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1、华北电力大学华北电力大学第第3 3章章 非稳态导热非稳态导热非周期性非周期性( (瞬态的）瞬态的）周期性周期性一、非稳态导热的分类一、非稳态导热的分类知识回顾知识回顾温度场随时间变化特点温度场随时间变化特点温度场随空间变化特点温度场随空间变化特点二维二维零维零维一维一维三维三维藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学二、特点二、特点(以非周期性的为例以非周期性的为例)导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。如果平壁左侧有如果平壁左侧有恒定的热流恒定的热流q加热，加热，平壁内温度如何平壁内温度如何变化？变化？初始温度均匀为初始温度均
2、匀为t0，左侧突然升温至左侧突然升温至t1.藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学无限大平板内的温度分布如图所示，试分析无限大平板内的温度分布如图所示，试分析（1 1）如果大平板为稳态无内热源导热，）如果大平板为稳态无内热源导热，（2 2）如果大平板为常物性无内热源导热）如果大平板为常物性无内热源导热, ,（3 3）如果大平板为常物性稳态导热，）如果大平板为常物性稳态导热，导热系数随温度如何变化？导热系数随温度如何变化？则该大平板是加热过程还是冷却过程？则该大平板是加热过程还是冷却过程？则其内热源为正还是负？则其内热源为正还是负？藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学三、第三类边界下非稳态
3、导热的定性分析三、第三类边界下非稳态导热的定性分析 藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学毕渥准则数毕渥准则数(1) 当当 Bi 时，意味着表面时，意味着表面传热系数传热系数 h （Bi=h / ），对流换热热阻趋于），对流换热热阻趋于0。平壁。平壁的表面温度几乎从冷却过程一的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度开始，就立刻降到流体温度 t 。式中式中l为特征尺度为特征尺度藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学(2) 当当Bi0时，意味着物体的导时，意味着物体的导热系数很大、导热热阻热系数很大、导热热阻 0（Bi=h / ）。任何时间物体）。任何时间物体内的温度分布都趋于均匀一
4、致。内的温度分布都趋于均匀一致。(3) 当当0Bit。物物性参数为常量。性参数为常量。1、导热数学描述及求解、导热数学描述及求解体积为体积为V表面积为表面积为A物性物性 , , , , c初始温度初始温度t0流体温度流体温度t表面换热系数表面换热系数h藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学能量守恒方程式能量守恒方程式如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，分离变量得分离变量得藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学从从0到任意时刻到任意时刻 积分积分上式中右端的指数可作如下变化上式中右端的指数可作如下变化式中式中BiV V是特征尺度是特征尺度l用用V/
5、AV/A表示的毕渥数。表示的毕渥数。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学导热体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量，即散热量内传给流体的总热量，即散热量称为傅立叶数称为傅立叶数同样同样FoV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的傅里叶数。表示的傅里叶数。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学2.2.符合集总体的判别条件符合集总体的判别条件 对于厚为对于厚为22的平板：的平板： M=1半径为半径为R R的圆柱：的圆柱： M=1/2半径为半径为R R的球的球： M=1/322R RR R藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 如果导热体的热容量如果导热体的热容量（ Vc ）
6、小、换热条件好）小、换热条件好（hA大），那么时间常数大），那么时间常数 ( Vc / hA) 小，导热体的温小，导热体的温度变化快。度变化快。3 3、时间常数、时间常数流体流体热电偶接点热电偶接点管道管道藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。所需要的。热电偶时间常数热电偶时间常数热惰性级别热惰性级别时间常数（秒）时间常数（秒）901803090103010藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学练习练习 一厨师在
7、炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从从100100的的热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至待其降至6565时再放入口中。试估算厨师需要吹多时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm2mm的圆条，的圆条，厨师口中吹出的气流温度为厨师口中吹出的气流温度为3030，其与鸡肉丝之间，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为的表面传热系数为100W/(m100W/(m2 2K),K),鸡肉丝的密度为鸡肉丝的密度为810kg/m810kg/m3 3，比热容为，比热容为
8、3350J/(kgK)3350J/(kgK)，导热系数，导热系数1.1W/(mK)1.1W/(mK)。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学三、环境温度线性变化三、环境温度线性变化积分得积分得该问题的数学描述为（能量方程）该问题的数学描述为（能量方程）随时间按指数规律衰减随时间按指数规律衰减随时间线性变化随时间线性变化藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学四、环境温度按简谐波变化四、环境温度按简谐波变化( 周期性变化）周期性变化）数学描述（能量方程）数学描述（能量方程）藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学解为：解为：其中：其中：随时间按指数规律衰
9、减随时间按指数规律衰减随时间周期性变化随时间周期性变化藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学一、无限大平壁的分析解一、无限大平壁的分析解 厚厚度度 2 的的无无限限大大平平壁壁， 、a为为已已知知常常数数， =0时时温温度度为为 t0， 突突然然将将其其放放置置于于两两侧侧介介质质温温度度为为 t 并并保保持持不不变变的的流流体体中中，两两侧侧表表面面与与介介质质之间的表面传热系数为之间的表面传热系数为h。 1. 问题描述问题描述2h, th, t3-2 3-2 有限厚度物体的非稳态导热有限厚度物体的非稳态导热藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学2
10、、数学描述、数学描述 由由于于平平板板温温度度场场对对称称，因因此此只只取取平平板板的的一一半半进进行行研研究究，以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学傅里叶数傅里叶数无量纲时间无量纲时间无量纲距离无量纲距离毕渥数毕渥数表示内部导热热阻与表表示内部导热热阻与表面对流换热热阻相对大小面对流换热热阻相对大小3.3.解的结果（分离变量法）解的结果（分离变量法）藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大
11、学 计算表明，当傅里叶数计算表明，当傅里叶数Fo 0.2（0.5）后，对于）后，对于公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。二、非稳态导热的正规（正常）状况阶段二、非稳态导热的正规（正常）状况阶段藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 对于无限大平板按如下公式和图计算。对于无限大平板按如下公式和图计算。三、正规状况阶段的实用计算方法三、正规状况阶段的实用计算方法1.1.采用近似拟合公式采用近似拟合公式 见相关文献见相关文献2.2.线算图法线算图法- -海斯勒图海斯勒图 平板中心的过余温度平板中心的过余温度藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学
12、几何形状几何形状A平板平板圆柱圆柱球球藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学无限大平板中心无量纲过余温度曲线无限大平板中心无量纲过余温度曲线藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学无无限限大大平平板板无无量量纲纲过过余温度曲线余温度曲线四、无限长圆柱四、无限长圆柱过程类似过程类似图线类似图线类似藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学四、乘积解四、乘积解 在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及热分析解的组合求得。无限
13、长方柱体、短圆柱体及短方柱体就是这类典型几何形状的例子。短方柱体就是这类典型几何形状的例子。 藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无限大平壁垂直相交而成无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六；短方柱体（或称垂直六面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学对于短圆柱体对于短圆柱体 对于无限长方柱体对于无限长方柱体对于短方柱体对于短方柱体无量纲过
14、余温度乘积解无量纲过余温度乘积解藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 对于厚度为对于厚度为2 21 1的大平壁，数学描述为的大平壁，数学描述为对于厚度为对于厚度为2 22 2的大平壁，数学描述为的大平壁，数学描述为藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学1 1证明证明满足导热微分方程满足导热微分方程2 2证明证明满足初始条件满足初始条件3 3证明证明满足边界条件满足边界条件藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学3-3 3-3 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热一、半无限大物体概述一、半无限大物体概述所所谓谓半半无无限限大大物物体体，几
15、几何何上上是是指指如如图图所所示示的的那那样样的的物物体体，其其特特点点是是从从x=0的的界界面面开开始始可可以以向向x正正的的方方向向及及其其它它两两个个坐坐标标(y,z)方方向向无无限限延延伸伸。半半无无限限大大物体是非稳态导热的特有概念。物体是非稳态导热的特有概念。0xzy藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题 一个半无限大物体一个半无限大物体, 初始温度均匀为初始温度均匀为t0 ，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw ，并保，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的
16、变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。 藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学 一个半无限大物体一个半无限大物体, 初始温度均匀为初始温度均匀为t0 ，在，在 =0 时刻，在时刻，在x=0的一的一 侧表面温度突然升高到侧表面温度突然升高到tw ，并保，并保持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。 二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学0x二、相似性变换法二、相似性变换法求解求解给定壁温问题给定壁温问题相似变化法的基本思路：通过相似变化法的基本思路：通过对微分方程的自变
17、量进行变换，对微分方程的自变量进行变换，来减少自变量的个数，所找到来减少自变量的个数，所找到的新的变换的变量称之为相似的新的变换的变量称之为相似性变量。性变量。优点：减少自变量个数，偏微优点：减少自变量个数，偏微分方程变换成常微分方程，求分方程变换成常微分方程，求解方便。解方便。缺点：应用条件苛刻。缺点：应用条件苛刻。 相似变化依赖经验。相似变化依赖经验。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学原原来来的的数数学学描描述述变变换为：换为：通解为：通解为：藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学代代入入定定解解条件可得：条件可得：通解为：通解为：再积分得：
18、再积分得：藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学当当=2时时 ，当，当 ,该该x处的温度仍保持初始温度处的温度仍保持初始温度. .对于一块初始温度均匀厚度为对于一块初始温度均匀厚度为的平板，当其中一个的平板，当其中一个侧面的温度突然变化到某一恒定温度时，如果侧面的温度突然变化到某一恒定温度时，如果则在则在时刻之前该平板的非稳态导热过程可以采用半时刻之前该平板的非稳态导热过程可以采用半无限大物体模型处理。无限大物体模型处理。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学据此可求得据此可求得任意位置任意时刻的热流密度任意位置任意时刻的热流密度 壁面处的热流密度壁
19、面处的热流密度如果半无限大物体为第二类或第三类边界条件，温如果半无限大物体为第二类或第三类边界条件，温度分布如何？度分布如何？藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学练习练习 如果受冷空气侵袭，初始处于如果受冷空气侵袭，初始处于20的均匀温的均匀温度的土壤，地表突然降至度的土壤，地表突然降至-15并保持不变，试确并保持不变，试确定地下定地下1m处温度降到处温度降到0需要多长时间？需要多长时间？藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学三、积分方程求解三、积分方程求解 是一种近似求解的方法，有两种方法得到积分方程。是一种近似求解的方法，有两种方法得到积分方程。1.1.导热积分方程导热积分方程对微分
20、方程对微分方程 在热扰动还未涉及的一在热扰动还未涉及的一定厚度内积分。定厚度内积分。藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学由含参变量的积分的求导法则由含参变量的积分的求导法则得到一维非稳态导热积分方程的一般形式为得到一维非稳态导热积分方程的一般形式为藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学如果由能量守恒出发如果由能量守恒出发 对于单位面积对于单位面积内能增量内能增量= =边界上导入的热量边界上导入的热量藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学2.2.积分方程的求解积分方程的求解由边界条件由边界条件代入积分方程代入积分方程藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学由初始条件由初始条件藤蔓课堂藤蔓课堂华北电力大学华北电力大学因此可得边界上的热流密度为因此可得边界上的热流密度为该近似解给出的边界热流密度比精确解偏高该近似解给出的边界热流密度比精确解偏高2.3%2.3%。如果假设其他形式的温度分布表达式还可以得到如果假设其他形式的温度分布表达式还可以得到其他的解的结果。其他的解的结果。藤蔓课堂藤蔓课堂
