列，直观分析法有些困难，因此把A A和和B B的各种组合的试的各种组合的试验结果对照起来分析。验结果对照起来分析。从表中看出，当从表中看出，当A A取第取第1 1水平、水平、B B取第取第3 3水平时，试验结果为水平时，试验结果为13.1713.17，是所有结果中的最大值，因此可取是所有结果中的最大值，因此可取A A1 1B B3 3，这与前面单独考虑因素这与前面单独考虑因素A A，B B时所得出的结果是一致的
16、。于是，最优方案就取时所得出的结果是一致的。于是，最优方案就取A A1 1B B3 3C C3 3. .第二节： 3水平正交设计的方差分析2 2水平正交设计，各因素离差平方和为：水平正交设计，各因素离差平方和为：因为因为 又又所以上式可简化为所以上式可简化为这里这里2 2水平设计计算离差平方和的一般公式，同样适用于交互作用。水平设计计算离差平方和的一般公式，同样适用于交互作用。第三节： 2水平正交设计的方差分析例例3:3:某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知道，影响农药收率的因素有经验知道，影响农药收率的因素
17、有4 4个：反应温度个：反应温度A A，反应时间，反应时间B B，原料配比原料配比C C，真空度，真空度D D。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考虑虑A A，B B的交互作用。试进行方差分析。的交互作用。试进行方差分析。第三节： 2水平正交设计的方差分析解解：( (选用正交表选用正交表L L8 8(2(27 7) )第三节： 2水平正交设计的方差分析这里这里类似地类似地计算误差平方和：计算误差平方和：S SE E=S=ST T-(S-(S因因+S+S交交) ) =146-(8+18+60.5+4.5+18)=5 =146-(8+18+60.5+4.5
18、+18)=5第三节： 2水平正交设计的方差分析计算自由度计算自由度: :计算均方值：由于各因素和交互作用计算均方值：由于各因素和交互作用AXBAXB的自由度都是的自由度都是1 1，因此它们，因此它们的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为计算计算F F比：比：第三节： 2水平正交设计的方差分析方差分析表：方差分析表：第三节： 2水平正交设计的方差分析方差分析方差分析: :从方差分析表中从方差分析表中F F值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺序为值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺序为 C C，AXBAXB，B B，A A，D D。C
19、C影响最大，其次是交互作用影响最大，其次是交互作用AXBAXB，D D的的影响最小影响最小. . 若各因素分别选取最优条件应当是若各因素分别选取最优条件应当是C C2 2，B B1 1，A A1 1，D D2 2. . 但但考虑到交互作用考虑到交互作用AXBAXB的影响较大，且它的第的影响较大，且它的第2 2水平为好，在水平为好，在C C2 2，(AXB)(AXB)2 2的情况下，有的情况下，有B B1 1A A2 2和和B B2 2A A1 1，考虑到，考虑到B B的影响比的影响比A A大，而大，而B B选选 B B1 1为好，当然为好，当然A A只能选第只能选第2 2水平了。这样最后确定下
20、来的最优方案水平了。这样最后确定下来的最优方案应当是应当是A A2 2B B1 1C C2 2D D2 2。 这个方案不在正交表的这个方案不在正交表的9 9个试验中，可以按此个试验中，可以按此进行试验，比较一下结果。进行试验，比较一下结果。第三节： 2水平正交设计的方差分析混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。现以现以L L8 8(4X2(4X24 4) )混合型正交表为例：混合型正交表为例：总离差平方和为总离
21、差平方和为因素偏差平方和有两种情况：因素偏差平方和有两种情况：2 2水平因素：水平因素：4 4水平因素：水平因素：第四节：混合型正交设计的方差分析例例4:4:某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理, ,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内, ,硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察的指标是洛氏硬度的指标是洛氏硬度(HR)(HR)，经分析研究，要考虑的因素有，经分
22、析研究，要考虑的因素有3 3个：个： 退火退火温度温度A A，保温时间，保温时间B B，冷却介质，冷却介质C C。第四节：混合型正交设计的方差分析选正交表选正交表 L L8 8 (4 X 2 (4 X 24 4) ) 安排试验及分析如下：安排试验及分析如下：解解：第四节：混合型正交设计的方差分析方差分析表：方差分析表：从从F F值和临界值的比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，值和临界值的比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，B B的的影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素影响大些。为提高分析精度，我们只考虑因素B B，把因素，把因素A A，C C都并都并入误差。这样一来，入误差。这样一
23、来，S SE E就变成就变成S SA A + S+ SC C + S+ S4 4 + S+ S5 5 = 0.445 + 0.18 + = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.2501.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。，再列方差分析表。第四节：混合型正交设计的方差分析方差分析表方差分析表(2)(2)：临界值临界值 F F0.050.05(1(1，6) = 5.99, F6) = 5.99, F0.010.01(1, 6) = 13.75(1, 6) = 13.75从从F F值和临界值的比较来看，因素值和临界值的比较来看，因素B B就是显著性
24、因素了。就是显著性因素了。因素影响从大到小的顺序为因素影响从大到小的顺序为BCABCA，选定的最优方案应为，选定的最优方案应为A A2 2B B2 2C C1 1第四节：混合型正交设计的方差分析例例5:5:钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如表：求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如表：选取正交表选取正交表L L9 9(3(34 4)
25、)，将因素，将因素C C虚拟虚拟1 1个水平。据经验知，海鸥牌比个水平。据经验知，海鸥牌比OPOP牌的效果好，故虚拟第牌的效果好，故虚拟第2 2水平并安排在第水平并安排在第1 1列。列。第五节：拟水平法的方差分析解解：虚拟水平的因素虚拟水平的因素C C的第的第1 1水平重复水平重复3 3次，第二水平重复次，第二水平重复6 6次。因此，离次。因此，离差平方和为：差平方和为：其余因素的离差平方和为其余因素的离差平方和为误差的离差平方和为：误差的离差平方和为：第五节：拟水平法的方差分析方差分析表：方差分析表：从从F F值和临界值比较看出，各因素均无显著影响，相对来说，因素值和临界值比较看出，各因素均
26、无显著影响，相对来说，因素D D的影响大些。我们把影响最小的因素的影响大些。我们把影响最小的因素B B并入误差，使得新的误差平方并入误差，使得新的误差平方和为和为S SEE= S= SE E + S + SB B，再列方差分析表，再列方差分析表第五节：拟水平法的方差分析方差分析表方差分析表(2)(2)：由此看出，因素由此看出，因素D D有显著影响，因素有显著影响，因素A A，B B均无显著影响。因素重要均无显著影响。因素重要性的顺序为性的顺序为DCABDCAB，最优方案为，最优方案为A A3 3B B1 1C C2 2D D3 3. .第五节：拟水平法的方差分析重复试验就是对每个试验号重复多次
27、，这样能很好地估计试验误差，重复试验就是对每个试验号重复多次，这样能很好地估计试验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：(1) (1) 计算计算K K1 1，K K2 2， 时，要用各号试验重复时，要用各号试验重复n n次的数据之和；次的数据之和；(2) (2) 计算离差平方和时，公式中的计算离差平方和时，公式中的“ “水平重复数水平重复数” ”要改为要改为“ “水平重复水平重复数与数与 重复试验数之积重复试验数之积” ”；(3) (3) 总体误差的离差平方和总体误差的离差平方和SESE由两部分构成：第一类误差，即空列误由两部分构
28、成：第一类误差，即空列误差差S SE1E1；第二类误差，即重复试验误差第二类误差，即重复试验误差S SE2E2； S SE E = S = SE1E1 + S + SE2E2 f fE E = f = fE1E1 + f + fE2E2(4) S(4) SE2E2的计算公式为的计算公式为其中其中r r为各号试验的重复次数，为各号试验的重复次数，n n为试验号总数。为试验号总数。f fE2E2 = n(r - 1) = n(r - 1)第六节：重复试验的方差分析第六节：重复试验的方差分析例例6:6:硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱除一部分碳，但钢带硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱
29、除一部分碳，但钢带表面会生成一层很厚的氧化皮，增加酸洗的困难。现欲取消这道工表面会生成一层很厚的氧化皮，增加酸洗的困难。现欲取消这道工序，为此要做试验。试验指标是钢带的磁性。本试验考虑序，为此要做试验。试验指标是钢带的磁性。本试验考虑2 2个因素个因素, ,每个因素每个因素2 2个水平。退火工艺个水平。退火工艺A A：A A1 1为进行空气退火，为进行空气退火，A A2 2 为取消空为取消空气退火，成品厚度气退火，成品厚度B B，B B1 1为为0.20mm0.20mm，B B2 2为为0.35mm0.35mm。选用。选用L L4 4(2(23 3) )正正交表安排试验，每个试验号重复交表安排试验，每个试验号重复5 5次，试验结果列于后附表中。次，试验结果列于后附表中。第六节：重复试验的方差分析第六节：重复试验的方差分析第六节：重复试验的方差分析方差分析表方差分析表从方差分析的结果看出，取消空气退火工序对钢带磁性无显著从方差分析的结果看出，取消空气退火工序对钢带磁性无显著影响，可以取消这个工序。影响，可以取消这个工序。第六节：重复试验的方差分析正交试验模型的判断：正交试验模型的判断：判断方法：判断方法：bb小组作业利用所学的正交设计方差分析的方法，结合工作利用所学的正交设计方差分析的方法，结合工作实际，安排试验及分析。实际，安排试验及分析。bb个人作业作作 业业 要要 求求
