《91二重积分的概念与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《91二重积分的概念与性质（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章第九章 重积分及其应重积分及其应用用1CH1_9.1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质一一 二重积分的概念二重积分的概念二二 二重积分的性质二重积分的性质2CH1_一一 二重积分的概念二重积分的概念（1）曲顶柱体的体积）曲顶柱体的体积1 概念的引入概念的引入求其体积求其体积 V.底：底： xoy 面上的有界闭区域面上的有界闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线，母线平行于的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面给定曲顶柱体给定曲顶柱体:3CH1_1）分割）分割用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底
2、把曲顶柱体分为 n 个个2) 近似替代近似替代在每个在每个3)3)求和求和则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体4CH1_4 4) )取极限取极限令令5CH1_（2）平面薄片的质量）平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有界闭区域平面上占有界闭区域 D ,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .密度为连续函数密度为连续函数其面其面1) 分割分割用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .6CH1_2) 近似替代近似替代中中任取任取一点一点3) 求和求和4) 取极限取极限则第则第 k 小块的质量小
3、块的质量7CH1_2 二重积分的定义二重积分的定义定义定义:将将D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使在在D上上可积可积 , 在在D上的上的二重积分二重积分.记作记作是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D上的有界函数上的有界函数 , 任取任取一点一点积分区域积分区域被积函数被积函数面积元素面积元素8CH1_注：如果注：如果 在在D上可积上可积,也记作也记作这时这时来分区域来分区域D , 则可用平行坐标轴的直线则可用平行坐标轴的直线实例实例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:实例实例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:也常也常因此面积元素因此面积元素记
4、作记作（称其为（称其为直角坐标下的面积元素直角坐标下的面积元素），）， 二重积分二重积分9CH1_4 二重积分存在定理二重积分存在定理在在D上可积上可积.定理：若函数定理：若函数在有界闭区域在有界闭区域 D则则上连续上连续,3 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值的负值10CH1_二二 二重积分的性质二重积分的性质性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性11CH1_性质性
5、质 若若 为为的面积，的面积，性质性质 若在若在D D上上则有则有特殊地特殊地12CH1_性质性质（二重积分（二重积分 中值定理）中值定理）性质性质（二重积分估二重积分估 值不等式）值不等式）13CH1_例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解从而从而由图可见由图可见 ：在：在 D 上上 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周14CH1_例例2计算计算解解由积分中值定理知：由积分中值定理知：存在存在满足满足使得使得所以所以15CH1_注：二重积分的注：二重积分的对称原则对称原则（1）积分区域）积分区域关于关于 轴对称轴对称=，其中其中是是在在轴右方部分。轴右方部分。（2）积分区域）积分区域关于关于 轴对称轴对称=，其中其中是是在在轴上方部分。轴上方部分。16CH1_
