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1、有理数有理数 利用已有的知识，灵活熟练地运用利用已有的知识，灵活熟练地运用数的四则运算法则和有关公式，学会巧数的四则运算法则和有关公式，学会巧算的方法。算的方法。学习学习目标：目标：分析：分析：这个算式中的分母均是这个算式中的分母均是9999，分子依次是，分子依次是1 1到到296296，而，而1+296=2971+296=297，而，而297297恰好是恰好是9999的的3 3倍，可以倍，可以看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的两项之和为两项之和为3 39999，并且这样的和只有，并且这样的和只有296/2296/2个。个。一、一、巧用运算律：
2、巧用运算律： 例例1.1.计算：计算：1/99+2/99+3/99+1/99+2/99+3/99+296/99+296/99解：解：1/99+2/99+3/99+1/99+2/99+3/99+296/99+296/99 = =（1/99+296/991/99+296/99）+ +（2/99+259/992/99+259/99） + +（148/99+149/99148/99+149/99） =3X148 =3X148 =444 =444解解：设设S= 5+8+11+14+17+S= 5+8+11+14+17+32+32 反过来写反过来写S=32+29+26+S=32+29+26+5+5 2S=
3、(5+32)+(8+29)+2S=(5+32)+(8+29)+(32+5)(32+5) =37X10 =37X10 =370 =370所以所以S=185S=185例例2 2：5+8+11+14+17+5+8+11+14+17+32+32二、二、倒写相加倒写相加分析：分析：可利用可利用“倒写相加倒写相加”的方法来计算上式的的方法来计算上式的和和 观观察察上上例例我我们们发发现现：它它的的每每两两个个相相邻邻的的加加数数的的差差 相相 等等 ， 一一 般般 地地 ， 给给 出出 一一 列列 数数 a a1 1、 a a2 2、a a3 3a an n( (其其中中a a1 1称称为为首首项项，a
4、an n称称为为末末项项) )，如如果果从从第第二二项项开开始始，后后项项与与前前项项的的差差都都相相等等，那那么么就就称称这这列列数数a a1 1、a a2 2a an n为为等等差差数数列列，这这个个差差用用d d来表示。来表示。即即d=ad=a2 2-a-a1 1=a=a3 3- a- a2 2= =a=an n-a-an-1n-1d d叫公差，叫公差，n n为项数为项数 如何来推算等差数列如何来推算等差数列a a1 1、a a2 2a an n的和呢？的和呢？ 例例2 2：5+8+11+14+17+5+8+11+14+17+32+32设设S=aS=a1 1+ a+ a2 2+a+an
5、n反过来写，则反过来写，则s= as= an+n+a an-1n-1+a+a1 1两式相加两式相加得得：2S=(a2S=(a1 1+ a+ an n)+(a)+(a2 2+ a+ an-1n-1) )+(a+(an n+ a+ a1 1) )由于由于a a1+ 1+ a an n=a=a2 2+ a+ an-1n-1= = a= an n+ a+ a1 1因为因为2S=(a2S=(a1 1+an)+an)n n所以所以S=(aS=(a1 1+an)/2+an)/2n n 例例3 3. . 利用等差数列求和公式计算利用等差数列求和公式计算： 分析：分析：这里这里a a1 1=1=1，a an n
6、=1991=1991，d=3-1=2d=3-1=2，n=996n=996 1+3+5+1+3+5+1991 +1991 解：设解：设S=1+3+3S=1+3+32 2+ +3+320142014 (1) (1) 则则3S=3+33S=3+32 2+ +3+320152015 (2)(2) （2 2）- - (1) (1)得：得：3S-S=(3+33S-S=(3+32 2+ +3+320152015)-(1+3+3)-(1+3+32 2+ +3+320142014）2S=32S=320152015-1-1所以所以S=3S=320152015-1/2-1/2 三、三、先乘后减先乘后减例例4 4：求
7、：求 1+3+3 1+3+32 2+ +3+320142014的值。的值。分析：分析：和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比都是都是3 3，如先用，如先用3 3乘以和式两边，然后与原式对应相减，乘以和式两边，然后与原式对应相减，即可得解。即可得解。解：原式解：原式=(90+900+9000+90000+=(90+900+9000+90000+900000)-5+900000)-5 =999990-5 =999990-5 =999985 =999985四四、凑数与分拆：凑数与分拆：例例5 5. . 计算计算89+899+8999+89999+8999
8、99 89+899+8999+89999+899999 分析：分析：观察各数的特征：都是由观察各数的特征：都是由8 8和和9 9组成，只组成，只要将第一个数加上要将第一个数加上1 1就凑成就凑成9090，第二个数加上，第二个数加上1 1就凑成就凑成900900，再求和即可再求和即可。 分析：分析： 证明：证明： 分析：分析：算式中的每一项算式中的每一项“分拆分拆”成正负两项，成正负两项，利用利用“正负相消正负相消”的方法计算。的方法计算。 解：解： 人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定了一些运算符号及法则：如加（了一些运算符号及法则：如加（+ +
9、）、减（）、乘）、减（）、乘（）、除（）、除（），这使数学更加简明。），这使数学更加简明。 然而，这些符号都是然而，这些符号都是“公认的公认的”，其实，除了四，其实，除了四则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的运算，这就是定义新运算。运算，这就是定义新运算。 我们定义的这种新运算，其运算我们定义的这种新运算，其运算结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的2 2倍倍的和与的和与3 3的商。若的商。若a=a=2 2，b=3b=3 五五、定义新运算定义新运算在数学竞赛中，常常会遇到这种题。在数学
10、竞赛中，常常会遇到这种题。 解：解： 解：解： 解：原式解：原式 六六、一些运算技巧一些运算技巧(1(1、凑整凑整）例例1.1.计算：计算：例例2. 2. 计算：计算： 解：原式解：原式2 2、整数、分数分离整数、分数分离 例例3. 3. 计算计算 解：原式解：原式例例4. 4. 计算：计算： 分析：因为分析：因为 3 3、逆用分配律、逆用分配律 4 4、倒数求值倒数求值与与互为倒数，而互为倒数，而 容易计算。容易计算。故此题只需计算后部分的结果即可。故此题只需计算后部分的结果即可。 解：原式解：原式5.5.、零因式定值零因式定值 分析：解答时切忌从左至右按顺序运算，因为分析：解答时切忌从左至
11、右按顺序运算，因为解：原式解：原式 例例5. 5. 计算计算： 例例6. 6. 计算计算 解：原式解：原式 本课小结：本课小结： 1. 1. 本课主要讲解了一些关于有理数计算技巧方本课主要讲解了一些关于有理数计算技巧方面的知识，希望同学们在课后能多做习题，理解面的知识，希望同学们在课后能多做习题，理解并能熟练应用这些技巧，特别是关于等差、等比并能熟练应用这些技巧，特别是关于等差、等比数列的求和方法。数列的求和方法。 2. 2. 本课最后讲解了一些关于定义新运算的内本课最后讲解了一些关于定义新运算的内容，希望同学们多理解这类题目，它对整个数学容，希望同学们多理解这类题目，它对整个数学中关于抽象数学的理解是很有帮助的。中关于抽象数学的理解是很有帮助的。【对应训练对应训练】 1. 1. 填空题：填空题： 。6（3 3）计算：）计算： 2. 2. 计算：计算： 3.3.设设“ ”是一种运算符号，对任意两数是一种运算符号，对任意两数x x、y y， 有有： 其中其中a a是一个不等于是一个不等于0 0的常数。的常数。 （1 1）验证：）验证：（2 2）的值。的值。【试题答案】【试题答案】 填空（填空（3 3）题）题2. 2. 计算：计算： 解：解：显然显然a=1a=1，b=2b=2解：解：
