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1、有限元方法有限元方法FiniteElementMethod12外力外力变形变形(位移位移)、内力、内力(应力应力) 寻求弹性体在外力作用下，寻求弹性体在外力作用下，物体的变形、内力分布规律。物体的变形、内力分布规律。弹性力学的任务弹性力学的任务1、梁弯曲问题2、薄板弯曲问题0.0固体力学中的控制微分方程固体力学中的控制微分方程33、弹性力学三维问题、弹性力学三维问题4微分方程的数值解法微分方程的数值解法有限元方法有限元方法边界元方法边界元方法加权残值方法加权残值方法有限差分法有限差分法无网格法无网格法 在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方法得
2、到解的近似表达式外，通常还有一类近似方等方法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，这类方法通常包括：似值，这类方法通常包括：5有限差分法思想有限差分法思想 有有限限差差分分法法(FDM)是是计计算算机机数数值值模模拟拟最最早早采采用用的的方方法法，至至今今仍仍被被广广泛泛运运用用。该该方方法法将将求求解解域域划划分分为为差差分分网网格格，用用有有限限个个网网格格节节点点代代替替连连续续的的求求解解域域。有有限限差差分分法法以以Taylor级级数数展展开开等等方方法法，把把控控制制方方程程中中的的
3、导导数数用用网网格格节节点点上上的的函函数数值值的的差差商商代代替替进进行行离离散散，从从而而建建立立以以网网格格节节点点上上的的值值为为未未知知数数的的代代数数方方程程组组。该该方方法法是是一一种种直直接接将将微微分分问问题题变变为为代代数数问问题题的的近近似似数数值值解解法法，数数学学概概念念直直观观，表表达达简简单单，是是发发展展较较早早且且比比较成熟的数值方法。较成熟的数值方法。6边界元法思想边界元法思想 边边界界元元法法(Boundaryelementmethod)是是在在有有限限元元法法之之后后发发展展起起来来的的一一种种较较精精确确有有效效的的工工程程数数值值分分析析方方法法,通
4、通常常又又称称边边界界积积分分方方程程。该该方方法法应应用用格格林林函函数数公公式式，通通过过选选择择适适当当的的权权函函数数把把空空间间求求解解域域上上的的偏偏微微分分方方程程转转换换成成为为其其边边界界上上的的积积分分方方程程，它它把把求求解解区区中中任任一一点点的的求求解解变变量量与与边边界界条条件件联联系系了了起起来来。通通过过离离散散化化处处理理，由由积积分分方方程程导导出出边边界界节节点点上上未未知知值值的的代代数数方方程程。解解出出边边界界上上的的未未知知值值后后就就可可以以利利用用边边界界积积分分方方程程来来获获得得内内部部任任一一点点的的被被求函数之值。求函数之值。边边界界元
5、元法法优优点点是是，使使求求解解问问题题的的空空间间维维数数降降低低一一阶阶，从从而而使使计计算算工工作作量量及及所所需需计计算算机机容容量量大大大大减减小小。边边界界元元法法推推广广应应用用的的一一个个最最大大限限制制是是，需需要要已已知知所所求求解解偏偏微微分分方程的格林函数基本解。方程的格林函数基本解。7加权残值法思想加权残值法思想 加加权权残残值值法法是是一一种种应应用用广广泛泛的的求求解解微微分分方方程程的的方方法法，其其基基本本思思想想是是先先假假定定一一族族带带有有待待定定参参数数的的定定义义在在全全域域上上的的近近似似函函数数, ,该该近近似似解解不不能能精精确确满满足足微微分
6、分方方程程和和边边界界条条件件, ,即即存存在在残残差差. .在在加加权权平平均均的的意意义义下下消消除除残残差差, ,就就得得到到加加权权残残值值法法的的方方程程. .由由于于试试函函数数定定义义在在全全域域上上, ,所所得得方方程程的的系系数数矩矩阵阵一一般般为为满满阵阵. .选取不同的权函数选取不同的权函数, ,可得到不同的加权参量法。可得到不同的加权参量法。 如如有有某某一一应应用用科科学学问问题题中中的的控控制制微微分分方方程程及及边边界界条条件件分分别为：别为： 求解这个微分方程，假设待定函数的一个近似解，求解这个微分方程，假设待定函数的一个近似解，为试函数为试函数域内边界面（1）
7、（2）8 加权残值法思想（续）加权残值法思想（续）（3）将（将（3 3）式代入（）式代入（1 1）和（）和（2 2）式之后，一般不会满足，）式之后，一般不会满足，于是分别出现了内部和边界残差：于是分别出现了内部和边界残差：为了消除残差，通常引进内部权函数 和边界权函数 ，将它们分别与 和 相乘，列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下：9无网格方法思想无网格方法思想 无网格方法（无网格方法（Mesh-lessmethod）是在数值计算中不需）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，问题域由一系列
8、任意分布的节点来代替数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代替,不需要用单元或网格来进行场变量插值不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点之也无须描述节点之间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成间的关系。节点的生成可完全由计算机自动完成,这大大节这大大节省了分析人员的时间省了分析人员的时间,也相对较容易在分析过程中对节点进也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。行重新划分。10有限元法思想有限元法思想 基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的位移和应力的小区域，在每一个小区域里，假定
9、结构的位移和应力都是简单的低级多项式函数。小区域内节点位移和应力都是简单的低级多项式函数。小区域内节点位移和应力通过弹性力学理论离散转化为代数方程，然后由计算机通过弹性力学理论离散转化为代数方程，然后由计算机求解出来，进而获得整个结构的变形和应力。求解出来，进而获得整个结构的变形和应力。 11 有限元方法（优点）有限元方法（优点）有限元可以运用于任何场问题有限元可以运用于任何场问题没有几何形状的限制没有几何形状的限制边界条件和载荷没有限制边界条件和载荷没有限制材料性质并不限于各向同性材料性质并不限于各向同性具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合有限元结
10、构和被分析的物体或区域很类似有限元结构和被分析的物体或区域很类似通过网格细分可以容易地改善解的逼近度通过网格细分可以容易地改善解的逼近度12有限元法的应用领域有限元法的应用领域机械机械/ /航空航天航空航天/ /土木工程土木工程/ /自动化工程自动化工程结构分析（静结构分析（静/ /动力分析，线性动力分析，线性/ /非线性分析）非线性分析）热分析热分析/ /流体力学分析流体力学分析电磁场分析电磁场分析地质力学分析地质力学分析生物医学分析生物医学分析1314一一个个典典型型的的实实例例是是波波音音777的的研研发发设设计计，利利用用计计算算机机建建模模和和数数值值仿仿真真模模拟拟代代替替大大量量
11、的的物物理理样样机机试试验验（每每次次样样机机试试验验大大约约需需花花费费8亿元），最终一次试飞成功。亿元），最终一次试飞成功。CAE在在汽汽车车工工业业中中的的应应用用，使使研研发发设设计计一一种种新新车车型型的的时时间间由由原来的原来的5-6年减少到年减少到1-2年。年。15 (a) 铲运机举升工况测试(b) 铲运机插入工况有限元分析WJD-1.5型电动铲运机型电动铲运机应用领域：机械工程应用领域：机械工程16 (a) KOMATSU液压挖掘机(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析液压挖掘机液压挖掘机17 驾驶室受侧向力应力云图接触问题结构件应力云图 18液压管路速度场分布云图支架自由振动云图
12、 磨片热应力云图应用领域：土木工程应用领域：土木工程19连续钢桁梁桥力学分析，连续钢桁梁桥力学分析，20102010年年沪汉蓉快速铁路合肥枢纽南环线连续钢桁梁柔性拱桥沪汉蓉快速铁路合肥枢纽南环线连续钢桁梁柔性拱桥(114.75+229.5+114.75)m施工过程进行力学分析。桥梁由主施工过程进行力学分析。桥梁由主桁、拱肋和桥面系组成。采用结构分析软件桁、拱肋和桥面系组成。采用结构分析软件MIDAS计算。计算。 全桥空间模型全桥空间模型20钢桥最危险工况的有限元分析钢桥最危险工况的有限元分析组合应力图（组合应力图（MPa）21拼装最后拼装最后4个节间钢桁梁个节间钢桁梁组合应力图（组合应力图（M
13、Pa） 22成桥状态成桥状态组合应力图（组合应力图（MPa） 23应用领域：航空航天工程应用领域：航空航天工程24应用领域：电子工程应用领域：电子工程25应用领域：生物工程应用领域：生物工程26应用领域：毕业设计应用领域：毕业设计有限元方法（计算机程序）有限元方法（计算机程序）专业化小程序有专业化小程序有lTrusslFramelPlaneStresslHeatTransfer大型通用商业化程序有大型通用商业化程序有lANSYSlADINAlABAQUSlMSC/NASTRANlMSC/MarclSAP28有限元方法（学习目标）有限元方法（学习目标）理解有限元方法的基本思想理解有限元方法的基本
14、思想认识不同类型单元的行为和应用范围认识不同类型单元的行为和应用范围根据实际问题，建立合适的有限元模型根据实际问题，建立合适的有限元模型如何应用有限元法解题如何应用有限元法解题能够解释并正确评估结果的合理性能够解释并正确评估结果的合理性2930一、位移矢量一、位移矢量， 取笛卡尔坐标轴 ，对空间上任一点处的任一方向用矢量 表示，其单位方向矢量为 。在外力下，在外力下，点，点，P点的位移矢点的位移矢P点点0.1应变分析应变分析31引入算子为梯度矢（几何线性）在单连通域中： 一一对应,多连通域中未必一一对应. 几何方程（6个）：位移应变之关系P点处在 轴的三个微段的变化，得到变状态的6个分量二、应
15、变二、应变32 取取P点处一微平行六面体与点处一微平行六面体与xyz平行，平行，决定决定P点应力状态的点应力状态的6个分量记为个分量记为体力（外力）：体力（外力）：一、平衡方程：（由微六面体平衡所致）一、平衡方程：（由微六面体平衡所致）（要求 可导）0.2应力分析应力分析一个面上应力可分解为一个正应力，二个剪应力分量一个面上应力可分解为一个正应力，二个剪应力分量物体表面上面力矢物体表面上面力矢应力与外力在表面应力与外力在表面上平衡，则上平衡，则其中矩阵其中矩阵此表面处外法线方向此表面处外法线方向二、应力边界条件二、应力边界条件3334对均质各向同性线弹性体，有广义对均质各向同性线弹性体，有广义
16、Hooke定律定律称为称为弹性矩阵弹性矩阵 （物理线性）（物理线性）（物理线性）（物理线性） 或0.3本构方程本构方程(应力应变关系应力应变关系)35物理量：物理量：Lame常数G剪切模量E弹性模量泊松比 或（位移型，（位移型，）或连续性连续性物理性物理性方程（方程（15个）个）边界条件边界条件未知函数未知函数（15个）个）类型类型(应力型，应力型，自由边，自由边， ）静力平衡静力平衡，弹性力学平衡问题弹性力学平衡问题微分方程边值问题微分方程边值问题 （15个方程求解个方程求解15个未知量，在个未知量，在和和上）上）解法：（解法：（1）位移法；（）位移法；（2）应力法；（）应力法；（3）混合法
17、）混合法0.4弹性力学平衡问题的微分方程提法弹性力学平衡问题的微分方程提法3637（位移表示的应力边界条件）（位移表示的应力边界条件）由上解出由上解出显式：显式：式中式中物体表面物体表面,取未知函数取未知函数，经代换经代换弹性力学位移法定解问题：弹性力学位移法定解问题：38，2.对平面应变问题对平面应变问题有有1.对平面应力问题对平面应力问题有有应力应变关系：应力应变关系：应力应变关系：应力应变关系：39一、弹性体的形变势能一、弹性体的形变势能引例引例1.弹性力的功弹性力的功弹性（簧）力：弹性（簧）力：方向：方向：弹簧刚度系数弹簧刚度系数或力大小力大小,（0-5-1）0.5弹性力学变分原理弹性
18、力学变分原理（原长）（弹性力）40变形过程是静平衡状态变形过程是静平衡状态,弹簧从弹簧从A1运动到运动到A2位置，位置，弹性力做功：弹性力做功：弹性（簧）力性质：弹性（簧）力性质： 1弹力做功：弹力做功：仅与弹簧初、末变形量仅与弹簧初、末变形量、有关，有关，与路径无关；与路径无关；2可正、可负；可正、可负；3特别特别时，时，注：外力做功注：外力做功（原长）（弹性力）41以变形量为处为势能零点，则在 处，弹簧力做功为特别：以弹簧的自然位置为零势点，则弹性能（弹簧力做功的负值，因为外力与弹簧力反向，故弹性能相当于外力的功）弹性能=外力做功2.弹性力场中的势能：弹簧力做功的负值弹性力场中的势能：弹簧
19、力做功的负值（外力功）(0-5-3)弹簧力的势能42例：例：A为杆截面积，L杆长。 材料试件单向拉伸曲线产生均匀的轴向应力 ，轴向应变 . (0-5-4)，弹性杆在轴向力P作用下，3.弹性杆的形变势能（应变能）弹性杆的形变势能（应变能）（原长）（弹性力）43假定：弹性体在受力的过程中始终保持平衡假定：弹性体在受力的过程中始终保持平衡外力P做功:以弹性应变能储存于杆中。杆的应变能等于外力功（例：射箭）定义：单位体积中具有的应变能称为(应变)比能，记为对杆：特别：即为线性关系(Hooke定律)(与路径无关)（如轴沿杆轴向：可记）44弹性体中任一点处有微元体B，因此，为一般坐标的场函数。4.一般三维
20、弹性体一般三维弹性体45又应力和应变也是坐标的场函数。向量，分别为六个分量 推推广广之之：因因为为应应变变能能，弹弹性性力力的的功功，与与变变形形路路径径无无关关，推推广广到到一一般般线线弹弹性性体体，可可以以假假定定6个个应应力力分分量量和和六六个个应应变变分分量量都都按按同同样样的的比比例例，增增加加到到最最后后的的值值（用用加加载载，卸载过程说明与加载次序无关）（克拉贝隆原理）。卸载过程说明与加载次序无关）（克拉贝隆原理）。故一般弹性体比能为故一般弹性体比能为（0-5-8），(与路径无关)对直杆:46所以（仅适用于线弹性体，应变能U是位移的泛函数）特别对：1. 厚度为h的平面体，应变能2
21、 . 截面积为A的直杆（拉伸）应变能在上弹性体的应变能应变能（0-5-9）（对线弹性体）因为弹性体比能弹性体比能47弹性体的边界形变势能的增加形变势能的增加=外力势能的减少（即外力虚功）外力势能的减少（即外力虚功）拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程（0-5-11）弹性力学变分原理：弹性力学变分原理：设际发生的位移，即满足弹力所有方程。为弹性体实当发生所容许的微小虚位移能量守恒定律：, 则由二、位移变分方程二、位移变分方程48对（对（0-5-9）再代入（0-5-11）（0-5-12） 虚应变虚应变（a）这是虚功方程：这是虚功方程：发生前，物体处于平衡
22、状态，则在过程中，应力在虚应变上所作的虚功应力在虚应变上所作的虚功=外力在虚位移上作的虚功外力在虚位移上作的虚功在在上弹性体的应变能应变能（0-5-9）（0-5-11）拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程拉格朗日位移变分方程三、虚功方程（虚功原理）三、虚功方程（虚功原理）49（式中集中力认为已考虑到 内）定义弹性体总势能：定义弹性体总势能：（0-5-14）由于微小，在过程中，外力大小和方向不变，对（5-13）：可以取状态下的势能为零，则外力势能（外力（0-5-13）做功的负值），（b）在上弹性体的应变能应变能（0-5-9）四、最小势能原理四、最小势能原理50，（b）注意
23、：是的函数（泛函）。 由于发生了 ，则发生改变为即最小势能原理：最小势能原理：在外力作用下，满足在外力作用下，满足条件的各组位条件的各组位移中，实际存在的一组位移移中，实际存在的一组位移u应使系统总势能取极值应使系统总势能取极值（可证这也是极小值）（可证这也是极小值）极小势能原理极小势能原理将 和（b）代入上式虚功方程虚功方程51令，u是真解， 是任一组解。则，因为 D是正定矩阵， 所以，又 ，式中。证证极小值极小值52当位移u满足连续性方程（几何方程），且满足光滑，则虚功原理虚功原理（5-15）(仅适用于线弹性体)证：2. 从数学观点(微分方程)(积分形式)为任意函数，独立的）（五、极小势能
24、原理、虚功原理、平衡性方程互为等价五、极小势能原理、虚功原理、平衡性方程互为等价53对弹力问题：对弹力问题：引理：引理：分部积分Gauss公式，式中为曲面的外法线的方向余弦。（a）54注意：,（b）逐项分步积分逐项分步积分强迫限制 ：，则（c）式为由（a） （d），（a）式左端=可以令：在（a）（d）故称：故称：为为强迫边界条件；强迫边界条件；为为自然边界条件。自然边界条件。,（b）已证注意到注意到（b）(即是虚功方程即是虚功方程)反之亦然。(最小势能原理),（c）5556最小势能原理是平衡性条件用变分式表达的数学形式。最小势能原理是平衡性条件用变分式表达的数学形式。泛函泛函泛函极小值泛函极小
25、值右组方程不要求可导，仅可积即可。故称是平衡方程的“弱形式”（适用范围更大），为强迫边界条件；为强迫边界条件；为自然边界条件。为自然边界条件。(最小势能原理或虚功原理最小势能原理或虚功原理)（给定值）（给定值）应用：弹性力学问题等价于应用：弹性力学问题等价于57上述解为下列方程组的解应变-应变关系or极小势能原理位移边界条件：（已知值），为厚度，材料常数。,， 为其边界，。区域受荷载 求：求：域内，。例例:弹性力学平面应力问题，或虚功原理58 有限元法是随计算机兴起的一种数值方法，受杆系有限元法是随计算机兴起的一种数值方法，受杆系结构的矩阵分析方式的启迪，结构的矩阵分析方式的启迪，60年代初被
26、移植来解弹性年代初被移植来解弹性力学的平面问题。从此，在力学界刮起有限元热，用来力学的平面问题。从此，在力学界刮起有限元热，用来解所有固体、流体的静、动力学问题，并由计算数字工解所有固体、流体的静、动力学问题，并由计算数字工作者升华成为数值解偏微分方程的主要方法。并推广到作者升华成为数值解偏微分方程的主要方法。并推广到其他科学领域（如电磁场、温度场等），已开发许多有其他科学领域（如电磁场、温度场等），已开发许多有限元通用或专用软件，供非力学专业人员使用。限元通用或专用软件，供非力学专业人员使用。0.6有限元法分析过程有限元法分析过程（力学问题）（力学问题）1.解解析析法法：把把连连续续体体看看
27、成成无无数数多多个个微微单单元元体体组组成成，从从微微元元体体出出发发，建建立立了了描描述述弹弹性性体体性性质质的的偏偏微微分分方方程程。解解微微分分方程得解函数。方程得解函数。2.Ritz法法：把把连连续续体体的的解解函函数数假假设设一一组组含含待待定定常常数数的的已已知知连连续续函函数数（在在整整个个连连续续体体）。然然后后通通过过变变分分方方程程(相相当当于于平平衡衡性性弹弹力力方方程程）得得到到关关于于待待定定常常数数的的一一组组线线性性代代数数方方程程求求解解，此此为为近近似似解解。缺缺点点是是待待定定常常数数过过多多时时，不不易易程序化，且试函数难取。程序化，且试函数难取。3.实实
28、验验法法：得得不不到到一一般般性性的的结结论论，费费钱钱。方方法法简简便便，可可验验证理论解的可靠性。证理论解的可靠性。一、经典的解析法一、经典的解析法Ritz法法有限元法有限元法59604.有限元法：有限元法：把连续体分划成有限个单元体把连续体分划成有限个单元体对对每每个个单单元元假假定定一一个个包包含含若若干干待待定定系系数数（一一般般为为函函数数在在单单元元某某些些节节点点上上的的值值）的的函函数数，而而在在其其余余单单元元此此函函数数为为零零。那那么么连连续续体体的的解解函函数数为为每每个个单单元元的的试试函函数数组组成成。其其待待定定函函数数代代入入到到弹弹性性力力学学的的几几何何、
29、物物理理方方程程、平平衡衡（变变分分）方程得到一组线性代数方程求得。方程得到一组线性代数方程求得。主主要要优优点点：数数值值稳稳定定，易易于于程程序序化化，灵灵活活，适适用用于于任任何何形状的连续体。形状的连续体。611.数学家从微分方程出发，将基本解区域分划有限数学家从微分方程出发，将基本解区域分划有限个单元，据微分方程（泛函变分形式）建立单元上个单元，据微分方程（泛函变分形式）建立单元上节点未知量（待求函数）的代数方程求解。节点未知量（待求函数）的代数方程求解。2.力学家根据实际力学问题，将连续体分划有限个力学家根据实际力学问题，将连续体分划有限个单元体，由几何、物理、平衡（变分）方程（多
30、个单元体，由几何、物理、平衡（变分）方程（多个微分方程）建立节点未知量的代数方程求解。微分方程）建立节点未知量的代数方程求解。二、有限元求解路径二、有限元求解路径621.结构的离散化结构的离散化结构离散成有限个单元，相邻单元体仅在结点处连接结构离散成有限个单元，相邻单元体仅在结点处连接以替代原结构。以替代原结构。(a)弹性体原形弹性体原形悬臂深梁求：求：， ， ， 。(b)离散模型离散模型(三角形单元三角形单元)三、三、有限单元法分析过程有限单元法分析过程63 位移法有限元位移法有限元以结构的位移作为基本解函数，其以结构的位移作为基本解函数，其单元上的位移试函数取为低阶多项式函数，其项数等单元
31、上的位移试函数取为低阶多项式函数，其项数等于单元节点上的自由度数。于单元节点上的自由度数。为单元节点上的位移列阵，基本未知量。为单元节点上的位移列阵，基本未知量。为位移形状函数（设为已知形式）为位移形状函数（设为已知形式）对平面问题：对平面问题：（a）2.选择单元位移模式选择单元位移模式(a)代入几何方程代入几何方程（b）3.单元的力学特性分析单元的力学特性分析再代入物理方程再代入物理方程（c）最小势能原理：最小势能原理：（e）建立单元节点力建立单元节点力与节点位移与节点位移的关系的关系（d）64计算等效节点力：单元边界上的面力和单元体力按虚功等效原则转化为等效结点力。建立结构整体刚度方程将各单元刚度方程迭加（f）式中为结构的整体结点位移列阵， 为结点载荷列阵，为总体刚度矩阵。再将代入（c），得到各单元的应力值。 引入已知位移边界条件，为非奇异方程，解此得到节点位移向量。（d）
