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1、二次函数二次函数 与与 面积问题面积问题板桥初中板桥初中 陈金国陈金国专题研究课专题研究课如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设宽篱笆的长方形花圃，设宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ABCD解： (1) AB为x米、篱笆长为24米 BC为（244x）米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米） Sx
2、（244x）（0x6）热身运动热身运动4x224 x问题探究一：问题探究一：如图：在一面靠墙的空地上用长为如图：在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设宽围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解： (1) AB为
3、x米、篱笆长为24米 BC为（244x）米 (3) 墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米） Sx（244x） 0244x 8 4x6当x4米时，S最大值32 平方米4x224 x （0x6）问题探究二：如图，在ABC中B=90，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。（1）写出PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，PBQ的面积S最大值是多少？ QPCBA BP=12-2t， S=1/2(12-2t
4、) 4t解：解：BQ=4t（0t6）（2）当）当t=3时，时，S最大值最大值=36思考：以此题为背景，你能设计其它与面积有思考：以此题为背景，你能设计其它与面积有关的问题吗？关的问题吗？即即S=- 4t+24t=- 4(t-3)+36如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点为菱形，点C的的坐标为坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于，垂直于x轴的直线轴的直线l从从y轴出发，轴出发，沿沿x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线个单位长度的速度运动，设直线l与菱形与菱形OABC的两边分别交于点的两边分别交于点M、N(点点M在点在点N的上
5、方的上方).(1)直接写出直接写出A、B两点的坐标；两点的坐标；（2)设设OMN的面积为的面积为S，直线，直线l运动时间为运动时间为t秒秒(0t6)，试求试求S 与与t的函数表达式；的函数表达式；(3)在题在题(2)的条件下，的条件下，t为何值时，为何值时，S的面积最大？最大面积的面积最大？最大面积是多少？是多少？ OABCxyMNMNMN反馈练习反馈练习 探究问题三：探究问题三：抛抛物线上的面积问题物线上的面积问题已知二次函已知二次函数数y=x2-2x-3 与与x轴交于轴交于A、B两点两点（A在在B的左边），与的左边），与y轴交于点轴交于点C.(1)直接写出点直接写出点A、B、C及顶点及顶点
6、P的的坐标坐标 （2）求求四边形四边形ACPB的面积。的面积。xABOCy.M.P（3）设设M（a，b）（其中）（其中0a3）是抛是抛物线上的一个动点，试物线上的一个动点，试求求MCB面面积的最大积的最大值，及值，及此时点此时点M的坐标。的坐标。已知二次函数已知二次函数 与与x轴交于轴交于A、B两点两点（A在在B的左边），与的左边），与y轴交于点轴交于点C.y=x2-2x-3xABOCyP.ND思考：思考：（5）在抛物线上（除点）在抛物线上（除点P外），是否存在点外），是否存在点Q，使得，使得 S QBC = S PBC， 若存在，求出点若存在，求出点Q的坐标，的坐标， 若不存在，请说明理由若
7、不存在，请说明理由（4）在抛物线上（除点在抛物线上（除点C外），外）， 是否存在点是否存在点N，使得使得 若若存在，求出点存在，求出点N的坐标，的坐标， 若若不不 存在，请说明理由。存在，请说明理由。 S NAB = 2S ABC， S NAB = S ABC，.N3.N2.Q本课小结（1）从图形面积问题到二次函数（2）在二次函数图像中探讨面积问题本课寄语：用务实，求真的思想格物探理，本课寄语：用务实，求真的思想格物探理，用灵动的思维去探索身边看似变化，却有用灵动的思维去探索身边看似变化，却有规可循的事件。规可循的事件。课外作业课外作业如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax 2bxc与与x轴交
8、于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C其中点其中点A在在x轴的负半轴上，点轴的负半轴上，点C在在y轴的负半轴上，线段轴的负半轴上，线段OA、OC的长的长（OAOC）是方程是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1 1）求）求A、B、C三点的坐标；三点的坐标；（2 2）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；yxBDOAEC（3 3）若点）若点D是线段是线段AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点A、B不重合），过点不重合），过点D作作DEBC交交AC于点于点E，连结，连结CD，设，设BD的长为的长为m，CDE的面积为的面积为S，求求S与与m的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量m的取值范围的取值范围S是否存在最大值？是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时若存在，求出最大值并求此时D点坐标；点坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由A（1，0），B（3，0），C（0，4） 当m2时，S有最大值2 D点坐标为（1，0）
