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1、一、数列极限的定义二、收敛数列的性质1.2 数列的极限上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义一、数列极限的定义v引例 刘徽割圆术割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义一、数列极限的定义v引例用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S下页A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A
2、2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , 显然n越大, An 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 越接近于S 上页下页铃结束返回首页v数列 如果按照某一法则 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 下页数列举例:2 4 8 2n ; 1 1 1 (1)n1 上页下页铃结束返回首页x1x5x4x3x2xn 数列xn可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点x1 x2 x3 xn 数列的几何意义v数列 如果按照某一法则 对每一nN,
3、 对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 下页上页下页铃结束返回首页 数列xn可以看作自变量为正整数n的函数xn=f(n) nN 数列与函数v数列 如果按照某一法则 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 下页上页下页铃结束返回首页 例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为下页v数列极限的通俗定义上页下页铃结束返回首页当n无限增大时 x
4、n无限接近于a 当n无限增大时 |xna|无限接近于0 当n无限增大时 |xna|可以任意小 要多小就能有多小当n增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意小的正数分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则数列xn收敛a下页上页下页铃结束返回首页v数列极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna |都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为 如果不存在这样的
5、常数a 就说数列xn没有极限 下页 0, NN 当nN时 有|xna| . 极限定义的简记形式上页下页铃结束返回首页aa-a()v数列极限的几何意义 0, NN 当nN时 有|xna| . 下页存在 NN 当nN时 点xn全都落在邻域(a- a)内 任意给定a的邻域(a- a)上页下页铃结束返回首页分析: 例1 证明 下页 0, NN 当nN时 有|xna| . 上页下页铃结束返回首页 例2 分析: 证明 下页 0, NN 当nN时 有|xna| . 上页下页铃结束返回首页分析: 例3 设|q|1 证明等比数列1 q q2 qn1 的极限是0 对于 0 要使 |xn0|=|qn10|=|q|n
6、1log|q| 1就可以了|qn10|=|q|n1N时 同时有 因此同时有 这是不可能的 所以只能有a=b 证明 下页上页下页铃结束返回首页注 如果M0, 使对nN 有|xn|M 则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M不存在 就说数列xn是无界的 下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 上页下页铃结束返回首页 1 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2 数列1 1 1 1 (1)N1 的有界性与收敛如何？讨论 下页二、收敛数列的
7、性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 上页下页铃结束返回首页下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 v定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0)上页下页铃结束返回首页注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先
8、后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列 v定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a下页 例如 数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 上页下页铃结束返回首页 1 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？ 4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发散的？结束v定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a讨论上页下页铃结束返回首页内容小结2 收敛数列的性质唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限1 数列极限的 “ N ” 定义及应用
