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1、第二章 非线性方程的数值解法2.1 二分法2.2 迭代法2.3 牛顿迭代法 求解非线性方程的根，就是求解高次方程或超越方程(含有指数和对数等)，因为这类方程没有固定的求根公式。 用 f(x)表示方程左端的函数，则一般的非线性方程可表示为 f (x) = 0. 本章的任务就是上述方程的根或函数的零点。2.1 二分法（实根的对分法）使用对分法的条件 设 f(x)Ca, b, 且 f(a) f(b)0, 存在(a,b) ，使 f()=0.（微积分中的介值定理）例 2.1 求 在区间1, 2之间的零点。解 对分法求根算法注 1 对分法对多个零点的情况，只能算出其中一个零点。注 2 即使 f(x)在a,
2、 b上有零点，也未必有 f(a) f(b)0。 2.2 迭 代 法判定迭代格式 xk+1 = (xk) 收敛的条件:定理 1 若定义在a, b的(x)满足： （1）当xa, b,有a (x) b； （2） (x)在a, b上可导，且存在正数L1,使任意的x a, b,有|(x) | 0,当x(-, +) 时，有| (x) |1.所以牛顿迭代法收敛。ii)若为 f(x)的p重根，取 则 。牛顿迭代法可取为牛顿法的几何意义注1：使用牛顿迭代法存在从一个根跳到另一个根的情况。注2：如果f(x)=0没有实根，则牛顿迭代序列不收敛。例2.3 证明：设是 f(x)=0的单根，则牛顿迭代法是2阶收 敛的。迭
3、代格式 p 阶收敛的定义 记 ek= xk- ,若存在常数c成立解：牛顿迭代格式的迭代函数为因为是 f(x)=0的单根，所以 f () 0。例2.4 写出用牛顿法求 ，并计算 。 解 设 2.3(2) 弦 截 法 在牛顿迭代法中，用相邻两次迭代值的一阶差商来代替一阶导数，即取 就得到弦截法 弦截法的初始条件是已知2个初始点 x0, x1。弦截法的几何意义 过两点 作一条直线，令y = 0（ f(x) = 0)，得与 X 轴的交点 x 作为 x1，即弦截法算法2.3(3) 非线性方程组的牛顿法 考虑非线性方程组在点作二元Taylor展开，并取线性部分最后我们得到求解非线性方程组的牛顿迭代格式例2.5 解非线性方程组解 Jacobi矩阵： 继续做下去，直到 时停止。
