隐函数存在定理

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1、16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)第第 16 章章隐函数存在定理函数相关数学分析数学分析（2）7/22/20247/22/20241华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)一、一、 F (x, y) = 0 情形情形二、多变量情形二、多变量情形三、方程组情形三、方程组情形7/22/20247/22/20242华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2) 前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐

2、函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。存在，且它们的导数或偏导数也存在。 本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。1、隐函数概念隐函数概念显函数：显函数：显函数：显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如：的函数称为显函数例如： 一、一、 F (x, y) = 0 情形情形7/22/20247/22/20243华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)方程式所确定的函数方程式所确定的函数, ,通常通常称为隐函数称为隐函数例如：例如：

3、隐函数：隐函数：隐函数：隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个自变量与因变量之间的关系是由某一个注注注注2 2 不是任一方程不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数, 例如例如 显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数 注注注注1 1 隐函数一般隐函数一般不易化为不易化为不易化为不易化为显函数，也显函数，也不一定需要不一定需要不一定需要不一定需要 化为化为化为化为显函数上面把隐函数仍记为显函数上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关 7/22/20247/22/20244华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数

4、存在定理数学分析数学分析(2)注注注注3 3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关及其某邻域有关. (0,1)(0,1)(0,-1)(0,-1)(-1,0)(-1,0)(1,0)(1,0)7/22/20247/22/20245华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)注注注注4 4 类似地可定义多元隐函数例如类似地可定义多元隐函数例如: 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 等等等等. 条件时，由条件时，由 F(x, y) =0 能确定

5、隐函数能确定隐函数 y =f (x) 并并使使 要讨论的问题是：当函数要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质该隐函数具有连续、可微等良好性质? 2、隐函数存在性条件分析隐函数存在性条件分析 7/22/20247/22/20246华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)唯一确定隐唯一确定隐函数函数 （1 1）连续）连续 （1 1）连续曲线存在）连续曲线存在,使使（2 2）可微）可微（2 2）存在切线）存在切线 交线交线2、隐函数存在性条件分析隐函数存在性条件分析 7/22/20247/2

6、2/20247华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)曲面曲面 在点有切平面且切平面的法线不平行于点有切平面且切平面的法线不平行于轴（即切平面不是轴（即切平面不是平面）平面）切平面的法向量为切平面的法向量为与不共线不共线 （即 不能同时为零）交线交线 存在切线存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求，意味着一元函数的可微性，也要求7/22/20247/22/20248华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)x xz yO : : z = F z = F ( (x

7、,yx,y) )O : : F F ( (x x, ,y y)=0)=0P P0 0( (x x0 0, ,y y0 0) )图图图图1 1 隐函数存在性条件分析示意图隐函数存在性条件分析示意图隐函数存在性条件分析示意图隐函数存在性条件分析示意图 : : y = f y = f ( (x x) )F F ( (x x0 0, , y y0 0) =0) =0y y0 0= = f f ( (x x0 0) )F F ( (x x, , f f ( (x x) =0) =0( ( 满足一定满足一定满足一定满足一定条件或在某条件或在某条件或在某条件或在某一局部一局部一局部一局部) ) 7/22/2

8、0247/22/20249华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)3、隐函数存在定理隐函数存在定理定理定理定理定理1 ( (隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理隐函数存在惟一性定理) ) 设方程设方程 F(x,y)=0中中 的函数的函数 满足以下三个条件：满足以下三个条件： (ii) ( 初始条件初始条件 )；则有如下结论成立：则有如下结论成立：(i) 在区域在区域(iii) F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数惟一地确定了一个隐函数 (i) 存在某邻域存在某邻域 ，在，在 内由方程内由方程7/22/

9、20247/22/202410华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)它满足：它满足： , 且当且当 时时, 使得使得 证证证证 首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性证明过程归结起来有以下四个步骤证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图见图2 )： 在在 上连续上连续(ii)(ii)(iii)(iii)7/22/20247/22/202411华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2) (c)

10、 同号两边伸同号两边伸 (d) 利用介值性利用介值性 (b) 正、负上下分正、负上下分_+_0 (a) 一点正一点正,一片正一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 图图图图2 2 隐函数存在性与惟一性分析示意图隐函数存在性与惟一性分析示意图隐函数存在性与惟一性分析示意图隐函数存在性与惟一性分析示意图 7/22/20247/22/202412华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)(a) “(a) “一点正

11、一点正一点正一点正, , 一片正一片正一片正一片正 ” ”由条件由条件 (iii)，不妨设，不妨设 因为因为 连续，连续，保号性，保号性， 使得使得 (a) (a) 一点正一点正一点正一点正, ,一片一片一片一片正正正正DP P0 0+星星之火星星之火星星之火星星之火可以燎原可以燎原可以燎原可以燎原所以根据连续函数的所以根据连续函数的7/22/20247/22/202413华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2) (b) (b) 正、负上下分正、负上下分正、负上下分正、负上下分_+_0(b) “(b) “正、负上下分正、负上下分

12、正、负上下分正、负上下分 ” ” 因因 故故 把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严格增，且连续严格增，且连续 ( 据条件据条件 (i) ) 特别对于函数特别对于函数 由条由条 7/22/20247/22/202414华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)因为因为 关于关于 连续，故由连续，故由 (b) 的结论，根据保号性，的结论，根据保号性， 使得使得 (c) (c) 同同同同号号号号两两两两边边边边伸伸伸伸 (c) “(c) “同号两边伸同号两边伸同号两边伸同号两边伸” ” (d) “(d) “利用介值性利用介

13、值性利用介值性利用介值性” ” 因因 关于关于 连续连续, 且严且严 格增，故由格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理的结论，依据介值性定理, 存在惟存在惟 7/22/20247/22/202415华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)(d) (d) 利利利利 用用用用 介介介介 值值值值性性性性 满足满足一的一的 就证得存在惟一的隐函数就证得存在惟一的隐函数: 由的任意性由的任意性, 这这若记若记 则定理结论则定理结论 得证得证 下面再来证明上述隐函数的连续性下面再来证明上述隐函数的连续性下面再来证明上述隐函数的连续性下

14、面再来证明上述隐函数的连续性: : 欲证上述欲证上述 在在 连续连续. 7/22/20247/22/202416华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)类似于前面类似于前面 (c) ， 使得使得由由 对对 严格增，而严格增，而 推知推知 如图如图 3 所示所示,.图图图图3 3 隐函数连续性示意图隐函数连续性示意图隐函数连续性示意图隐函数连续性示意图小，使得小，使得 7/22/20247/22/202417华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)在在 上处处连续上

15、处处连续因此因此 在连续在连续. 由的任意性由的任意性, 便证得便证得 且当且当 时，有时，有 类似于前面类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有，由于隐函数惟一，故有 最后再来证明最后再来证明最后再来证明最后再来证明 y y = = f f ( (x x) ) 可微性可微性可微性可微性: : 7/22/20247/22/202418华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)使用微分中值定理使用微分中值定理, 使得使得 设则设则 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 7/22/20247/22/202419华北科技学院

16、基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)显然也是连续函数显然也是连续函数因因 都是连续函数都是连续函数, 故故 时时并有并有 7/22/20247/22/202420华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)7/22/20247/22/202421华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)注注注注1 1 定理定理 1 的条件的条件 (i) (iii) 既是充分条件既是充分条件, 又又 是一组十分重要的条件是一组十分

17、重要的条件. 例如：例如： 在点在点 虽虽 不满足条件不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数，但仍能确定惟一的隐函数 ( (双纽线双纽线双纽线双纽线) ), 在在 点点 同样不满足同样不满足条件条件 (iii); 如图如图 4 在该点无论多么小在该点无论多么小的邻域内的邻域内, 确实不能确实不能 图图图图4 4 双纽线图像双纽线图像双纽线图像双纽线图像确定惟一的隐函数确定惟一的隐函数. 7/22/20247/22/202422华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)注注注注3 3 必须注意必须注意, 定理定理 1 是一个是

18、一个局部性局部性局部性局部性的隐函数存的隐函数存在定理例如从以上双纽线图形看出在定理例如从以上双纽线图形看出: 除了除了(0, 0), 三点以外三点以外, 曲线上其余各点处都存在曲线上其余各点处都存在 注注注注 2 2 条件条件 (iii) 在证明中的作用只是用来保证在邻在证明中的作用只是用来保证在邻 域域 内内 关于为严格单调关于为严格单调局部隐函数局部隐函数 .注注注注4 4 在方程在方程 中中, 与与 的地位是平等的地位是平等 的的. 当条件当条件 (iii) 改为改为 (其它条件不变其它条件不变) 时，将存在局部的连续隐函数时，将存在局部的连续隐函数 7/22/20247/22/202

19、423华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)例例例例1 1 1 1。 ，在该邻域内可唯一确定可微的隐函数在该邻域内可唯一确定可微的隐函数7/22/20247/22/202424华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)例例例例2 2 2 2方程方程内确定隐函数内确定隐函数或或 ？能否在原点的某邻域能否在原点的某邻域解： 令令则则，他们都在全平面上连续他们都在全平面上连续. .故方程在故方程在点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数由于由

20、于 ，据此无法断定是否在据此无法断定是否在点的某邻域内点的某邻域内存在。存在。有隐函数有隐函数7/22/20247/22/202425华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)例例例例3 3 试讨论双纽线方程试讨论双纽线方程 所能确定的隐函数所能确定的隐函数 图图图图4 4 双纽线图像双纽线图像双纽线图像双纽线图像解解解解 令令 它有连续的它有连续的 求解求解 分别得到分别得到 7/22/20247/22/202426华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)所以，除

21、所以，除 这这三点外，曲线上在其他三点外，曲线上在其他 图图图图4 4 双纽线图像双纽线图像双纽线图像双纽线图像在其他所有点处都存在局部的在其他所有点处都存在局部的可微隐函数可微隐函数所有点处都存在局部的可微隐函数所有点处都存在局部的可微隐函数 同理，除同理，除 这五点外，曲线上这五点外，曲线上 7/22/20247/22/202427华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)二、多变量情形二、多变量情形定理定理定理定理2 设函数设函数 F (x1, x2, xn ; y) 满足以下条件满足以下条件 则有如下结论成立：则有如下结论

22、成立：(i) 在区域在区域(iii) (i) 上具有对一切变量的连续偏导数上具有对一切变量的连续偏导数.方程方程F (x1, x2, xn ; y) = 0惟一确定一个函数惟一确定一个函数(ii) ( 初始条件初始条件 )； y = f (x1, x2, xn )7/22/20247/22/202428华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)(ii) (ii) y = f (x1, x2, xn ) 在在 内连续；内连续；(iii) (iii) y = f (x1, x2, xn ) 在在 内对各变量有连续内对各变量有连续偏偏导

23、数，且导数，且7/22/20247/22/202429华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)例例4 4 设 ,问方程是否在原点问方程是否在原点地确定可微函数地确定可微函数 ，其中属于某个邻域某个邻域 ，使得，使得的某邻域唯一的某邻域唯一点的解解： 令令 . .显然显然的偏导数，且的偏导数，且 , ,由由，知，存在知，存在，使得在，使得在有唯一的可微函数有唯一的可微函数，满足，满足：在全平面有连续在全平面有连续7/22/20247/22/202430华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在

24、定理数学分析数学分析(2)设有一组方程设有一组方程 则称由则称由 (1) 确定了隐函数组确定了隐函数组 之对应之对应, 能使能使其中其中 定义在定义在 若存在若存在 使得对于任给的使得对于任给的 有有惟一惟一惟一惟一的的三、方程组情形三、方程组情形7/22/20247/22/202431华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)并有并有 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形 ( 含有含有 m + n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 元隐函数元隐函数 )，与此同理，与此同理.7/22/20247/22

25、/202432华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)定理定理定理定理 3 3 ( ( 隐函数组定理隐函数组定理隐函数组定理隐函数组定理 ) ) 设方程组设方程组 (1) 中的函数中的函数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件： (i)(i) 在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 内有连续的偏导数；内有连续的偏导数； (ii)(ii) (初始条件初始条件); (iii)(iii)则有如下结论成立：则有如下结论成立： (i) (i) 在在 P0 点的某一邻域点的某一邻域 内，方程内，方程 F = 0; G = 0 7/2

26、2/20247/22/202433华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)确定确定惟一惟一惟一惟一一组隐函数一组隐函数它们被定义在它们被定义在 (x0, y0) 的某个邻域的某个邻域 U 内，且满足内，且满足及及(ii) (ii) 在在 U 内连续；内连续；7/22/20247/22/202434华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)且有且有 本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释:在在 内存在一阶连续偏导数，内存在

27、一阶连续偏导数， (iii)(iii) 由方程组由方程组 (1) 的第一式的第一式 确定隐确定隐 函数函数 7/22/20247/22/202435华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2) 将将 代入方程组代入方程组(1) 的第二式的第二式, 得得 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 通过详细计算通过详细计算, 又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果: 7/22/20247/22/202436华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在

28、定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)7/22/20247/22/202437华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)例例例例5 5 设有方程组设有方程组 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数. 解解解解 易知点易知点 满足以上方程组满足以上方程组 . 设设 7/22/20247/22/202438华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)它们在它们在 上有连续的各阶

29、偏导数上有连续的各阶偏导数. 再考察再考察 在点在点 关于所有变量的雅可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 由于由于7/22/20247/22/202439华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组定理可知, 在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组: 但不能肯定但不能肯定 y , z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数. 7/22/20247/22/202440华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(

30、2)运用定理运用定理 3 的结论的结论 , 可求得隐函数在点可求得隐函数在点 P0 处的处的 导数值导数值: 7/22/20247/22/202441华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)且解：解：例例例例6 6 7/22/20247/22/202442华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)定理定理定理定理 4 4 设有设有m 个函数个函数(i)(i) (ii)(iii)(iii)（初始条件）（初始条件）7/22/20247/22/202443华北科技学院基础

31、部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)则有如下结论成立：则有如下结论成立： (i) (i) 在在 P0 点的某一邻域内，由方程组点的某一邻域内，由方程组 7/22/20247/22/202444华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)(ii) (ii) 这一组函数这一组函数 f i 在在 内连续；内连续；(iii) (iii) 这一组函数这一组函数 f i 在在 内对各变量有连续偏导内对各变量有连续偏导数，数，且且7/22/20247/22/202445华北科技学院基础部华北科

32、技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)练习题练习题1.1.方程方程 在点在点 的的 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的连续、可微函数？两个变量的连续、可微函数？解答提示解答提示结论：结论：7/22/20247/22/202446华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)解答提示解答提示7/22/20247/22/202447华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)解答提示解答

33、提示7/22/20247/22/202448华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)F，G有连续的偏导数有连续的偏导数. .7/22/20247/22/202449华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)7/22/20247/22/202450华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)作 业 布 置:课本课本P231 P231 习题习题 2 2课外题：见下页课外题：见下页7/22/20247/22/202451华北科技学院基础部华北科技学院基础部16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)1.讨论讨论方程方程在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数2.2.讨论讨论方程组方程组在在点点的附近的附近能否确定能否确定形如形如 的的隐函数组隐函数组7/22/20247/22/202452华北科技学院基础部华北科技学院基础部