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1、 第五章第五章 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数定义：定义： 设设 是实数域是实数域 （或复数域（或复数域 ）上）上的的 维线性空间，对于维线性空间，对于 中的任意一个向量中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为实数称为 的的范数范数，记为，记为 ，并且要求范，并且要求范数满足下列运算条件：数满足下列运算条件： （1）非负性：当）非负性：当 只只有且仅有当有且仅有当 （2） 齐次性：齐次性： 为任为任意数。意数。1学习资料（3） 三角不等式：对于三角不等式：对于 中的任意两个向中的任意两个向量量 都有都有例例 ： 在在 维线性空间维线性
2、空间 中，对于任意的中，对于任意的向量向量 定义定义2学习资料证明：证明： 都是都是 上的范数，并且还有上的范数，并且还有引理（引理（Hoider不等式）：不等式）：设设3学习资料则则 其中其中 且且 。引理（引理（Minkowski不等式）：不等式）：设设则则 4学习资料其中实数其中实数 。几种常用的范数几种常用的范数定义：定义：设向量设向量 ，对任，对任意的数意的数 ，称，称为向量为向量 的的 范数范数。常用的常用的 范数：范数：（1）1范数范数 5学习资料（2）2范数范数也称为欧氏范数。也称为欧氏范数。（3） 范数范数 定理：定理：证明：证明：令令 ，则，则6学习资料于是有于是有另一方面
3、另一方面7学习资料故故由此可知由此可知定义：定义：设设 是是 维线性空间维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数无关的正数 使得使得8学习资料定理：定理：有限维线性空间有限维线性空间 上的任意两个向上的任意两个向量范数都是等价的。量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。利用向量范数可以去构造新的范数。例例 ：设设 是是 上的向量范数，且上的向量范数，且 ，则由，则由所定义的所定义的 是是 上的向量范数。上的向量范数。例例 ： 设设 数域数域 上的上的 维线性空间，维线性空间， 9学习资料 为其一组基底，那么对于为其一组基底，那么
4、对于 中的任意一个向量中的任意一个向量 可唯一地表示成可唯一地表示成又设又设 是是 上的向量范数，则由上的向量范数，则由所定义的所定义的 是是 上的向量范数。上的向量范数。 矩阵范数矩阵范数10学习资料定义：定义：对于任何一个矩阵对于任何一个矩阵 ，用，用 表示按照某一确定法则与矩阵表示按照某一确定法则与矩阵 相对相对应的一个实数，且满足应的一个实数，且满足（1）非负性：当）非负性：当 只有只有且仅有当且仅有当 （2） 齐次性：齐次性： 为任为任意复数。意复数。（3） 三角不等式：对于任意两个同种形三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵状矩阵 都有都有11学习资料（4）矩阵乘法的相容性：对于任意
5、两个可以）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵相乘的矩阵 ，都有，都有那么我们称那么我们称 是是矩阵矩阵 的范数的范数。例例 1：对于任意对于任意 ，定义，定义可以证明如此定义的可以证明如此定义的 的确为矩阵的确为矩阵 的范的范数。数。12学习资料证明：证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设性。设 ，则，则13学习资料14学习资料例例 2 ：设矩阵设矩阵 ，证明：，证明：是矩阵范数。是矩阵范数。证明：非负性，齐
6、次性和三角不等式容易证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么，那么15学习资料因此因此 为矩阵为矩阵 的范数。的范数。16学习资料例例 3 ：对于任意对于任意 ，定义，定义可以证明可以证明 也是矩阵也是矩阵 的范数。我们称此的范数。我们称此范数为矩阵范数为矩阵 的的Frobenious范数范数。证明证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。现在我们验证乘法的相容性。 设设 ，则，则 17学习
7、资料于是有于是有 18学习资料例例 4 ：对于任意对于任意 ，定义，定义证明如此定义的证明如此定义的 是矩阵是矩阵 的范数。的范数。证明：证明： 首先注意到这样一个基本事实，即首先注意到这样一个基本事实，即由一个例题可知此定义满足范数的性质。由一个例题可知此定义满足范数的性质。19学习资料Frobenious范数的性质：范数的性质：（1）如果）如果 ，那么，那么（2） （3）对于任何）对于任何 阶酉矩阵阶酉矩阵 与与 阶酉矩阵阶酉矩阵 20学习资料 都有等式都有等式关于矩阵范数的等价性定理。关于矩阵范数的等价性定理。定理：定理：设设 是矩阵是矩阵 的任意两的任意两种范数，则总存在正数种范数，则
8、总存在正数 使得使得21学习资料 诱导范数诱导范数定义：定义：设设 是向量范数，是向量范数， 是矩阵范是矩阵范数，如果对于任何矩阵数，如果对于任何矩阵 与向量与向量 都有都有则称矩阵范数则称矩阵范数 与向量范数与向量范数 是相容是相容的。的。例例 1 ：矩阵的矩阵的Frobenius范数与向量的范数与向量的2-范数范数是相容的是相容的.证明证明 : 因为因为 22学习资料根据根据Hoider不等式可以得到不等式可以得到23学习资料24学习资料于是有于是有 例例 2 ：设设 是向量的范数，则是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且满足矩阵范数的定义，且 是与向量范是与向量范 相容的矩阵范数。相容的
9、矩阵范数。证明证明：首先我们验证此定义满足范数的四：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。证。现在考虑矩阵范数的相容性。25学习资料设设 ，那么，那么 因此因此 的确满足矩阵范数的定义。的确满足矩阵范数的定义。 26学习资料 最后证明最后证明 与与 是相容的。是相容的。由上面的结论可知由上面的结论可知这说明这说明 与与 是相容的。是相容的。 定义：定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范上面所定义的矩阵范数称为由向量范数数 所诱导的所诱导的诱导范数诱导范数或或算子范数算子范数。由。由 27学习资料向量向
10、量 P-范数范数 所诱导的矩阵范数称为矩所诱导的矩阵范数称为矩阵阵P-范数。即范数。即常用的常用的矩阵矩阵P-范数范数为为 ， 和和 。定理：定理：设设 ，则，则（1）我们称此范数为矩阵我们称此范数为矩阵 的的列和范数列和范数。28学习资料（2） 表示矩阵表示矩阵 的第的第 个特征值。我们称此范个特征值。我们称此范数为矩阵数为矩阵 的的谱范数谱范数。（3）我们称此范数为矩阵我们称此范数为矩阵 的的行和范数。行和范数。例例 1 ：设设 29学习资料计算计算 ， ， 和和 。解：解：30学习资料因为因为所以所以 。练习练习 ：设设 或或31学习资料分别计算这两个矩阵的分别计算这两个矩阵的 ， ，
11、和和 。例例 2 ：证明：对于任何矩阵证明：对于任何矩阵 都有都有32学习资料如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：定理：设设 是矩阵范数，则存在向量范数是矩阵范数，则存在向量范数 使得使得证明：证明：对于任意的非零向量对于任意的非零向量 ，定义向量范，定义向量范数数 ，容易验证此定义满足向，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且量范数的三个性质，且33学习资料例：例：已知矩阵范数已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。求与之相容的一个向量范数。解：取解：取 。设。设34学习资料那么那么矩阵的谱半径及其性质矩阵的谱半径及其性质定义：定义：设设 ， 的
12、的 个特征值为个特征值为 ，我们称，我们称为为矩阵矩阵 的谱半径的谱半径。例例 1 ：设设 ，那么，那么35学习资料这里这里 是矩阵是矩阵 的任何一种范数。的任何一种范数。例例 2 ：设设 是一个正规矩阵，则是一个正规矩阵，则证明：证明：因为因为 36学习资料于是有于是有例例 3 ：设设 是是 上的相容矩阵范数。上的相容矩阵范数。证明：证明： （1） （2） 为可逆矩阵，为可逆矩阵， 为为 的特征值的特征值则有则有37学习资料例例 5 ：如果如果 ，则，则 均为可逆均为可逆矩阵，且矩阵，且这里这里 是矩阵是矩阵 的算子范数。的算子范数。 矩阵序列与极限矩阵序列与极限定义：定义：设矩阵序列设矩阵
13、序列 ，其中，其中38学习资料 ，如果，如果 个数列个数列都收敛，则称矩阵序列都收敛，则称矩阵序列 收敛。收敛。 进一步，如果进一步，如果那么那么 我们称矩阵我们称矩阵 为为矩阵序列矩阵序列 的极限的极限。 39学习资料例例 ：如果设如果设 ，其中，其中那么那么40学习资料定理：定理： 矩阵序列矩阵序列 收敛于收敛于 的充分必的充分必要条件是要条件是其中其中 为任意一种矩阵范数。为任意一种矩阵范数。证明：取矩阵范数证明：取矩阵范数必要性：设必要性：设 41学习资料那么由定义可知对每一对那么由定义可知对每一对 都有都有从而有从而有上式记为上式记为42学习资料充分性：设充分性：设那么对每一对那么对
14、每一对 都有都有即即43学习资料故有故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立现在已经证明了定理对于所设的范数成立，如果，如果 是另外一种范数，那么由范数是另外一种范数，那么由范数的等价性可知的等价性可知44学习资料这样，当这样，当时同样可得时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。因此定理对于任意一种范数都成立。 同数列的极限运算一样，关于矩阵序列同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。的极限运算也有下面的性质。（1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。（2）设）设45学习资料则则（3）设）设，其中，其中 ，那么，那么 （4）设）设 ，其中
15、，其中 46学习资料那么那么（5）设）设 ，且，且 ， 均可均可逆，则逆，则 也收敛，且也收敛，且例例 1：若对矩阵若对矩阵 的某一范数的某一范数 ，则，则47学习资料例例 2：已知矩阵序列：已知矩阵序列： 则则 的充要条件是的充要条件是 。证明：证明： 设设 的的Jordan标准形标准形其中其中48学习资料于是于是显然，显然， 的充要条件是的充要条件是又因又因49学习资料其中其中50学习资料于是于是 的充要条件是的充要条件是 。因此因此 的充要条件是的充要条件是例例 3 ：设设 是是 的相容矩阵范数，则对的相容矩阵范数，则对任意任意 ，都有，都有 矩阵的幂级数矩阵的幂级数51学习资料定义：定
16、义：设设 ，如果，如果 个常数项级数个常数项级数都收敛，都收敛， 则称矩阵级数则称矩阵级数收敛。如果收敛。如果 个个常数项级数个个常数项级数52学习资料都绝对收敛，都绝对收敛， 则称矩阵级数则称矩阵级数绝对收敛。绝对收敛。 例例 ： 如果设如果设 ，其中，其中53学习资料那么矩阵级数那么矩阵级数是收敛的。是收敛的。54学习资料定理：定理：设设 ，则矩阵级，则矩阵级数数绝对收敛的充分必要条件是正项级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中收敛，其中 为任意一种矩阵范数。为任意一种矩阵范数。证明：证明：取矩阵范数取矩阵范数 55学习资料那么对每一对那么对每一对 都有都有因此如果因此如果收敛，则
17、对每一对收敛，则对每一对 常数项级数常数项级数56学习资料都是收敛的，于是矩阵级数都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。绝对收敛。 反之，若矩阵级数反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对绝对收敛，则对每一对 都有都有57学习资料于是于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。正确。58学习资料定义：定义：设设 ，称形如，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。的矩阵级数为矩阵幂级数。59学习资料定理：定理：设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为为为 阶方阵。若阶方阵。若 ，则矩阵幂级数，则矩阵幂级数 绝对收敛；若绝对收敛；若 ，则，则 发散。发散。 60学习资
18、料证明：证明： 设设 的的Jordan标准形为标准形为其中其中于是于是61学习资料所以所以62学习资料其中其中63学习资料64学习资料当当 时，幂级数时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝绝对收敛。对收敛。65学习资料当当 时，幂级数时，幂级数发散，所以发散，所以 发散。发散。定理：定理：矩阵幂级数矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是绝对收敛的充分必要条件是 。且。且其和为其和为 。66学习资料例例 1 ： （1）求下面级数的收敛半径）求下面级数的收敛半径（2）设）设判断矩阵幂级数判断矩阵幂级数 的敛散性。的敛散性。解：解：设此级数的收敛半径为设此级数的收敛半径为
19、 ，利用公式，利用公式67学习资料容易求得此级数的收敛半径为容易求得此级数的收敛半径为2。而。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数。所以由上面的定理可知矩阵幂级数绝对收敛。绝对收敛。例例 2 ： （1）求下面级数的收敛半径）求下面级数的收敛半径68学习资料（2）设）设69学习资料判断矩阵幂级数判断矩阵幂级数的敛散性。的敛散性。例例 3 ： （1）求下面级数的收敛半径）求下面级数的收敛半径（2）设）设70学习资料判断矩阵幂级数判断矩阵幂级数的敛散性。的敛散性。例例 4 ：构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。但是其极限矩阵不可逆。71学习资料解：解：显然每一个显然每一个 均可逆，但均可逆，但是其极限矩阵是其极限矩阵72学习资料却不可逆。却不可逆。73学习资料
