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1、第三章第三章第三章第三章 气体分子热运动速率气体分子热运动速率气体分子热运动速率气体分子热运动速率和能量的统计分布和能量的统计分布和能量的统计分布和能量的统计分布11 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律3 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布4 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理第三章第三章 气体分子热运动速率和能量的气体分子热运动速率和能量的 统计分布统计分布21 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律 一、速率分布函数一、速率分布函数 设总分子数设总分子数N，
2、速率区间，速率区间v v+dv内分子数内分子数 dN占总占总分子数的比率为：分子数的比率为：，其中：，其中： 速率分布函数：速率分布函数：表示分布在速率表示分布在速率v附近单位速率间附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。对处在一定温度下隔内的分子数占总分子数的比率。对处在一定温度下的气体，它只是速率的气体，它只是速率v的函数。的函数。3全部分子全部分子100%分布在分布在0整个速率范围内，故：整个速率范围内，故：归一化条件归一化条件在速率区间在速率区间v1v2内分子数占总分子数的比率为：内分子数占总分子数的比率为：4 二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律 在平衡状态下在平衡状态下
3、，分布在任一速率区间，分布在任一速率区间vv+dv内的分内的分子比率为：子比率为：即速率分布函数为：即速率分布函数为：5最概然速率最概然速率6f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2T1T2T37涨落现象：涨落现象：若统计平均值为若统计平均值为对于统计规律的偏离现象。对于统计规律的偏离现象。涨落百分数为：涨落百分数为：，涨落幅度为：，涨落幅度为： 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的系统才成立。麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的系统才成立。说具有某一确定速率的分子有多少，是没有意义的。说具有某一确定速率的分子有多少，是没有意义的。 必须强调的是，麦克斯韦速率分布律只适用
4、于平衡状必须强调的是，麦克斯韦速率分布律只适用于平衡状态。混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。态。混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。83、混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。、混合气体的每一组分分别满足麦克斯韦速率分布律。1、麦克斯韦速率分布律只适用于平衡状态。、麦克斯韦速率分布律只适用于平衡状态。2、适用于理想气体和非理想气体。、适用于理想气体和非理想气体。必须注意的是：必须注意的是：9 三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值求平均速率求平均速率求速率平方的平均值求速率平方的平均值10O三种速率三种速率11例：例：温度为温度为T的
5、混合理想气体由分子质量为的混合理想气体由分子质量为m1、物质、物质的量为的量为C1的分子及分子质量为的分子及分子质量为m2、物质的量为、物质的量为C2的分的分子所组成，试求：子所组成，试求： （1）它们的速率分布；）它们的速率分布； （2）平均速率）平均速率12 四、麦克斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律在平衡态下，在平衡态下，分子的速度分量限制在分子的速度分量限制在 内的分子数占总分子数的比率为：内的分子数占总分子数的比率为： 13速度分布律速度分布律速率分布律速率分布律速度分量的分布函数：速度分量的分布函数：同理同理14 五、误差函数五、误差函数 由于由于 ，速度的速度的x分量在分量在0
6、vx之间的分子数为：之间的分子数为：令令的值可查表的值可查表15泻流问题：泻流问题：用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位器壁上的气体分子数。用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位器壁上的气体分子数。设单位体积内分子数为设单位体积内分子数为n取器壁面积取器壁面积dA垂直垂直x轴。轴。单位体积内速度在单位体积内速度在vxvx+dv之间的分子数为：之间的分子数为：这些分子中在这些分子中在dt时间内能与时间内能与dA相碰的分子数为：相碰的分子数为：单位时间内碰到单位面积器壁上速度在单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vxvx+dv之间的分子数为：之间的分子数为：单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：单位时间
7、内碰到单位面积器壁的总分子数为：16泻流问题的应用泻流问题的应用同位素分离同位素分离质量越小越容易逸出容器质量越小越容易逸出容器238U（丰度（丰度99.3%）和）和235U（丰度（丰度0.7%） 需要经过数千级泻流，才能得到较纯的需要经过数千级泻流，才能得到较纯的235U 。容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量的可透过气体的小孔。容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量的可透过气体的小孔。 17泻流问题的应用泻流问题的应用热电子发射热电子发射在在dt时间内能与时间内能与dA相碰的分子数为：相碰的分子数为：热电子发射：电子由于热运动穿透表面势垒进入自由空间。热电子发射：电子由于热运动穿透表面势垒进
8、入自由空间。设表面逸出功为设表面逸出功为W电子在电子在x方向的速度方向的速度Vx必须满足：必须满足：，才能逸出。，才能逸出。则电子发射强度则电子发射强度Je为：为：这就是表示热电子发射强度的李查逊（这就是表示热电子发射强度的李查逊（Richardson）公式。）公式。 18六六、统计规律的涨落现象、统计规律的涨落现象 1、统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，、统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律，是以动力学规律为基础的。是以动力学规律为基础的。2、大量偶然现象表现出来的统计规律具有稳定性。、大量偶然现象表现出来的统计规律具有稳定性。3、统计规律永远伴随着涨落。、统计规律永远伴随着涨落
9、。192 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律一、葛正权实验一、葛正权实验 圆筒转动，分子束的圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在速率不同的分子将射在不同位置。不同位置。通过测量通过测量Bi层厚层厚度即可验证度即可验证Mazwell速率分速率分布律布律20二、密勒和库士实验二、密勒和库士实验213 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布重力场中微粒按高度的分布一、玻尔兹曼分布律一、玻尔兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中 系统在力场中处于平衡状态时，满足系统在力场中处于平衡状态时，满足玻
10、尔兹曼分布律：玻尔兹曼分布律：气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk/ )(230)2(eep+-= 其中，其中，n0表示势能表示势能p p为零处单位体积内具有各种为零处单位体积内具有各种速度的分子总数。速度的分子总数。22 若将玻尔兹曼分布律对所有速率积分，并考虑若将玻尔兹曼分布律对所有速率积分，并考虑Maxwell分布律的归一化条件，可得：分布律的归一化条件，可得： 表示分布在坐标区间表示分布在坐标区间xx+dx，yy+dy，zz+dz内单内单位体积的分子数。位体积的分子数。常用形式常用形式 玻尔兹曼分布律是一个
11、普遍规律，对平衡状态下任玻尔兹曼分布律是一个普遍规律，对平衡状态下任何物质的微粒在任何保守力场中运动的情形都成立何物质的微粒在任何保守力场中运动的情形都成立23二、重力场中微粒按高度的分布二、重力场中微粒按高度的分布 设设z=0处单位体积内的分子数为处单位体积内的分子数为n0，则在高度为，则在高度为z处体处体积元积元dxdydz内的分子数为：内的分子数为：因此，分布在因此，分布在z处单位体积内的分子数为：处单位体积内的分子数为：n随随m、z的增大而减小，的增大而减小，随随T的增大而增大。的增大而增大。oz24气体压强随高度的变化规律：气体压强随高度的变化规律：等温气压公式等温气压公式两边取对数
12、，可得：两边取对数，可得： 由上式，测得气压即可算出高度。大气温度是随高度由上式，测得气压即可算出高度。大气温度是随高度变化的，因此用于估算大气压强的时候只适用于高度差变化的，因此用于估算大气压强的时候只适用于高度差不大的范围内。不大的范围内。25珠峰珠峰8848m拉萨拉萨3600m兰州兰州1500m榆中榆中1750m例例：估算兰州、榆中、拉萨、珠峰的大气压。：估算兰州、榆中、拉萨、珠峰的大气压。M=0.029kg/molT=300K264 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度的概念一、自由度的概念质心质心+绕质心的转动绕质心的转动平动平动-以质心运动为代表以质心运动为代表转动转
13、动-确定转轴确定转轴 -绕转轴绕转轴 振动振动-非刚性分子才考非刚性分子才考虑虑自由度自由度：决定一个物体位置所需要的独立坐标数。：决定一个物体位置所需要的独立坐标数。27长度不变的细杆在平面内运动长度不变的细杆在平面内运动t=2, r=1一个弯成三角形的金属棒在空间的运动一个弯成三角形的金属棒在空间的运动t=3, r=3在一个平面上滑动并围绕垂直于该平面的轴转动的在一个平面上滑动并围绕垂直于该平面的轴转动的硬币硬币t=2, r=1举例：举例：29二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 在温度为在温度为T的平衡状态下，物质（气体、液体、的平衡状
14、态下，物质（气体、液体、固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小为其大小为 。30必须注意：必须注意：3、能均分定理是对大量分子统计平均的结果。、能均分定理是对大量分子统计平均的结果。2、单个分子能量不一定按自由度均分。、单个分子能量不一定按自由度均分。4、能量按自由度均分是通过碰撞实现的。、能量按自由度均分是通过碰撞实现的。1、能均分定理只适用于平衡态。、能均分定理只适用于平衡态。由能均分定理可知由能均分定理可知分子平均总动能分子平均总动能为：为： 由振动学可知，简谐振动一个周期内平均动能和平由振动学可知，简谐振动一个周期内平均动能和
15、平均势能相等，因此，均势能相等，因此，分子平均总能量分子平均总能量为：为：31三、理想气体的内能三、理想气体的内能动能动能分子内振动势能分子内振动势能分子间势能分子间势能理想气体内能理想气体内能气体内能气体内能 =+动能动能分子内振动势能分子内振动势能=+质量为质量为m的理想气体内能为：的理想气体内能为：对于对于1mol理想气体：理想气体：单原子分子：单原子分子：双原子分子：双原子分子：只与自由度只与自由度和温度有关和温度有关32例例：水分解为同温度的氢气和氧气，内能增加百：水分解为同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？（不计振动自由度）分之几？（不计振动自由度）H2、O2自由度数为：自由度数
16、为：t=3，r=2H2O自由度数为：自由度数为： t=3，r=32H2O2H2+O233四、理想气体的热容四、理想气体的热容热容热容：温度升高：温度升高/降低降低1物体所吸收物体所吸收/放出的热量。放出的热量。摩尔热容摩尔热容：1mol物质温度升高物质温度升高/降低降低1所吸收所吸收/放出的热量。放出的热量。（c为比容）为比容）（M为摩尔质量）为摩尔质量）等容过程：等容过程：等压过程：等压过程：吸收热量吸收热量内能内能吸收热量吸收热量内能内能对外做功对外做功故定压热容比定容热容大，即：故定压热容比定容热容大，即：34理想气体摩尔定容热容量：理想气体摩尔定容热容量： 对于对于1mol理想气体，定
17、容情况下，吸收热量理想气体，定容情况下，吸收热量dQ，温度上升，温度上升dT，则定容摩尔热容量为：，则定容摩尔热容量为：定容过程气体吸收热量全部转化为内能，故：定容过程气体吸收热量全部转化为内能，故：1mol理想气体内能为：理想气体内能为：，因此：，因此：只与自由度有关只与自由度有关单原子分子气体：单原子分子气体：双原子分子气体：双原子分子气体：35五、经典理论的缺陷五、经典理论的缺陷一切双原子分子一切双原子分子CV,m相同相同CV,m与温度无关与温度无关根据经典理论：根据经典理论： 理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量连续分
18、布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。振动能级：振动能级：转动能级：转动能级：上千上千K才开始有影响才开始有影响几十几十K才开始有影响才开始有影响36例：在不太高的温度下，质量例：在不太高的温度下，质量4.4克的二氧化克的二氧化碳和碳和7克的氮气相互混合，求混合气体的定容克的氮气相互混合，求混合气体的定容摩尔热容量。摩尔热容量。判断正误：两种理想气体，温度相等，则：判断正误：两种理想气体，温度相等，则：（1 1）内能必然相等）内能必然相等（2 2）分子的平均能量必然相等）分子的平均能量必然相等（3 3）分子的平均动能必然相等）分子的平均动能必然相等 （4 4）分子的平均平动动能必然相等）分子的平均平动动能必然相等 37Ludwig Edward Boltzmann 1844 -1906James Clerk Maxwell1831 -1879 38作业：作业：1、5、9、10、11、12、13、14、21、25、28、3039
