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1、n n一 定积分的概念n n二 定积分的简单性质n n三 定积分的计算n n四 定积分的应用n n五 广义积分和函数 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用背景来源面积的计算！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积？一般图形的面积是什么我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分5.1.15.1.1两个实际问题两个实际问题1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积5.1.1 定积分的概念 解决步骤解决
2、步骤解决步骤解决步骤 : :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 3) 求和求和求和求和. .4) 取极限取极限. 令则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点i3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替4、作和：S=yx1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个
3、小区间上任取一点i3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替4、作和：S=5、取极限 a byx2. 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 分割分割.将它分成在每个小段上物体经2) 近似近似.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为3) 3) 求和求和求和求和. .4) 取极限取极限 .上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的
4、极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.1.2 定积分概念定积分概念任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可可积积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义: :曲边梯形面积曲边梯形面积的负值机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.可积的充分条件可积的充分条件可积的充分
5、条件可积的充分条件: :例例1. 利用定义计算定积分解解: 将 0,1 n 等分, 分点为取机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质1 常数因子可提到积分号外常数因子可提到积分号外性质性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。函数代数和的积分等于它们积分的代数和。5.2 定积分的简单性质性质性质3 若在区间若在区间 a , b 上上 f (x)K，则则性质性质4 定积分的区间可加性定积分的区间可加性 若若 c 是是 a , b 内的任一点，则内的任一点，则当当 a ,a , b , cb , c 的相对位置任意时的相对位置任意时, , 例例如如则有机动
6、 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质5 如果在区间如果在区间 a , b 上上 ，f (x) g (x)，则则性质性质6 设在区间设在区间 a , b 上上 （ab），），函数函数 f (x) 的最大值的最大值 和最小值分别是和最小值分别是 M 和和 m，则则性质性质7 积分中值定理积分中值定理 定理：设函数定理：设函数 f (x)在闭区间在闭区间 a , b 上连续，上连续， 则在则在 a , b 上至少存在一点上至少存在一点 使使或可写作或可写作称为函数称为函数 f (x) 在在 a , b 上的上的平均值平均值一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物
7、体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .5.3 定积分的计算则积分上限函数证证:则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 若5.3.1 牛顿牛顿 莱布尼兹公莱布尼兹公式式( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理 1,故因此得记作记作定理定理2.函数 , 则例例例例1.1. 计算计算解解:例例2. 计算正弦曲线的面积 . 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积
8、分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法5.3.2 定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 定理定理2 （定积分的换元公式）（定积分的换元公式） 设函数设函数 f (x)在在区间区间 a , b 上上连续；函数连续；函数 在在 上单值且有连续导数；当上单值且有连续导数；当 时，有时，有 ，且，且 则则例例例例1.1. 计算计算解解: 令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 且例例例例2.2. 计算计算解解: 令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 例例例例3.3.证证:(1) 若(2) 若偶倍奇零偶倍奇零机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 （定积分的分部积分
9、公式）（定积分的分部积分公式） 设函数设函数 u (x) , v (x) 在在 a , b 上有上有连续导数，连续导数，则则例例例例4.4. 计算计算解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1. 设设求解解:(分部积分分部积分)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：2.2.右端试证分部积分积分再次分部积分= 左端机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 f (x)在区间-1, 2上不连续。利用定积分性质4，把在区间-1, 2上的积分分成两个区间-1, 0和0, 2上的积分。 3 计算 其中 注意 在积分 中，相当于定义 f (0) = 1，而题中 f (0) = 0 ，这
10、并不会改变定积分的值。实际上可以证明，改变被积函数在有限个点上的值都不会改变定积分的值。 解解 方程 x22x3 = 0有两个实根1和 3 ，根据一元二次不等式的判别，函数 x22x3 = 0在-2, 3上分为两部分，在-2, -1取正值，在-1, 3上取负值，所以 4 计算于是 5 设 求解解用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 5.3 定积分的应用定积分应用的微元法定积分应用的微元法： 微元法中微元的两点说明：微元法中微元的两点说明： 例例例例1.1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由得交点5.4.1平面图形的面积
11、1 直角坐标系中平面图形的面积例例例例2.2. 计算抛物线计算抛物线与直线的面积 . 解解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例3. 3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页曲边扇形面积元素曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式3. 3. 极坐标方程的情形极坐标方程的情形首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解解由对称性知，总面积由对称性知，总面积=
12、第一象限部分面积的第一象限部分面积的4倍。倍。对应 从 0 变例例例例4. 4. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到 2 所围图形面积 . 例例例例5. 5. 计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)心形线 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例6.6. 求双纽线求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 旋转体旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直由
13、一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积5.4.2旋转体的体积例例例例7.7. 计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 利用直角坐标方程则(利用对称性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.4.3 5.4.3 变力作功变力作功变力作功变力作功 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分5.6 广义积分
14、和函数 第五五章 5.6.1 广义积分广义积分引例引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 1 连续函数在无限区间上的积分连续函数在无限区间上的积分定义定义定义定义1.1. 设设若存在 , 则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分, 记作这时称广义积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称广义积分发散 .类似地 , 若则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该广义积分发散 .引入记号则有类似牛 莱公式的
15、计算表达式 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算广义积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 分析分析:原积分发散 !注意注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例例例例2.2. 计算广义积分计算广义积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、暇积分、暇积分无界函数的积分无界函数的积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义定义定义2.2. 设设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称暇积分收敛 ; 如果上述极限不
16、存在,就称暇积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 （a , b 上的暇积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 而在点 c 的无界点常称邻域内无界 ,为瑕点瑕点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义下述解法是否正确: , 积分收敛例例例例3.3. 计算暇积分计算暇积分解解: 显然瑕点为 a , 所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 讨论暇积分的收敛性 . 解解:所以暇积分发散 .5.6.2、 函数函数1. 定义定义2. 2. 性质性质性质性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (分部积分)注意到:(2(2) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 例1 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2 2：若若解解: 令试证 :则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束
