精 品 数 学 课 件北 师 大 版 阶段复习课第 三 章 【【核心解读核心解读】】1.1.根式的性质根式的性质(1) =0(n∈N(1) =0(n∈N* *, ,且且n>1).n>1).(2) =a(n∈N(2) =a(n∈N* *, ,且且n>1).n>1).(3) =a(n(3) =a(n为大于为大于1 1的奇数的奇数).).(4) (n(4) (n为大于为大于1 1的偶数的偶数).). 2.2.分数指数幂的有关结论分数指数幂的有关结论规定：规定：(1) (a>0,m(1) (a>0,m，，n∈Nn∈N* *, ,且且n>1).n>1).(2) (2) (a>0,m,n∈N(a>0,m,n∈N* *, ,且且n>1).n>1).(3)0(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0 0，，0 0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义. .3.3.有理指数有理指数幂的运算性的运算性质a ar r··a as s=a=ar+sr+s(a>0,r,s∈Q).(a>0,r,s∈Q).(a(ar r) )s s=a=arsrs(a>0,r,s∈Q).(a>0,r,s∈Q).(ab)(ab)r r=a=ar rb br r(a>0,b>0,r∈Q).(a>0,b>0,r∈Q). 4.4.对数的基本性数的基本性质(1)(1)零和零和负数没有数没有对数数. .(2)log(2)loga a1=0,log1=0,loga aa=1.a=1.(3)(3)对数恒等式：数恒等式： =N,log=N,loga aa ab b=b.=b.5.5.对数的运算性数的运算性质如果如果a>0,a>0,且且a≠1,M>0,N>0,a≠1,M>0,N>0,那么：那么：①①logloga a(MN)=log(MN)=loga aM+logM+loga aN;N;②log②loga a =log=loga aM-logM-loga aN;N;③log③loga aM Mn n=nlog=nloga aM(n∈R).M(n∈R). 6.6.对数换底公式的推论对数换底公式的推论① ① ②②③ ④log③ ④loga ab·logb·logb bc·logc·logc cd=logd=loga ad.d. 7.7.幂函数的常函数的常见性性质(1)(1)所有的所有的幂函数在函数在(0,+∞)(0,+∞)上都有定上都有定义, ,并且并且图像都像都过点点(1,1).(1,1).(2)(2)如果如果α>0,α>0,则幂函数的函数的图像像过原点原点, ,并且在区并且在区间[0,+∞)[0,+∞)上上为增函数增函数. .(3)(3)如果如果α<0,α<0,则幂函数的函数的图像在区像在区间(0,+∞)(0,+∞)上是减函数上是减函数. .(4)(4)当当αα为奇数奇数时, ,幂函数函数为奇函数奇函数, ,当当αα为偶数偶数时, ,幂函数函数为偶偶函数函数. .(5)(5)幂函数在第四象限没有函数在第四象限没有图像像. . 主题一主题一 指数幂及对数的运算指数幂及对数的运算【【典例典例1 1】】(1)(1)计算：计算： =______.=______.(2)(2014·(2)(2014·宜春高一检测宜春高一检测) )计算：计算：①①②②【【自主解答自主解答】】(1)(1)原式原式= =答案：答案： (2)①(2)①原式原式= == =②②原式原式= = 【【方法技巧方法技巧】】指数与对数的化简、计算应遵循的原则及注意指数与对数的化简、计算应遵循的原则及注意事项事项(1)(1)遵循的原则：遵循的原则：①①指数的运算：首先注意化简顺序指数的运算：首先注意化简顺序, ,一般负指数先转化成正指一般负指数先转化成正指数数, ,根式化为分数指数幂运算根式化为分数指数幂运算, ,小数转化为分数小数转化为分数. .其次若出现分式其次若出现分式, ,则要注意分子、分母因式分解以达到约分的则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的目的; ;②②对数式的运算：首先注意公式应用过程中范围的变化对数式的运算：首先注意公式应用过程中范围的变化, ,前后前后要等价要等价, ,一般本着真数化简的原则进行一般本着真数化简的原则进行. . (2)(2)注意事项：注意事项：①①在进行指数计算时在进行指数计算时, ,需要注意根式的重要结论及指数幂运算需要注意根式的重要结论及指数幂运算性质的灵活运用性质的灵活运用; ;②②在进行对数的运算时在进行对数的运算时, ,一定要注意真数位置大于一定要注意真数位置大于0,0,也就是保也就是保证所用到的各运算性质都有意义证所用到的各运算性质都有意义. . 【【补偿训练补偿训练】】化简下列各式：化简下列各式：【【解析解析】】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式= = 主主题二二 数的大小比数的大小比较【【典例典例2 2】】(1)(2013(1)(2013··新新课标全国卷全国卷Ⅱ)Ⅱ)设a=loga=log3 32,b=log2,b=log5 52, 2, c=logc=log2 23,3,则( ( ) )A.a>c>bA.a>c>b B.b>c>aB.b>c>a C.c>b>aC.c>b>a D.c>a>bD.c>a>b(2)(2)比比较下列各下列各组数的大小：数的大小：①①0.60.65.15.1,5.1,5.10.60.6,log,log0.60.65.1;5.1;②log②log7 712,log12,log8 812.12. 【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选D.D.因为因为loglog3 32= <1,log2= <1,log5 52= <1,2= <1,又又loglog2 23>1,3>1,所以所以c c最大最大. .又又1b,a>b,所以所以c>a>b,c>a>b,选选D.D.(2)①(2)①因为因为0<0.60<0.65.15.1<1,5.1<1,5.10.60.6>1,>1,loglog0.60.65.10.6>0.65.15.1>log>log0.60.65.1;5.1;②②因为因为12>1,7<8.12>1,7<8.所以由对数函数的单调性得所以由对数函数的单调性得loglog121270,log7>0,log12128>0.8>0.所以所以 , ,即即loglog7 712>log12>log8 812.12. 【【方法技巧方法技巧】】1.1.数的大小比较常用的方法数的大小比较常用的方法比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等特殊值法、作差法、作商法等. . 2.2.数的大小比较常用的技巧数的大小比较常用的技巧(1)(1)若指数相同若指数相同, ,底数不同底数不同, ,则利用幂函数的单调性则利用幂函数的单调性. .(2)(2)若底数相同若底数相同, ,指数指数( (真数真数) )不同不同, ,则利用指数则利用指数( (对数对数) )函数的单函数的单调性调性. .(3)(3)若底数不同若底数不同, ,指数指数( (真数真数) )也不同也不同, ,应寻找媒介数应寻找媒介数( (常用常用0 0或或1)1)进行比较进行比较. . 【【补偿训练补偿训练】】把下列各数按由小到大的顺序排列：把下列各数按由小到大的顺序排列：【【解析解析】】因为因为所以按由小到大的顺序排列为所以按由小到大的顺序排列为 主主题三三 指数函数与指数函数与对数函数的数函数的图像和性像和性质【【典例典例3 3】】(1)(2014(1)(2014··济宁高一宁高一检测) )设a>1,a>1,则函数函数f(x)=af(x)=a|x||x|的的图像形状大致是像形状大致是( ( ) )(2)(2014(2)(2014··长安高一安高一检测) )若函数若函数f(x)=log (1-xf(x)=log (1-x2 2).).①①求定求定义域域;②;②求求值域域. . 【【自主解答自主解答】】(1)(1)选选A.A.函数函数f(x)=af(x)=a|x||x|是偶函数且是偶函数且a>1,a>1,结合指数结合指数函数函数y=ay=ax x(a>1)(a>1)的图像可知的图像可知A A正确正确. .(2)①(2)①由由1-x1-x2 2>0>0得得x x2 2<1,<1,即即-11a>1时时, ,若若t=f(x)t=f(x)为增函数为增函数, ,则则y=logy=loga af(x)f(x)为增函数为增函数, ,若若f(x)f(x)为减函数为减函数, ,则则y=logy=loga af(x)f(x)为减函数为减函数.(2).(2)当当0 >0 0，，f(xf(x2 2) )－－f(xf(x1 1) )＝＝＝＝当当x x1 10)>0，，所以所以f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数. . (2)f(x)(2)f(x)＝＝因为因为2 2x x＋＋1>11>1，所以，所以0< <20< <2，，即－即－2<2<－－ <0<0，所以，所以-1<1-1<1－－ <1.<1.所以所以f(x)f(x)的值域为的值域为( (－－1,1).1,1).(3)(3)由题意知由题意知g(x)g(x)＝＝易知函数易知函数g(x)g(x)的定义域为的定义域为( (－－∞∞，，0)∪(00)∪(0，＋，＋∞∞) )，，g(g(－－x)x)＝＝( (－－x)x)··所以函数所以函数g(x)g(x)为偶函数．为偶函数． 主题四主题四 分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用【【典例典例4 4】】(1)(2014·(1)(2014·中山高一检测中山高一检测) )函数函数f(x)=logf(x)=loga ax(a>1)x(a>1)在在［［a,2aa,2a］上的最大值是最小值的］上的最大值是最小值的3 3倍，则倍，则a=________.a=________.(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)＝＝logloga a[( [( －－2)x2)x＋＋1]1]在区间［在区间［1,21,2］上恒为］上恒为正值，求实数正值，求实数a a的取值范围．的取值范围． 【【自主解答自主解答】】(1)(1)当当a>1a>1时时,f(x)=log,f(x)=loga ax x在在[a,2a][a,2a]上单调递增上单调递增, ,所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(a)=logf(a)=loga aa=1,a=1,f(x)f(x)的最大值为的最大值为f(2a)=logf(2a)=loga a2a=log2a=loga a2+log2+loga aa=loga=loga a2+1,2+1,所以所以logloga a2+1=32+1=3××1,1,所以所以a= .a= .答案：答案： (2)(2)设设u(x)=( -2)x+1,u(x)=( -2)x+1,则则f(x)=logf(x)=loga au(x).u(x).因为因为f(x)f(x)在在[1,2][1,2]上恒为正值上恒为正值, ,所以当所以当a>1a>1时时,u(x),u(x)在在[1,2][1,2]上恒有上恒有u(x)>1;u(x)>1;当当0a>a-2x-2x成立的成立的x x的集合的集合( (其中其中a>0,a>0,且且a≠1).a≠1).【【解析解析】】因为因为 所以原不等式化为所以原不等式化为 >a>a-2x-2x. .当当a>1a>1时时, ,函数函数y=ay=ax x是增函数是增函数, ,所以所以8-x8-x2 2>-2x,>-2x,解得解得-24.x>4.故当故当a>1a>1时时,x,x的集合是的集合是{x|-24}.x>4}. 【【强化训练强化训练】】1.(2014·1.(2014·南阳高一检测南阳高一检测) )化简化简 的结果是的结果是( )( )【【解析解析】】选选A.A. 选选A.A.【【误区警示误区警示】】本题在求解中常因为忽视根式成立的条件出错本题在求解中常因为忽视根式成立的条件出错. . 2.(20132.(2013··广广东高考高考) )函数函数f(x)= f(x)= 的定的定义域是域是( ( ) )A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)【【解题指南解题指南】】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零函数的定义域有两方面的要求：分母不为零, ,真真数大于零数大于零, ,据此列不等式即可获解据此列不等式即可获解. .【【解析解析】】选选C.C.解不等式解不等式x+1>0,x-1≠0x+1>0,x-1≠0可得可得x>-1,x≠1x>-1,x≠1是定义域是定义域满足的条件满足的条件. . 3.3.若幂函数若幂函数f(x)f(x)的图像经过点的图像经过点(2(2，， ) )，则，则f( )f( )等于等于( )( )A A．．4 B4 B．．2 C2 C．． D D．． 【【解析解析】】选选A.A.设设f(x)f(x)＝＝x xαα，则，则 ＝＝2 2αα，所以，所以αα＝－＝－2.2.所以所以f(x)f(x)＝＝x x－－2 2. .所以所以 4.(20144.(2014··汕汕头高一高一检测) )设a=loga=log0.70.70.8,b=log0.8,b=log1.11.10.9,c=1.10.9,c=1.10.90.9, ,则( ( ) )A.a1,>1,所以所以c>a>b.c>a>b. 【【补偿训练补偿训练】】已知已知则则( )( )A A．．a a＞＞b b＞＞c Bc B．．b b＞＞a a＞＞c cC C．．a a＞＞c c＞＞b Db D．．c c＞＞a a＞＞b b【【解析解析】】选选C. C. 又因为又因为所以所以又因为又因为y y＝＝5 5x x是增函数，所以是增函数，所以a a＞＞c c＞＞b.b. 5.(2013·5.(2013·四川高考四川高考) ) 的值是的值是______.______.【【解题指南解题指南】】根据对数的运算性质进行求解根据对数的运算性质进行求解. .【【解析解析】】答案：答案：1 1 6 6．．(2014·(2014·咸阳高一检测咸阳高一检测) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=则则 的值是的值是_______._______.【【解析解析】】因为因为所以所以答案：答案： 7.7.已知已知logloga a(3a-1)(3a-1)恒恒为正数正数, ,求求a a的取的取值范范围. .【【解析解析】】由题意可知由题意可知logloga a(3a-1)>0(3a-1)>0恒成立恒成立, ,故故logloga a(3a-1)>log(3a-1)>loga a1 1恒成立恒成立. .(1)(1)当当a>1a>1时时, ,原不等式等价于原不等式等价于3a-1>1,3a-1>1,解得解得a> .a> .所以当所以当a>1a>1时时,log,loga a(3a-1)>0(3a-1)>0恒成立恒成立. .(2)(2)当当00(3a-1)>0恒成立恒成立. .综上所述综上所述, ,所求所求a a的取值范围是的取值范围是 1.a>1. 。