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1、第六章 微分方程与数学建模第一节第一节 微分方程微分方程第二节第二节 微分方程在数学建模中的应用微分方程在数学建模中的应用微分方程与数学建模第一节 微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程二、一阶微分方程三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程微分方程四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程微分方程与数学建模一、微分方程的基本概念1. 引例引例解解微分方程与数学建模2. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 凡是表示未知函数、未知函数的导数（或微凡是表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间关系的方程分）与自变
2、量之间关系的方程 称为微分方程称为微分方程. . 微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方方程的程的“阶阶”，未知函数是一元函数的微分方程称未知函数是一元函数的微分方程称为为常微分方程常微分方程 如果自变量为如果自变量为x，未知函数为，未知函数为y，则，则n阶微分方阶微分方程的一般形式为程的一般形式为微分方程与数学建模 任何满足微分方程的函数都称为任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解微分方程的解. . 如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做这样的解
3、叫做微分方微分方程的通解程的通解. . 不含任意常数的解称为微分方程的不含任意常数的解称为微分方程的特解特解. . 用来确定方程通解中任意常数的条件称为用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程方程的初始条件的初始条件. . 求微分方程满足初始条件的解的问题称为求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值初值问题问题. . 微分方程与数学建模二、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为1. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程微分方程与数学建模微分方程与数学建模微分方程与数学建模微分方程与数学建模2. 齐次方程齐次方程的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. .解法解
4、法作变量代换作变量代换 代入原式代入原式变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程定义定义微分方程与数学建模微分方程与数学建模微分方程与数学建模微分方程与数学建模三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程)()(xQyxPdxdy= =+ +一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当微分方程与数学建模1.1.一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程 的解法的解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为( (使用分离变量法使用分离变量法) )微分方程与数学建模2.2.一阶线性非齐次方程一阶线
5、性非齐次方程 的解法的解法对应齐次方程解法：常数变易法先求出对应齐次方程的通解：再令C=u(x)，即为原方程的解，微分方程与数学建模积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解变易常数应满足的条件微分方程与数学建模3. 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程微分方程与数学建模微分方程与数学建模微分方程与数学建模四、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的形式二阶常系数齐次线性微分方程的形式二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系
6、数非齐次线性微分方程.微分方程与数学建模1.二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程1) 解的性质解的性质微分方程与数学建模将其代入上方程将其代入上方程, , 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根2) 通解的求法通解的求法微分方程与数学建模（1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根两个特解两个特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为微分方程与数学建模（2 2）有两个相等的实根）有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为微分方程与数学建模（3 3）有一对共轭复根）有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为微分方程与数学建模2.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程与数学建模设非齐方程特解为代入原方程微分方程与数学建模综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k k是重根次数）是重根次数）. .微分方程与数学建模特别地特别地微分方程与数学建模利用欧拉公式利用欧拉公式微分方程与数学建模注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.微分方程与数学建模
