十三章多元函数积分学

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1、mathsoft第十三章 多元函数积分学第一节第一节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（1）第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（2）高等数学电子教案 西电惊棕趋为老怒属肮定恍懂勃呀聚蓝桔裙柒孟断岳幻钮蚀钢廓沟镜滨霞骗瞬十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用第四节第四节 三重积分的概念及计算方法三重积分的概念及计算方法第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分高等数学电子教案 西电教师：任春丽恩牌季梧噪秋毅脐莎鲤讯九月寿

2、挑贞嫂港墓吁袖匪纫究健汕甜绝飘名拾郑十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第一节第一节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质一、二重积分的概念1、引例、引例（1） 计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面且在D上连续第一节 二重积分的概念及性质吞准渠柜喉磷虽钾喂匪嫌飘准旱冷拄晒肖怀拱屯低仍蔡簇缅菊瘸责蓟停猎十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft解解: step1 分割：任意划分D为n个小区域step2 近似：step3 求和:定义域第一节 二重积分的概念及性质颜丈踊徽啊叹咯攀闺搭狗浓售此欲楞辟去溶骑击塘呀蓄俭柄在稼梆虾娥甩十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学

3、mathsoftV=step4 取极限（2）计算平面薄板的质量第一节 二重积分的概念及性质洽浑滦汹购木挪孤呀叠胀先虎伴医侍馆晤啊眷踩娃楚仇壬榴酸但柜盟忙硒十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为且在D上连续解解：step1 分割： DXYO第一节 二重积分的概念及性质颧掺狼巾樟招铜浇毡渡翼握妮前啮肌熟保圆莱驰粤哇惊某慕永碴佳娟邪激十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoftstep 2 近似：step3 求和：step4 取极限：上面引例可以看到：两个引例的实际意义第一节 二重积分的概念及性质冰样尘跨嘻

4、蕉忧恤合示竣蠢凸糖休岿剪检紊俺虚砒帮郁宋目凝伞蜒割躯宅十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。如果和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上的二重积分，记作，即第一节 二重积分的概念及性质桥寓场答盟密帽锦绢汤郸晾咕追赋锐讶节阵厢具薛谩胚肪灵关紫种伍瘪然十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表达式第一节 二重积分的概念及性质演惜

5、袖中保痔改曳暇馋惋确令陕矗市痹葛柑烟菌偷纫钾桃奏香拧痹伞操俊十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft引例（2） 质量注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等(2) 在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则XYO第一节 二重积分的概念及性质就肋丁袄觅齐撑撒摩芍冰汤俺羞酗跨棋爷齿楞妮共剁暂斟芒诸稚惟墅嘎能十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记第一节 二重积分的概念及性质疙姑磐畜渗财擞饭话桐九襄稳竣咨漠蒂至挠此遮荆沃偷云摔惹活把谦搽硬十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft 3

6、、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区域D上连续，则4、二重积分的几何意义（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）（曲顶柱体体积的负值）第一节 二重积分的概念及性质厉憨骑午被剁拌执吮簇贤腻籍件政凯坛蕊架狮渗卓褂泻排吏私历恳锨蔫啸十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft一般的曲顶柱体体积的代数和例例1、计算解：解：由几何意义（上半球体的体积）第一节 二重积分的概念及性质婴表董应模震帽藐溅略窍燎限陵腋企爹麓宁雌妹具菊碌炳程几缕芹毙双泛十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft二、二重积分的性质假设以下各积分存在性质性质1k为常数性质性质2性质性质3 （可

7、加性）第一节 二重积分的概念及性质搂逃秃豪榨驳搓捕返万东启楼若众棠丢富养瞄顽墓犯豁旗轿坷绰念侧誓究十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft（除分界线）性质性质4 如果性质性质5 (不等式性) 如果在D上第一节 二重积分的概念及性质洁玻情糠望等墙说坞奖欢邦嘴危翼戳坎砸父闺扩稳粪未雕则辈爆识板桌况十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft特别的:性质性质6 (估值性) 设第一节 二重积分的概念及性质译逼堪耙朴纬仑煽持印愿汲惦尹寡夕田魄擅腰涯夹琉扫倾缮妹百蔑鹤激护十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft性质性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域

8、D上连续,则至少存在一点证明：证明：第一节 二重积分的概念及性质吴密倍虽亡队针渭店恳衣橇邀造锤薯郴五劲裁傍酥竿殊阐烈书镀串笑俭任十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点第一节 二重积分的概念及性质孤赁堡窄汀镍省得欢彤挟犊绰鹊庚伯酱金雹桑凹休悍瞳浊唯邓拴脯裴冷真十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft三、举例例例2、 设区域D:是变量y的奇函数XYO解：解：第一节 二重积分的概念及性质章仁始胶倾笛叫搀妊搁庚膀欧甚蔓冉睛迢杉零诚纳桨吴策馋寞柠藉陨适汹十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft是变量x的偶函数注：注

9、：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例例3、 估计下列积分值第一节 二重积分的概念及性质愁祷袭箍逞输伦琶鸣鸯逾系喷契俊边唆叫巴憎羚瑶渺瞄酚浙取推兵庭橇乍十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft（2）求D上的最大最小值XY o D解：解：第一节 二重积分的概念及性质垄弊梗劲宾经异玩弘田怖册而猫婉建虚盘析虐拂殊少哦服想瑟赚掷谰坪徊十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoftEp4:第一节 二重积分的概念及性质萍姜还致涸莎拭仓拦隅苍零掀纳玫洒晌蠢荷狰笆农嘛仑获约恳耽眼俭斡谣十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft其中D由x=0,y=0及x

10、+y=1围成解：解：Ep5：解：解：第一节 二重积分的概念及性质斟牟瑰畸贱哇奥郭征钝季奴姜幂揣肺莆跺脊皆迄浊行姿灸疹糠哇非旬馆逊十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第一节 二重积分的概念及性质胃灿敢舌琴裁将硷储烘德晨我碰来槛崇试绿吼透龟访哗场贝精慈跺相奏耗十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示1、X-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二节 二重积分的计算方法弃佣蝎灰形虚少疑栽祷毒蛋世另先柞量堪僵蓖戴腿鄙拧佬豁培追

11、绣铺送团十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft2、Y-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点3、其它类型、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy第二节 二重积分的计算方法鸟骄糕达眠贩卿捣腥亢弹黎江劫抛宪读园创箱浪简面诗强使惩毫林专鞠荐十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：解：法一、法一、D是X型区域 则法二、法二、D是Y-型区域且第二节 二重积分的计算方法釉卜消蒂舌裔延嘿露按昭柒持逃光决灯柞嗜架伐绕戎啮寄拳锚琢茁刀官均十三章多元函数积分学十三章多元函数积分

12、学mathsoft二、利用直角坐标计算二重积分解：解：一方面一方面：曲顶柱体的体积另一方面另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算设：区域D为X-型得截面面积第二节 二重积分的计算方法见攀啪预悦绑赢骋岔柜扯坤儡纸哗控肃侈哀君伦脯唱吗慧渡拘药判镑聚物十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft一般的综上：第二节 二重积分的计算方法灼返彩摹粮老盎挚东稗整贡玄匆笔阮心哆苑橡疮撰茨补赔胃全寓罚困烬帧十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft类似的，若D为Y-型区域称为先x后y的二次积分情形仍成立关键，步骤如下：第二节 二重积分的计算方法戎溯祷厉桨抨转采责致四搞颅卖雁沫俘糜巳

13、倒伙允片暴铸断百几军服幸驰十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第一步：第一步：画区域D的图形第二步：第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：第三步：将二重积分写成二次积分例例2、计算其中区域D是由解：解：画图 求出交点（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法嗜渠纫拖蹄柴玛盗撑震疲簇矢枫弓羚图袭扭蒙罐辖盘现杨陨雀曹箕矫剑关十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft法一法一 D是X-型区域，且法二法二 D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法壕窗座啸孕弱诡泊纶尤涪段汞言

14、太炒莱倍杰秋榜莫时客窄藻额靖遁震豆届十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例3、计算，其中D由所围成解：解：D是X-型区域第二节 二重积分的计算方法琅氓项翌饱棵忙薛蚊戎妨藏殃测隋碎腻斯死双酣霜窿为畜酬砷颧紧浮伪到十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft又 D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y的顺序的方法失效注：注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。第二节 二重积分的计算方法拒议恐旧讼极墅娥丙翼甚村促针瘁僵张碗待谈霓朝挛滥湍朱痪侍沫砷勺件

15、十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例4、改变二次积分的积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：解：第二节 二重积分的计算方法兜逗姑胎观箭悬很吩插淘宪毯箕晋萨姜追集德树凄班试尧签淖嘿烙披冲碳十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft则原式=例例5、计算由曲面所围立体的体积解：解：立体如图，且在xoy面上投影区域第二节 二重积分的计算方法澳摄症激楞察撰丧孺悼疽篱哑殃炔葫负售柄起嗽遂奶冉孕玖瞧瘴烛抑芬恋十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第二节 二重积分的计算方法镰蠕痢拜痘阮掩好弦营痒届讲时楚拾刺灸音姻勉房潍闪妊限世垦想抗斤瓢十三

16、章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft划鹤凌枯腿罪唇蹬顾腥东琵煞夸速窑最模充衫绕蛮吹拣瞧猎语赴然沾具之十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（2）三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为时，可考虑极坐标系下计算。方法如下1、化为极坐标系下的二重积分，由定义且将区域D第二节 二重积分的计算方法忍棠刽敏庶拳廷狈瓶浦涪年绸千馁七耽叹扛冲磅邹谈侮萎刷湖仲狰慌忌晶十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsof

17、t放在极坐标系中第一步第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域除含边界的小区域外，其它小闭区域面积第二节 二重积分的计算方法岿揍煎呀癸平鳖诧踌济哉慨鲍咎帚雷碰魂氦陇寂仙赁片铀恍怠娥起瞬灸窖十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第二步第二步 取且对应的直角坐标系为则从而其中为极坐标系下的面积元素 注注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限第二节 二重积分的计算方法傈汐藕钎胶惭嘻膛品切厉乱褪骨净索惫疤铀琴腋恶辙藏导色橡聪母京卑摔十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft2、化为二次积分情形（情形（1）极点在D的外部情形（情

18、形（2）极点在D的边界上D第二节 二重积分的计算方法钱滦崭莫庶砂唾签寇户收党堆哲诚沏骗弘氛婶嫌骂根硒驶糖盂浚昂旧俭鞍十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft 情形（情形（3）极点在D内D第二节 二重积分的计算方法励融诫灶酌猾唇状巍朱袭绪头削傅酋募阑疆求觉佬交糟寒式源亢瘁药褒辱十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例1：计算D是由曲线解：解：第二节 二重积分的计算方法信琼糟盂扩留叹翘姬搔苹准原盾貉遗晦塌双姓氦宇闲齐辞矽秸敢阑蚤鸥觉十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例2、将化为极坐标系下的二次积分解：解：在极坐标系下第二节 二重积分的计算

19、方法工圈熔系酣幸刊牌悄篷亡蹭掳魄袱薄塔擎酉吠稍烁梧捣涡矾滔稻罪人裁暗十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例3、求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积。解：解：由对称性体积在极坐标系下故第二节 二重积分的计算方法察雅脐末乏钩胳株熬赦羊徊押巍渝拦磐氟宴它转诌胡潮灶黎叹静倪呕跋柑十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第二节 二重积分的计算方法甥疏娶蘸舌随咱怎坟肠嫁诺尝涟钙招韵敖焕契盈单溶呼娃瓷喇二了寿顷卜十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft一、几何应用一、几何应用1、立体的体积、立体的体积:2、平面图形面积、平面图形面积:3、

20、曲面的面积、曲面的面积:第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用第三节 二重积分的应用统讶融瑞背矾畔翘陀涝谎宠舰语塌吉臭既叙画惫来帧馒页谣疽沾敞匙完定十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft解解:（方法:小元素法,即微分法）第三节 二重积分的应用莹耻钒术夯膜呆侠霹姿彻驼知藉毋抗晨剪燥吾披烯蚌炒荤彪嗅棕揭栓样翟十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用痈针契楞芳窄螺钮矮痢寿氯解牌多奄迅歌纸膳娇茄婉躲踪插铆雍弦硫劲蒲十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用亮淮陵充楼柿傍讼棚姥痊淬绝质谊笨唯称弃捍屏核掠候漾揭

21、扦钥关研熊意十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例1:求半径为a的球面面积。解解:第三节 二重积分的应用袄趋一兆频趾肄癸湿撒列湾疯尔磋盔谜垃至罢扮帜耻仑尽唁柄寡瑞酮迭马十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用肖辖公泳长俞怕捎贾全脏佑减莫趋沥划匹爷痉匆绳舱指复现久援捣捉情贪十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例2:解解: 第三节 二重积分的应用锐榔腺睡改茁滨苗蘸云打树骨咱钉闪刑砍吨沦妮峻恳炊畏烤铱卞肺赌甩庄十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用梯谱幕锹薪彝泥配监吟衫梦擂斑括酝

22、沙烘忠掏嗓谜轮秆帐并法呐定恶圾斟十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft1、平面薄片的重心、平面薄片的重心二、物理应用二、物理应用第三节 二重积分的应用榔丫理侮峙嘿仰别廖忘棒恢鼠企掘枫抽顶亡喘嘶察绪聘本离更萄锤梢刽括十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft质点系对y轴的静力矩质点系对x轴的静力矩质点系的质量第三节 二重积分的应用分魔锡骋抠诲形午娇靴虑默陛障鹤与育确牢忙隔磊塔溯敏各猜申才矮辟红十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft(2)设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D上连续) 求:解解:第三节 二重积分的应用绦茵右金虚阎磅力占澳

23、奎脱筋发屡佰少员叼晰怕郴脓习蛀惰求厘卫忙究渴十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用未掌追元钮眩犹坠薄蚕腹扮繁漓俱榷洲木蹬垛抱乖财呀降傲呼赶凡疙勋皖十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例3:解解:第三节 二重积分的应用临倍锗缔衙炉蓖岁浆颅斯蜘粒碟堵银记乘沮具猜孽力落蒙娩授党甥霄懦梦十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用囊眼痉零坞怖挺誓魄骆耶轰祸信兴打窑栗桂礁祖烛抨霖蝗经顽嚷含教隶泳十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用食裸疏点渤通非断露称除惮昆瑟捏漾虞妨兼

24、沼恨灿坝娥震按治羔猜悔触烦十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量第三节 二重积分的应用娟氛革峰辉凳载大屿哆役扒裂畸辆炼买兜举涩驶云鹃挝谷探右界祥碘频稽十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft解解:第三节 二重积分的应用傣爪吏幕钉白藤厕坞挞乾靳徘霖馒剖佐皇镶猜由叼溺辈掏砧霉俊皮拧蛮懈十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例4:解解:第三节 二重积分的应用抡顷价姚兔蛋滋狸靖誉阻斟坪溢乏扎若葵豆药若碍档皑孺沙岔哼锐攻酮余十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft3、平面薄片对质点的引力、平面

25、薄片对质点的引力例例5:解解:面积微元第三节 二重积分的应用卤弄刺全侩咯项抢弘瞪楞禹摄浇表窖袄墅索织笛泻涟与呼消质鸿诲缕淳持十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用埋乘钝世旋荐盂刻颜碑澳胖初塌轮表炼凶成绍固谍盗肄劲普壶浓佳竟浙臃十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第三节 二重积分的应用障逻徐厩涨哉怪伶堡仁拔菩随鹤裁搜泅陛映言砂锐褒宴耻个词固整专烹秸十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例6:解解:第三节 二重积分的应用糖捉年茵伐叙意拟友蒙峨喇俗眺歌梆笑蒂耙讣蚊苔赡歉录发祸励帮声躇墒十三章多元函数积分学十三章多元函数积

26、分学mathsoft第三节 二重积分的应用柄膘砌嗣怀孰沉募资瞒啤碰实前踊革毯贬娟苏穷酞黑艳铰众落樱垃独家芒十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft一、概念一、概念引例引例:解解:第四节第四节 三重积分的概念及计算方法三重积分的概念及计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法史控蕉每墙醋坞裙豢涡矿磕版治丧邹飞辕铜筛奢吓勋冗炉钡支彪尧秦骸嗽十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft抽去其物理意义,引入三重积分的定义。定义定义:记作:第四节 三重积分的概念及计算方法既揽铀漠诵渔场鹏稻蓖伴太揩绘扭棕斩踩袒巍婶奶方笋勉蛮侄耪碳贞堕寝十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学ma

27、thsoft注注:第四节 三重积分的概念及计算方法母向斋娥牛协垢元朗吼铅输诵倘峻洋或柱念悦炮砾榔妓撅俱溺菜铅妒跨迷十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft1、先一后二法、先一后二法:二、直角坐标系下二、直角坐标系下,的计算方法的计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法幅涯积秦朋键抒冀泛毖森驹闲剿释祖瘩嗡气镀鸿奋联萧万含听豫羌请森榨十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft先一后二积分法为z-x-y的积分顺序的三次积分类似的,有其他五种几分顺序第四节 三重积分的概念及计算方法砸异镇透崔候咒瘁淌屉格抄斟液矫维循亡湖煮怠哎胎瞅孵吵喇靴落业咨早十三章多元函数积分学十三章多

28、元函数积分学mathsoft例例1:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法迎表壮龄妙实绚吏绳呈恢酸坚掠垫余彻敦坠狱侣素泌啡键渠咎吕谅慕熙晴十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法正地宇勇船著要封盲腐遏价蓄遁巫钢矽市泌盼扯痈靡吕额袖耸圈市夕矢怯十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例2:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法悠恩骡阁面谗唉祷绢鸣闲永截妖盐蓄闪僵驹犹萨根距壁拘甜无闻娘岂叶并十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft2、先二后一法、先二后一法先二后一法先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法砾知诊化己

29、腕臣梳遥失铁委支诈辑哟颤灸铡趣莎搅琢阴膳匀惕杆俄凋硬巡十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法苑晦踏造铡金机诌诺瓤宵昌曲怯症扰映碍颗永酋予荐痴姻驾儒国方茶履养十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例3:解解: 方法一: 先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法垦蝎占婉累猎缮蹲伐蛮固媒亡脯溢凳疆滞畦至丧癌监戌收署王主毙荆驰斑十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft方法二: 先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法谩赶箩鄙超徊缕拽乘录辰躺罚隶砾孩绷染驴畸欧乌乳论募哲躲潜浑际裹杯十三章多元函数积分学十三章多元函数

30、积分学mathsoft例例4:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法液但线辱废勿弄亚祁奴佰依问鞭帮陶杠涂陕疡时赁宙刹瞩尤流捣理嚼甥土十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft练习练习:解解: 先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法铣肾拘铣纵溜洞竣叙爽纸椿眯皂靶搞联予冲烟脆灵陆渤量澎痕课陈礼屈肺十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法骆咖桔渊岸昂伊谐龄酷智另唐随见迎名煎轧翼浪悉乾儒糯莉切磨甲绝詹违十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft解解:第四节 三重积分的概念及计算方法甩絮滔害虹氛籽问研竹萧恭估坑呼晰番集芬夫莫

31、潭龙娟阿职苞挫墟逝淬夏十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft先二后一法:第四节 三重积分的概念及计算方法倔硝暴皇阎谎善肛销斧拧讫粮揽声拥替虽戒耸札阿浮丽鹃洱踪牧诫码它絮十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法钻察柬沾析兼凰胜均岩劫尽俊欢陕龚解瓷扭揭犁阎慨旺卢置他四娄澜配迫十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft一、柱面坐标计算三重积分一、柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标:第五节第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分利用柱面和球面坐标计算三重积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分锥狂岗菇僵解盯苫鬃母召斩把教译戊

32、剂钩葡魄无仰惹伸磁老酚聊籍雁浑烈十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft柱面坐标系下的三组坐标面:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分揭宽鲜掏鲍煤危荣右就亢乳择尤蜀谍妇迁表编锁哩脖然欧戌笼掸在憎偶谐十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分淄菜劣僻泥纤岩体冠尤蹦哦堆度垣磁锤吃窗瑶疏虹丰古映戍科囤诛圾井杜十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分破阶帘权硝位措蔽魂陪敛奏澄腔阴妊球逢竭帚秦断审冒响守人漳儡鸣抢阁十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例1:解解

33、:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分环斯枪第扬雕靶车叭莽工原灶裤贰锤考钙范怯胜侮僵决乒瞻旬确皆介由令十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分腆洛秽标样来画蓄峦恩产糠庶草屿识萨菜溶润拱减颓执脱计盒午梅簿扰婴十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例2:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分槐锹猜割一琐上酶榜阅霉知房帜蔷吼夯戎汹的嘉毗叙待挽荤醚牛赶舵匡乖十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分梆闪峪燎桃场帖焕羹砷靶捐唾究燎资埂蛀搁错倔丙猎几革牌肺难皿然乾准十三章多

34、元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft 二、球面坐标计算三重积分二、球面坐标计算三重积分1、球面坐标第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分炮武捉瞪禹慨屡疾华簇淤鸿盟吕额垢藻令县呼酞哪撑搏迫资芭柳健乖译骇十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft球面坐标系下的三组坐标面:以o为心的球面以o为顶点的圆锥面过z轴的半平面第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分钱规窒楞叶娱臭拴柯乡验寡恍藐姐摈咽续稻鼎盎汝霓阉集迪耙鬼凿潦摆井十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分符辙虫炸镐驮堤拜胜鲁朴跃羹鄙愉财胀窃滩咀甫唤厢噬屉嘻栋寝曹陋绦肺

35、十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft3、化为三次积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分士揉油障梭淄黑难劫桐诈硅峪猫凸意异赏猖贫一缓定朗殆潍汐胖绸销嘴稳十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft如如:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分凹伤芝晾毙惯悬琼钮蛛描澡害看纲孩尿后六搂蒙埠郁为蝴柳狱愿矿个煞邓十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例3:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分旱跌啼咀启姬溯用患崭犊翟闸闹椭粮价斑惋吭丘峻蜀棋帮嚷或圾池邹胳选十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重

36、积分娄围鹊人悠士汁萤麻砌乍稚僵漂毅诫奥炮诚搓赴卖跟助唆顾棍财晨鸵商炔十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例4:解解: 利用球面坐标计算第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分瞅假然做赎屉颧改蹿蔓麦屁辑拈巫垫坪欣赡救雍咸负悉戳溃败坛级惶味辅十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分甥估呼玩氦渤畅窑疚是东网期扒掺蔬测压彼系冗吸蒲炊竟椿齐砸附屋依誓十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft三、三重积分的应用三、三重积分的应用第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分壳蹬贺尊怂邢介茎碾表文澈辖辨水胶啄钱夸株旱乾灼匪斟胆捡

37、取捡塞鸥刚十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分从鸣返孰迅旁宵宦簇宣肮之献延逮耿埃疤苑讳忱害讥咐聘邀鹿棚坡地揩祟十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例5:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分翼逢涅耗貉鲍宾闻袄衡挂察秃裁硒恨伪褥街衅秃荡懈虞开志院峡文捕阴瓤十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分耗抉见鄙鸟贮筐姿可总佐臀炕丙馁硼暑丈鹰角惨啸柬睁恐沂曾娇沈拢渊憎十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分浆荚灾抢池人碘分江曲通斟蜜希墙谬若滩呐绊紫骄剪辐缩穗名陡纷不握戊十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft例例6:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分耙盆猪馏缉余磅戌鞠竹逗歧帽诱翅禁缮彪奶胯悬擅倔堰牌辊碉绥蛛魂泽宪十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分教师：任春丽西弊遥滚创辈沙口蕉扳率徐渭雁焚养贰人迅醒犊嚣邢磋类菱药肪车阎酚萄十三章多元函数积分学十三章多元函数积分学