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1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 1 第八章 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心
2、邻域记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 3在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动 目录 上页 下页 返回 结束 42. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边
3、界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 5(2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束 邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集导集 .E 的边界点 )注：内点一定是聚点，而边界点不一定是聚点。6D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简
4、称区域 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;7例如，例如，在平面上开区域闭区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无93. n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标坐标 .记作即机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束 一个点点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .10的距离距离记作中点 a 的 邻域邻域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定为 与零元 O 的距离为11二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 12定义定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 13例如, 二元函数定义域
6、为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球14三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意正数 , 总存在正数 ,切15例例1. 设求证：证证:故总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 要证 16例例2. 设求证：证：证：故总有要证机动
7、 目录 上页 下页 返回 结束 17 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例3. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 18仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3 目录 上页 下页 返回 结束 19四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义
8、定义3 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续, 此时称为间断点 .则称 n 元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 20例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.21定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对
9、任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 22解解: : 原式例例5. .求例例6. 求函数的连续域.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 23内容小结内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 24有3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P11 题 2; 4; 5 (3), (5
10、) ( 画图 ) ; 8P72 题 3; 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习25解答提示解答提示: :P11 题 2. 称为二次齐次函数 .P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 26P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4. 令 y= k x ，若令机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 则 可见极限不存在27备用题备用题1. 设求解法解法1 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 281 .设求解法解法2 令即机动 目录 上页 下页 返回 结束 292.是否存在？解解：所以极限不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 30 3. 证明在全平面连续.证证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 31
