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1、2 (EropoB)2 (EropoB)定理定理定理定理一致收敛与几乎处处收敛的关系一致收敛与几乎处处收敛的关系1.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出 函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用它的本质就是用“好好”的或的或“简单简单”的函数去逼近的函数去逼近“坏坏”的或的或“复杂复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数的函数，无论是用多项式逼近连续函数的的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼近可测函数定理，还有用三角级数逼近可测函数的的Fourier分析都可归类为逼近问题由于收敛概分析都可归类为逼近问题由于收敛概念
2、有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即即“一致逼近一致逼近”、“逐点逼近逐点逼近”、“几乎处处逼近几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收依测度收敛敛”，因此，又有，因此，又有“依测度逼近依测度逼近”的概念的概念 2024/7/222上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出很自然地，有两个问题是必须考虑的：很自然地，有两个问题是必须考虑的：1、什么样的函数可以用、什么样的函数可以用“好好”的函数按某种收敛的函数按某种收敛意义逼近？意义逼近？2、几种收敛性关系如何？、几种收敛性关系如何
3、？ 这正是本节要讨论的内容这正是本节要讨论的内容 关于第二个问题，关于第二个问题，前面已作过初步讨论，显然前面已作过初步讨论，显然“一致收敛一致收敛”强于强于“处处处处收敛收敛”、“处处收敛处处收敛”强于强于“几乎处处收敛几乎处处收敛”本节则本节则是要考察反方向的结论几乎处处收敛能否推出是要考察反方向的结论几乎处处收敛能否推出一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的2024/7/223上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出例如，例如，f (x ) = xn 在在( 0, 1 ) 上处处收敛到上处处收敛到 0，但不，但不一致收敛到一致收敛
4、到 0。然而，假如我们将。然而，假如我们将 1 的一个小邻的一个小邻域挖掉，即考虑区间域挖掉，即考虑区间 ( 0, 1 ，则不管，则不管 多么多么小，小， xn 在在( 0, 1 上总是一致收敛到上总是一致收敛到 0 的这的这就是说，可以将就是说，可以将 (0, 1) 挖去长度充分小的区间，挖去长度充分小的区间，使使 xn 在剩下的集合上一致收敛对在剩下的集合上一致收敛对 Rn 中一般可中一般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的呢？下面的 Egoroff 定理给出了一个肯定的回答定理给出了一个肯定的回答2024/7/224上一页上一页 下
5、一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出 定理定理 (EropoB , 1911年年) 设设 mE ， fn 是是 E 上上一列几乎处处有限的可测函数；一列几乎处处有限的可测函数； fn ( x ) f ( x ) a. e. 于于E ，且，且 | f ( x )| 0，存在，存在可测子集可测子集 E E , 使得使得 fn 在在E 上一致收敛于上一致收敛于 f ( x ) 且且证证 由条件不妨设由条件不妨设 fn ( x ) ，f ( x ) 都是有限函数，且都是有限函数，且在在E 上几乎处处成立即上几乎处处成立即而而2024/7/225上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退
6、出于是对任意固定的于是对任意固定的由于由于而而 m E 0 和任意正整数和任意正整数 k, 存在存在 , 使使2024/7/226上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出令令下证下证: fn 在在E 上一致收敛于上一致收敛于 f , 且且由由2024/7/227上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出由于由于对任意对任意 0，存在，存在 k 使得使得 , 令令对任意对任意 0, 存在正整数存在正整数N, 使得当使得当n N 时时, 对对因此因此, 当当n N 时时, 对对所以所以 fn 在在E 上一致收敛于上一致收敛于 f .2024/7/228上一页上一页 下
7、一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出 叶果洛夫定理的逆定理叶果洛夫定理的逆定理 设设 fn 是是 E 上一列上一列几乎处处有限的可测函数；几乎处处有限的可测函数； | f ( x )| 0，存在可测子集，存在可测子集 E E , M( E E ) ，使得，使得 fn 在在E 上一致收敛于上一致收敛于 f ( x ) 则则注：当注：当 时，时，叶果洛夫定理不成立，但叶果洛夫定理不成立，但无论无论 或或 其逆定理都成立其逆定理都成立.2024/7/229上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 返回返回退出退出证明：由条件知证明：由条件知 , ,存在可测集存在可测集 使使 且且 在在 上一致收敛于上一致收敛于 , ,于是于是 在在 上处处收敛于上处处收敛于 , 令令 ，则，则 从而从而, ,另外另外 显然在显然在 上处处收敛于上处处收敛于 , 所以所以2024/7/2210
