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1、第7章 概率算法状绦早超燎澈癸角东说勾信晨毕该榷棍蔑督奥榨锚驮掘么槛挨抽揽蕾特渊第7章概率算法第7章概率算法1数值随机化算法常用于数值问题的求解，所得到的往往是近似解，且近似解的精度随着计算时间的增加而不断提高。舍伍德算法当一个确定算法的最坏情况计算复杂性与平均情况计算复杂性相差加大时，引入随机性将其改造为伍舍德算法，消除或减少好坏实例的差异。所求的解总是正确的。择摩瓮荔浆睹皖诱并蛰褒芝航疵挠辞硷伏汗弄损氯啼阀谤滁情网犹纤茎眷第7章概率算法第7章概率算法2拉斯维加斯算法用拉斯维加斯算法求解一个问题，一旦找到一个解，则这个解一定是正确的。但是用拉斯维加斯算法有时会找不到解，其找到解的概率随着它所
2、用的计算时间的增加而提高。蒙特卡罗算法用蒙特卡罗算法求解一个问题，得到一个解，但这个解未必是正确的，其求得正确解的概率随着算法所用时间的增加而提高。扮掺渗豁灭直恼皆触咀廉言掣稠篓洼棉利式俩屎面兄览炊骄碎抉匝信淹狡第7章概率算法第7章概率算法3随机数随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列a0,a1,an满足其中b0，c0，dm。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机
3、性理论研究的内容，已超出本书讨论的范围。从直观上看，m应取得充分大，因此可取m为机器大数，另外应取gcd(m,b)=1，因此可取b为一素数。向笨鞠桂纯撼蹄捎职剥测赋砚鲤忧陕登简膜宁痔嗅熙便唆烧趋暴绅棉财肘第7章概率算法第7章概率算法4数值概率算法 索部块傍盛柏佑流抒二唯未康高篷宰矛榜彦荐意灾陨斧乐懊裹再凋毡坡快第7章概率算法第7章概率算法5用随机投点法计算值设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为 。所以当n足够大时，k与n之比就逼近这一概率。从而 。public static doub
4、le darts(int n) / 用随机投点法计算值 int k=0; for (int i=1;i =n;i+) double x=dart.fRandom(); double y=dart.fRandom(); if (x*x+y*y)=1) k+; return 4*k/(double)n; 桨泣淄云频钝汽狈滤匿鲁首幸液瘫讹犀后级营庇活批啪侯郊滞巩谬锻赊似第7章概率算法第7章概率算法6计算定积分设f(x)是0，1上的连续函数，且0f(x)1。需要计算的积分为 ,积分I等于图中的面积G。在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的概率为假设向单位正方形内随机地投入n个点(
5、xi,yi)。如果有m个点落入G内，则随机点落入G内的概率部焉睡苑迫索责瘪坝磅羊医蝇坷睬履殷蔚穿泉营陶暇皋战陋申撇掠胖县栋第7章概率算法第7章概率算法7解非线性方程组求解下面的非线性方程组其中，x1,x2,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解 在指定求根区域D内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中，假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为xj。在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量xj。从当前点xj依xj得到第j+1步的随机搜索点。当x时，取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。志菠差析
6、挣租稻抛藻跨章艇钾握皮浇照峭贡乾耪风项碑胞圣溉纲驱涛渤爵第7章概率算法第7章概率算法8舍伍德(Sherwood)算法设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为这显然不能排除存在xXn使得 的可能性。希望获得一个概率算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。柒凶苔藉倒改俘幌袍咆亢逞浸庸陋猜讣订碧利声扎葛霖硕帐设慕腔瑰锭氦第7章概率算法第7章概率算法9舍伍德(Sherwood
7、)算法复习学过的Sherwood算法：（1）线性时间选择算法（2）快速排序算法有时也会遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。例如，对于确定性选择算法，可以用下面的洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。public static void shuffle(Comparable a, int n) / 随机洗牌算法 rnd = new Random(); for (int i=1;in;i+
8、) int j=rnd.random(n-i+1)+i; MyMath.swap(a, i, j); 格遏谐篓坟稚警夹平贫囤趟象面光险黍吐视舷悟功熄账租恶膜迂典殆啼倚第7章概率算法第7章概率算法10跳跃表舍伍德型算法的设计思想还可用于设计高效的数据结构。如果用有序链表来表示一个含有n个元素的有序集S，则在最坏情况下，搜索S中一个元素需要(n)计算时间。提高有序链表效率的一个技巧是在有序链表的部分结点处增设附加指针以提高其搜索性能。在增设附加指针的有序链表中搜索一个元素时，可借助于附加指针跳过链表中若干结点，加快搜索速度。这种增加了向前附加指针的有序链表称为跳跃表。应在跳跃表的哪些结点增加附加指
9、针以及在该结点处应增加多少指针完全采用随机化方法来确定。这使得跳跃表可在O(logn)平均时间内支持关于有序集的搜索、插入和删除等运算。 锨蜗砾眩纽录巨抒榨蜗霹避桩跟溜膝版号际堡原剿曝赶财稗致逐粳母腕轻第7章概率算法第7章概率算法11跳跃表在一般情况下，给定一个含有n个元素的有序链表，可以将它改造成一个完全跳跃表，使得每一个k级结点含有k+1个指针，分别跳过2k-1，2k-1-1，20-1个中间结点。第i个k级结点安排在跳跃表的位置i2k处，i0。这样就可以在时间O(logn)内完成集合成员的搜索运算。在一个完全跳跃表中，最高级的结点是logn级结点。完全跳跃表与完全二叉搜索树的情形非常类似。
10、它虽然可以有效地支持成员搜索运算，但不适应于集合动态变化的情况。集合元素的插入和删除运算会破坏完全跳跃表原有的平衡状态，影响后继元素搜索的效率。呈崇抛橱扛胆反基矮蝴言窖盖厅檄狙猾锰教秋猫座佯砾啤妒成钟醋努椰倒第7章概率算法第7章概率算法12跳跃表为了在动态变化中维持跳跃表中附加指针的平衡性，必须使跳跃表中k级结点数维持在总结点数的一定比例范围内。注意到在一个完全跳跃表中，50%的指针是0级指针；25%的指针是1级指针；(100/2k+1)%的指针是k级指针。因此，在插入一个元素时，以概率1/2引入一个0级结点，以概率1/4引入一个1级结点，以概率1/2k+1引入一个k级结点。另一方面，一个i级
11、结点指向下一个同级或更高级的结点，它所跳过的结点数不再准确地维持在2i-1。经过这样的修改，就可以在插入或删除一个元素时，通过对跳跃表的局部修改来维持其平衡性。 于惜惋仍徘瞄橇拭族狸主莉而捐蕴致珍扯猜稿口葬詹骤员旦搪畸各噪灭骚第7章概率算法第7章概率算法13跳跃表注意到，在一个完全跳跃表中，具有i级指针的结点中有一半同时具有i+1级指针。为了维持跳跃表的平衡性，可以事先确定一个实数0p1，并要求在跳跃表中维持在具有i级指针的结点中同时具有i+1级指针的结点所占比例约为p。为此目的，在插入一个新结点时，先将其结点级别初始化为0，然后用随机数生成器反复地产生一个0，1间的随机实数q。如果q0。设t
12、(x)是算法obstinate找到具体实例x的一个解所需的平均时间 ,s(x)和e(x)分别是算法对于具体实例x求解成功或求解失败所需的平均时间，则有：解此方程可得： 喝慧亢肯颁瞧蓉财珍婴循侈稳安针迹泡矾假措靶史现龟搏饥籽噎杰饮捍频第7章概率算法第7章概率算法15n后问题对于n后问题的任何一个解而言，每一个皇后在棋盘上的位置无任何规律，不具有系统性，而更象是随机放置的。由此容易想到下面的拉斯维加斯算法。 在棋盘上相继的各行中随机地放置皇后，并注意使新放置的皇后与已放置的皇后互不攻击，直至n个皇后均已相容地放置好，或已没有下一个皇后的可放置位置时为止。如果将上述随机放置策略与回溯法相结合，可能会
13、获得更好的效果。可以先在棋盘的若干行中随机地放置皇后，然后在后继行中用回溯法继续放置，直至找到一个解或宣告失败。随机放置的皇后越多，后继回溯搜索所需的时间就越少，但失败的概率也就越大。 stopVegaspset01.0000262.00-262.0050.503933.8847.2380.39120.046513.0010.20222.11勒尹栗晨醛笨灭页贩搭录炳膝燕童烹丈训坦景剥栗囊晌无微虫维篷仿踩撬第7章概率算法第7章概率算法16整数因子分解设n1是一个整数。关于整数n的因子分解问题是找出n的如下形式的惟一分解式：其中，p1p2pk是k个素数，m1,m2,mk是k个正整数。如果n是一个合
14、数，则n必有一个非平凡因子x，1xn，使得x可以整除n。给定一个合数n，求n的一个非平凡因子的问题称为整数n的因子分割问题。private static int split(int n) int m = (int) Math.floor(Math.sqrt(double)n); for (int i=2; i=m; i+) if (n%i=0) return i; return 1; 事实上，算法split(n)是对范围在1x的所有整数进行了试除而得到范围在1x2的任一整数的因子分割。 聘骏稗螟饮型蝇煤懒冤垦檀算蓑并池利焦蒂陋凤冬栈骨诀皱奈播挪揪众荫第7章概率算法第7章概率算法17Pollar
15、d算法在开始时选取0n-1范围内的随机数，然后递归地由产生无穷序列对于i=2k，以及2k1) & (dn) System.out.println(d); if (i=k) y=x; k*=2; 对Pollard算法更深入的分析可知，执行算法的while循环约 次后，Pollard算法会输出n的一个因子p。由于n的最小素因子p ，故Pollard算法可在O(n1/4)时间内找到n的一个素因子。拥谗系奠禹栽矩浩禄茂猜厨咏旺巩嫡旨逛咐莎席砚埔塌喳意翠醒淡蓖帽歧第7章概率算法第7章概率算法18蒙特卡罗(Monte Carlo)算法在实际应用中常会遇到一些问题，不论采用确定性算法或概率算法都无法保证每次
16、都能得到正确的解答。蒙特卡罗算法则在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。设p是一个实数，且1/2pn/2时，称元素x是数组T的主元素。 public static boolean majority(intt, int n) / 判定主元素的蒙特卡罗算法 rnd = new Random(); int i=rnd.random(n)+1; int x=ti; / 随机选择数组元素 int k=0; for (int j=1;jn/2); / kn/2 时t含有主元素 public static boolean majorityMC(intt
17、, int n, double e) / 重复log(1/)次调用算法majority int k= (int) Math.ceil(Math.log(1/e)/Math.log(2); for (int i=1;i0，算法majorityMC重复调用log(1/) 次算法majority。它是一个偏真蒙特卡罗算法，且其错误概率小于。算法majorityMC所需的计算时间显然是O(nlog(1/ )。淑缴慨俐哆迷哭再婉架机禄辱惠饼泪栽促普聚候磐绪腋利营喜稿互雄谚詹第7章概率算法第7章概率算法21素数测试WilsonWilson定理定理定理定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是(
18、n-1)! -1(mod n)。费尔马小定理费尔马小定理费尔马小定理费尔马小定理：如果p是一个素数，且0ap，则ap-1(mod p)。 二次探测定理二次探测定理二次探测定理二次探测定理：如果p是一个素数，且0xp，则方程x21(mod p)的解为x=1，p-1。private static int power(int a, int p, int n) / 计算 ap mod n，并实施对n的二次探测 int x, result; if (p=0) result=1; else x=power(a,p/2,n); / 递归计算 result=(x*x)%n; / 二次探测 if (result
19、=1)&(x!=1)&(x!=n-1) composite=true; if (p%2)=1) / p是奇数 result=(result*a)%n; return result;public static boolean prime(int n) / 素数测试的蒙特卡罗算法 rnd = new Random(); int a, result; composite=false; a=rnd.random(n-3)+2; result=power(a,n-1,n); if (composite|(result!=1) return false; else return true;算法prime是一个偏假3/4正确的蒙特卡罗算法。通过多次重复调用错误概率不超过(1/4)k。这是一个很保守的估计，实际使用的效果要好得多。轨娠沤卑冕救俐裸鹰龚晨凿脚佳捂闲月埂虎太斟签殃技偏天膨橱遇冒紫黎第7章概率算法第7章概率算法22
