《平均数、中位数、众数、极差、方差标准差的概念讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平均数、中位数、众数、极差、方差标准差的概念讲解（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差问题问题引航引航1.1.如何求平均数、中位数、众数、极差、方差如何求平均数、中位数、众数、极差、方差? ?2.2.利用它们进行总体估计的优缺点是什么利用它们进行总体估计的优缺点是什么? ?1.1.平均数、中位数、众数、极差平均数、中位数、众数、极差出现次数出现次数大小顺序大小顺序中中间间中间两个数中间两个数原数据原数据平均数平均数计算公式计算公式最大值最大值最大值最大值最小值最小值最小值最小值2.2.标准差与方差标准差与方差(1)(1)方差的求法方差的求法: :标准差的平方标准差的平方s s2 2叫做方差叫做方差. .s s2 2=_
2、,=_,其中其中,x,xn n是样本数据是样本数据, ,n n是样本容量是样本容量, , 是样本平均数是样本平均数. .(2)(2)标准差的求法标准差的求法: :标准差是样本数据到平均数的一种平均距标准差是样本数据到平均数的一种平均距离离, ,一般用一般用s s表示表示. .s=_.s=_.1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据. .( () )(2)(2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集
3、中趋势中趋势. .( () )(3)(3)极差不受极端值的影响极差不受极端值的影响. .( () )【解析解析】(1)(1)错误错误. .平均数不可能大于每一个数据平均数不可能大于每一个数据. .(2)(2)正确正确. .从平均数、众数与中位数的含义知正确从平均数、众数与中位数的含义知正确. .(3)(3)错误错误. .极差反映了一组数据变化的最大幅度极差反映了一组数据变化的最大幅度, ,它受一组数据它受一组数据中的极端值的影响中的极端值的影响. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)某学
4、校高一年级男生人数占该年级学生人数的某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.40%.在一次在一次考试中考试中, ,男、女生平均分数分别是男、女生平均分数分别是75,80,75,80,则这次考试该年级学则这次考试该年级学生平均分数为生平均分数为_._.(2)(2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6, 9.4,9.4,9.4,9.6, 9.7,9.7,则该射手成绩的方差是则该射手成绩的方差是_._.(3)(3)一个样本按从小到大的顺序排列为一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21, 10,12,13
5、,x,17,19,21, 24,24,其中中位数为其中中位数为16,16,则则x=_.x=_.【解析解析】(1)(1)平均分数平均分数= = 75+ 75+ 80=78.80=78.答案答案: :7878(2) = (2) = (9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以所以s s2 2= = (9.4-9.5)(9.4-9.5)2 2+(9.4-9.5)+(9.4-9.5)2 2+(9.4-9.5)+(9.4-9.5)2 2+(9.6-9.5)+(9.6-9.5)2 2+(9.7-9.5)+(9.7-9.5)2 2=0.016.
6、=0.016.答案答案: :0.0160.016(3)(3)由题意知由题意知 =16,=16,即即x=15.x=15.答案答案: :1515【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 对平均数、中位数、众数、极差的理解对平均数、中位数、众数、极差的理解极差、众数、中位数、平均数的比较极差、众数、中位数、平均数的比较(1)(1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能不唯一不唯一. .(2)(2)求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇求中位数时，应将数据按大小顺序排列，当数据个数是奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶
7、数时，居数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数是偶数时，居于中间两个数的平均数才是中位数于中间两个数的平均数才是中位数. .可见，中位数不一定是这可见，中位数不一定是这组数据中的数值组数据中的数值. .(3)(3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数的次数. .一组数据的众数可以有多个一组数据的众数可以有多个. .(4)(4)平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小只与这组数个数据的变动都会引起平均数的变动；众数的大小
8、只与这组数据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与据的部分数据有关；中位数也只与少数的数据有关；极差只与这组数据的最大值和最小值有关这组数据的最大值和最小值有关. .【知识拓展知识拓展】极差、众数、中位数、平均数的作用极差、众数、中位数、平均数的作用(1)(1)极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样极差的大小可以反映该组数据分散的程度；众数体现了样本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中本数据的最大集中点，但它忽视了数据信息中的其他数据；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平位数是样本数据所占频率的等分线，它不受极端值的影响；平均数反映
9、了一组数据的平均水平，易受极端值的影响均数反映了一组数据的平均水平，易受极端值的影响. .(2)(2)实际问题中求得的众数、中位数和平均数应带上单位实际问题中求得的众数、中位数和平均数应带上单位. .【微思考微思考】(1)(1)在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知在极差、众数、平均数、中位数中哪些是一定出现在已知数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？数据的数？哪些不一定出现在已知数据中？提示提示: :众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不众数一定出现在已知数据中；极差、平均数、中位数不一定出现在已知数据中一定出现在已知数据中. .(2)(2)在极差、众数、平均数、中位数
10、中哪些反映了该组数据的在极差、众数、平均数、中位数中哪些反映了该组数据的集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？集中趋势？哪些反映了数据的分散程度？提示提示: :众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势众数、平均数、中位数都反映了数据的集中趋势; ;极差反极差反映了数据的分散程度映了数据的分散程度. .【即时练即时练】1.1.若某校高一年级若某校高一年级8 8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是则这组数据的中位数和平均数分别是 ( )( )A A91.591.5和和91.591.5B B91.591.5和和9292C C9191
11、和和91.591.5D D9292和和92922.2.对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析, ,各抽各抽4 4门功课门功课, ,得到得到的观测值如下的观测值如下: :问问: :甲、乙谁的平均成绩较好甲、乙谁的平均成绩较好? ?甲甲6565828280808585乙乙7575656570709090【解析解析】1.1.选选A.A.中位数为中位数为 (91+92)=91.5;(91+92)=91.5;平均数为平均数为 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2. (65+82+80+
12、85)=78,2. (65+82+80+85)=78, (75+65+70+90)=75, (75+65+70+90)=75,知识点知识点2 2 对方差与标准差的理解对方差与标准差的理解标准差、方差的作用标准差、方差的作用(1)(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小数据的离散程度越小(2)(2)标准差、方差为标准差、方差为0 0时，表明样本数据全相等，数据没有波动时，表明样本数据全相等，数据没有波动
13、幅度和离散性幅度和离散性【微思考微思考】(1)(1)在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？在解决实际问题时，一般采用方差还是标准差？提示提示: :方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以在实际问题中一般采用标准差的程度，所以在实际问题中一般采用标准差. .(2)(2)在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标在计算标准差时，若各样本数据加上或减去一个常数，标准差的值会变化吗？准差的值会变化吗？提示提示: :不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同一个常数，所以
14、一个常数，所以(x(xi i ) )2 2的值不变，所以标准差不变的值不变，所以标准差不变. .【即时练即时练】1.1.样本中共有样本中共有5 5个个体，其值分别为个个体，其值分别为a,0,1,2,3.a,0,1,2,3.若该样本的平若该样本的平均值为均值为1 1，则样本方差为，则样本方差为( )( )2.2.已知一个样本为已知一个样本为x,1x,1，y,5y,5，其中，其中x x，y y是方程组是方程组的解，则这个样本的标准差是的解，则这个样本的标准差是( )( )【解析解析】1.1.选选D.D.由题可知样本的平均值为由题可知样本的平均值为1 1，所以所以 1 1，解得，解得a a1 1，所
15、以样本的方差为所以样本的方差为 ( (1 11)1)2 2(0(01)1)2 2(1(11)1)2 2(2(21)1)2 2(3(31)1)2 22.2.2.2.选选D.D.因为因为x xy y2 2，x x2 2y y2 21010，所以所以 (x(x1 1y y5)5) (x(xy)y)6 62 2，s s2 2 (x(x2)2)2 2(1(12)2)2 2(y(y2)2)2 2(5(52)2)2 2 (x(x2 2y y2 2) )4(x4(xy)y)1818 20205 5，所以所以【题型示范题型示范】类型一类型一 众数、中位数、平均数的计算及应用众数、中位数、平均数的计算及应用【典例
16、典例1 1】(1)(1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取3030名名学生参加环保知识测试，得分学生参加环保知识测试，得分( (十分制十分制) )如图所示，假设所得分如图所示，假设所得分值的中位数为值的中位数为m me e，众数为，众数为m m0 0，平均值为，平均值为 ，则，则( )( )A Am me em m0 0 B Bm me em m0 0 C Cm me emm0 0 D Dm m0 0mme e (2)(2)据报道据报道, ,某公司的某公司的3333名职工的月工资名职工的月工资( (以元为单位以元为单位) )如下如下:
17、:职务职务董事董事长长副董副董事长事长董事董事总经总经理理经理经理管理管理员员职员职员人数人数1 11 12 21 15 53 32020工资工资5 5005 500 5 0005 000 3 5003 500 3 0003 000 2 5002 500 2 0002 000 1 5001 500求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. .假设副董事长的工资从假设副董事长的工资从50005000元提升到元提升到2000020000元元, ,董事长的工资董事长的工资从从55005500元提升到元提升到3000030000元元, ,那么新的平均数、中位数、
18、众数又是那么新的平均数、中位数、众数又是什么什么?(?(精确到元精确到元) )你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平? ?结合结合此问题谈一谈你的看法此问题谈一谈你的看法. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)图中最高的直条对应的得分是哪个数字图中最高的直条对应的得分是哪个数字特征特征? ?2.2.题题(2)(2)中中30003000位于表格中央位于表格中央,3000,3000是不是中位数是不是中位数? ?【探究提示探究提示】1.1.是众数是众数. .最高的直条对应的频数是最高的直条对应的频数是10,10,其得分为其得分为5 5分
19、分,5,5分是众分是众数数. .2.30002.3000不是中位数不是中位数, ,应该将应该将3333个数从小到大排列个数从小到大排列, ,中间的数是中中间的数是中位数位数. .中位数是中位数是1500.1500.【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.由图可知由图可知,30,30名学生的得分情况依次为名学生的得分情况依次为: :2 2个人得个人得3 3分分,3,3个人得个人得4 4分分,10,10个人得个人得5 5分分,6,6个人得个人得6 6分分,3,3个人得个人得7 7分分,2,2个人得个人得8 8分分,2,2个人得个人得9 9分分,2,2个人得个人得1010分分. .中位数为第中位
20、数为第15,1615,16个个数数( (分别为分别为5,6)5,6)的平均数的平均数, ,即即m me e=5.5,5=5.5,5出现的次数最多出现的次数最多, ,故故m m0 0=5, =5, 于是得于是得m m0 0mme e .ss乙乙2 2，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【巧妙解法巧妙解法】又根据茎叶图中数据的分布情况判断乙比甲稳定又根据茎叶图中数据的分布情况判断乙比甲稳定. .【方法对比方法对比】 求平均值常规法是将各个数字相加除以个数求平均值常规法是将各个数字相加除以个数n,n,巧妙解法是巧妙解法是将十位数字相加除以将十位数字相加除以n n乘以乘以1010，再加上个位数字的平均值，再加上个位数字的平均值. .后者后者可以减小计算量可以减小计算量. .【类题试解类题试解】已知已知1010个数据个数据89,97,86,99,79,70,10189,97,86,99,79,70,101，119, 119, 120120，8888，则它们的平均值为，则它们的平均值为_._.【常规解法常规解法】平均值平均值答案：答案：94.894.8【巧妙解法巧妙解法】平均值平均值答案：答案：94.894.8
