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1、第十六章第十六章 二次根式二次根式16.1 16.1 二次根式二次根式第第1 1课时课时 二次根式的定义二次根式的定义1知识点知识点二次根式的定义二次根式的定义思考思考用用带带有根号的式子填空，看看写出的有根号的式子填空，看看写出的结结果有什么特点：果有什么特点：(1)面面积为积为3的正方形的的正方形的边长为边长为_，面，面积为积为S的正的正 方形的方形的边长为边长为_.(2)一一个个长长方形的方形的围栏围栏，长长是是宽宽的的2倍，面倍，面积为积为130 m2,则则 它的它的宽为宽为_m. 知知1 1导导知知1 1导导(3)一一个物体从高个物体从高处处自由落下，落到地面所用的自由落下，落到地面
2、所用的时间时间t (单单 位：位：s)与开始落下与开始落下时时离地面的高度离地面的高度h(单单位：位：m)满满足关足关 系系h=5t2.如果用含有如果用含有h的式子表示的式子表示t，那么，那么t为为_. 上面上面问题问题的的结结果分果分别别是是 ，它，它们们表示表示一一些正数的算些正数的算术术 平方根平方根. 我我们们知道，知道，一一个正数有两个平方根；个正数有两个平方根；0的平方根的平方根为为0；在在实实数范数范围围内，内，负负数没有平方根数没有平方根.因此，在因此，在实实数范数范围围内开内开平方平方时时，被开方数只能是正数或，被开方数只能是正数或0. 一一般地，我般地，我们们把形如把形如
3、(a0)的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式(quadratic radical)，“ ”称称为为二次根号二次根号.定定义义：形如形如 (a0)的式子叫做二次根式；其中的式子叫做二次根式；其中“ ”称称为为 二次根号，二次根号，a称称为为被开方数被开方数(式式)要点精析：要点精析：(1)二次根式的定二次根式的定义义是从式子的是从式子的结结构形式上界定的，构形式上界定的， 必必须须含有二次根号含有二次根号“ ”；“ ”的根指数的根指数为为2，即，即 ，“2” 一般省略不写一般省略不写(2)被开方数被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子， 但前
4、提是但前提是a必必须须大于或等于大于或等于0.(3)在具体在具体问题问题中，已知二次根式中，已知二次根式 ，就意味着，就意味着给给出了出了a0这这 一条件一条件(4)形如形如b (a0)的式子也是二次根式；的式子也是二次根式；b与与 是相乘的关系，是相乘的关系， 当当b为带为带分数分数时时，要写成假分数的形式，要写成假分数的形式知知1 1讲讲导导引：引：判断一个式子是不是二次根式，判断一个式子是不是二次根式，实质实质是看它是否具是看它是否具 备备二次根式定二次根式定义义的条件，的条件，紧紧扣定扣定义进义进行行识别识别解：解：(1) 的根指数是的根指数是3， 不是二次根式不是二次根式 (2)不不
5、论论x为为何何值值，都有，都有x210， 是二次根式是二次根式 (3)当当5a0，即，即a0时时， 是二次根式；是二次根式； 当当a0时时，5a0，则则 不是二次根式不是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式 (4) 1(a0)只能称只能称为为含有二次根式的式子，不能称含有二次根式的式子，不能称为为 二次根式二次根式例例1 判断下列各式是否判断下列各式是否为为二次根式，并二次根式，并说说明理由明理由 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 1(a0); (5) ；(6) ；(7) ；(8)知知1 1讲讲知知1 1讲讲(5)当当x3时时， 无意无意义义， 也无意也无意义义； 当当x3时时， 0
6、， 是二次根式是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式(6)当当a4时时，a40， 是二次根式；是二次根式； 当当a4时时，(a4)20， 不是二次根式不是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式(7)x22x2x22x11(x1)210， 是二次根式是二次根式(8)|x|0， 是二次根式是二次根式总 结知知1 1讲讲二次根式的二次根式的识别识别方法：方法：判断一个式子是否判断一个式子是否为为二次根式，一定要二次根式，一定要紧紧扣二次根式扣二次根式的定的定义义，看所，看所给给的式子是否同的式子是否同时时具具备备二次根式的两个二次根式的两个特征：特征：(1)含根号且根指数含根号且根指数为为
7、2(通常省略不写通常省略不写)；(2)被开方数被开方数(式式)为为非非负负数数1 下列各式中，一定是二次根式的是（下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2 下列式子不一定是二次根式的是下列式子不一定是二次根式的是() A. B. C. D.3 下列式子：下列式子： 中，一定是二次根式的有中，一定是二次根式的有() A2个个 B3个个 C4个个 D5个个知知1 1练练2知识点知识点二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件知知2 2讲讲(1)式子式子 只有在条件只有在条件a0时时才叫二次根式即才叫二次根式即a0是是 为为二次根式的前提条件二次根式的前提条件.式子式子 就不是
8、二次根就不是二次根 式，但式子式，但式子 却又是二次根式却又是二次根式(2) （a0）实际实际上就是非上就是非负负数数a的算的算术术平方根，既可平方根，既可 表示开方运算表示开方运算,也可表示运算的也可表示运算的结结果果.同同时时 （a0） 也是一个非也是一个非负负数数，我，我们们把把这这个性个性质质叫做二次根式的叫做二次根式的 双重非双重非负负性性.总 结知知2 2讲讲1二次根式有意二次根式有意义义的条件是被开方数的条件是被开方数(式式)为为非非负负数；反数；反 之也成立，即：之也成立，即： 有意有意义义a0.2二次根式无意二次根式无意义义的条件是被开方数的条件是被开方数(式式)为负为负数；
9、反之数；反之 也成立，即：也成立，即： 无意无意义义a0.知知2 2讲讲例例2 当当x是怎是怎样样的的实实数数时时， 在在实实数范数范围围内有意内有意义义？解：解：由由x- -20，得，得x2. 当当x2时时， 在在实实数范数范围围内有意内有意义义.总 结知知2 2讲讲 求式子有意求式子有意义时义时字母的取字母的取值值范范围围的方法：的方法：第一步，第一步，明确式子有意明确式子有意义义的条件，的条件，对对于于单单个的二次根式，只需个的二次根式，只需满满足被开方数足被开方数为为非非负负数；数；对对于含有多个二次根式的，于含有多个二次根式的，则则必必须满须满足多个被开方数同足多个被开方数同时为时为
10、非非负负数；数；对对于零指数于零指数幂幂，则则必必须满须满足底数不能足底数不能为为零；零；对对于含有分式的，于含有分式的，则则需需满满足分足分母不能母不能为为零第二步，利用式子中所有有意零第二步，利用式子中所有有意义义的条件，的条件，建立不等式或不等式建立不等式或不等式组组第三步，求出不等式或不等式第三步，求出不等式或不等式组组的解集，即的解集，即为为字母的取字母的取值值范范围围1 当当a是怎是怎样样的的实实数数时时，下列各式在，下列各式在实实数范数范围围内内有有 意意义义？ (1) (2) (3) (4)知知2 2练练知知2 2练练2 (中考中考巴中巴中)要使式子要使式子 有意有意义义，则则
11、m的取的取值值 范范围围是是() Am1 Bm1 Cm1且且m1 Dm1且且m1知知2 2练练3 (2015滨滨州州)如果式子如果式子 有意有意义义，那么，那么x的取的取值值 范范围围在数在数轴轴上表示正确的是上表示正确的是() 知知3 3讲讲3知识点知识点二次根式的二次根式的“双重双重”非负性（非负性（a0 0， 0 0） 二次根式的二次根式的“双重双重”非非负负性（性（a0， 0）1.理解二次根式的非理解二次根式的非负负性性应应从算从算术术平方根入手，当平方根入手，当a 0时时， 表示表示a的算的算术术平方根，因此平方根，因此 0 . 所以所以“二次根式二次根式”包含有两个包含有两个“非非
12、负负”即：即：被开被开 方数非方数非负负：a0；二次根式的二次根式的值值非非负负： 0.2.若若 + =0,则则 a=0,b=0.由于二次根式由于二次根式 和和 都都是是 非非负负数，所以它数，所以它们们的的值值都都为为0.例例3 若若 ，则则x- -y 的的值为值为 ( ) A1 B1 C7 D7知知3 3讲讲分析：分析：根据非根据非负负数的性数的性质质列式求出列式求出x、y的的值值，然后代入，然后代入 代数式代数式进进行行计计算即可得解因算即可得解因为为 + (y+ 3)2=0都是非都是非负负数，它数，它们们的和的和为为0，所以，所以(y+3)2= 0， ，所以，所以y+3=0，x+y-
13、-1=0， 解得解得y=- -3，x=4，所以，所以x- -y=7.故故选选CC总 结知知3 3讲讲两个非两个非负负数的和数的和为为0时时，这这两个非两个非负负数都数都为为01 若若 =0，求，求a2012+b2012的的值值2 已知已知实实数数x，y满满足足|x4| 0，则则以以x，y的的 值为值为两两边长边长的等腰三角形的周的等腰三角形的周长长是是() A20或或16 B20 C16 D以上答案均不以上答案均不对对知知3 3练练1形如形如 （a0）的式子叫做二次根式，）的式子叫做二次根式，“ ” 称称为为二次根号二次根号 2要使二次根式在要使二次根式在实实数范数范围围内有意内有意义义，必，必须满须满足被足被 开方数是非开方数是非负负数数
