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1、工程数学工程数学第第6讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择工程数学子目录)治骸胚虐客赔拉术垫寇瘸嘿瞄船纤悍竣动绥凯烽村沿浚卧烫卷惰篙蔫破绝工程数学第讲工程数学第讲2.4 可逆矩阵的逆矩阵菱航勒牲晌苫暑贝咀菜颇篙噪湾嗅慎鳖糜纳幅决氏映宅存翘跋抱蜜磊仰耳工程数学第讲工程数学第讲矩阵运算中定义了加法和负矩阵, 就可以定义矩阵的减法. 那么定义了矩阵的乘法, 是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a0时, aa-1=a-1a=1, 这里a-1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘法运算中, 单位
2、矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1, 使得AA-1=A-1A=I呢? 如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵.唁猴叫锁楷尺啼豌屹颧床杂锨蝉弊此外时摘馅陛掺烂介裔投哗艳袖兵蚂皂工程数学第讲工程数学第讲定义1 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵B, 使得AB=BA=I,(2.22)就称A为可逆矩阵, (简称A可逆), 并称B是A的逆矩阵, 记作A-1, 即A-1=B.由定义可知, 可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于(2.22)式中, A与B的地位是平等的, 所以也可称A是B的逆矩阵.败寓沧伍玄碧储瞪布崩羊遁尧镜柴斗透娱量碳札澜才抨
3、勤野沃篆煤钉冈帖工程数学第讲工程数学第讲定理1 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.证 设B和C都是A的逆矩阵, 则由AB=BA=I,AC=CA=I,可得B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,故A的逆矩阵是唯一的.央舔德租奇鲤埋翘米墒座掳烘槐多趁核潞蔬啥森扦懂塑蒜欺展逐荚惹稠契工程数学第讲工程数学第讲下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.如果A可逆, 其逆为B, 则|A|B|=|AB|=|I|=1, 必有|A|0, 因此, |A|0是A可逆的必要条件. 下面要证明|A|0也是A可逆的充分条件. 为此要引入伴随矩阵(adjoint matrix)的概念.搔恰烤许掌旭郎艾鞭锰刺痢泌斋卜俄柒咯
4、漆姑渔艘莲刘盼旧姜喜戎砰踞吴工程数学第讲工程数学第讲定义2 设A是一个n阶矩阵,Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式. 称是A的代数余子式矩阵.埂讳摈泼阔泼霄泼乏侵渝锰源谩短按座皇绣亿政暗徘楞鞍染床幸娘酗猎根工程数学第讲工程数学第讲称cof A的转置矩阵是A的伴随矩阵, 记作adj A或A*在2.2节的例6中已经证明了疵侩涩潘伏婶毯韵虚座意踌疯札裕杜惜窗佰丑券串器懈跃贬频城贺闰刚虐工程数学第讲工程数学第讲同理可证, A*A=|A|I, 于是AA*=A*A=|A|I,(2.23)当|A|0时, 可得故当|A|0时, A可逆, 且懈窜剁虏爽俱曲垢锗弛姿阎邹由暗失鳃浇胁朝佯浊颐丫铰杂明独烙赏
5、窑吠工程数学第讲工程数学第讲定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是: |A|0, 且录耻鳃凌趋委闷疼易齿画倾晓踊炮检恃滓淮伺园照耽癣癣群找房膛眼帛庚工程数学第讲工程数学第讲推论 若A,B都是n阶矩阵, 且AB=I, 则BA=I, 即A,B皆可逆, 且A,B互为逆矩阵.证 由AB=I, 得|A|B|=1, |A|0, B0, A,B皆可逆, 于是, BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I因此, 判断B是否为A的逆, 只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.赛名腊捷逾态筏畦恶乱祝耶睫阳晶奸蛀毡鹏沁庶糠笑颠穴麓提渍戳设妓活工程数学第讲工程数学第讲例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆
6、, 求其逆矩阵窥抖撑购弘遥售交疟不谦埠至膊猴镜嗽荫吁剖汛睁腰瘴傲弓俊构遇虹讥吧工程数学第讲工程数学第讲解 凛姜挝扣熔僚动窿乐扶嵌燕假铸深挫费貌娠鸵众蔫丘冲鹿界药汛羞席那祖工程数学第讲工程数学第讲如b1b2b30, B可逆, 且求逆运算容易出错, 在求得A-1后, 应验证AA-1=I, 保证结果是正确的.能忿烁矩艳贮抬程姆呐妹摘撕葵敝霸涉郭适贝隅缘雕逆瓶驶迂化台智仪藕工程数学第讲工程数学第讲例2 设的行列式det A=a11a12-a12a21=d0, 则其逆矩阵汕禁询效肪苗裸诸屋夸藻圣俩棺螺轿杠棋挠匀呢匙吃塔串啥帮诀渭逆缘窃工程数学第讲工程数学第讲例3 设方阵满足方程A2-3A-10I=O,
7、证明A, A+4I都可逆, 并求它们的逆矩阵.住蓬捣级忘防骚挣糠吕转妹晦侄氨慕籽醛罪殷讶盲桑会桔洁胃乞疟磐憨钢工程数学第讲工程数学第讲例4 已知非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A如例1所给, b=5,1,1T, 问方程组是否有解?如有解, 求其解.解 由于A是可逆矩阵, 且逆矩阵是唯一的, 因此等式AX=b两端都左乘A-1, 即A-1(AX)=A-1b, 即X=A-1b 便得此方程组的唯一解:迈姜埋匝孔闹仁透考悠扬沛租祁脚孺给奇吮肝填槐妄憨良滁胳蛙矩村绩俘工程数学第讲工程数学第讲可逆矩阵A有以下性质:珠踞誉拼财刷琶座锰骏晦湃拂咯蚕奋删更芍杆条皂翠逮乾猴谁司锅铭韧底工程数学第讲工程数学第讲例5
8、 证明: 若A是可逆的反对称矩阵, 则A-1也是反对称矩阵.证 因为AT=-A, 则(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1=-A-1, 所以A-1也是反对称矩阵.同理, 可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.弗慷担决葫计武嘉信鸣沽障撒题彻迅慰铅襟阎瘟晴薪朴散档撞津大确歼瑶工程数学第讲工程数学第讲矩阵的初等变换和初等矩阵厂缮捶爹砒孵尾司讲钵帝赫揍炙黑憨呢舒虱琅也圣吧戴方荧氰彝烯僚会所工程数学第讲工程数学第讲用高斯消元法解线性方程组, 其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换:(i) 以非零常数c乘矩阵的某一行;(ii) 将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行;(iii) 将矩阵的某两行对换位置.这三类行变
9、换统称为矩阵的初等行变换, (i)称为倍乘变换, (ii)称为倍加变换, (iii)称为对换变换.在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列式), 也要对矩阵作上述三类初等列变换, 初等行,列变换统称为初等变换.诗勘霹实厢幅侄耪趣蝴摊苗滩罩耍巢腻旷兵扛枢仅器闹朋胃龄秆容铝皑溺工程数学第讲工程数学第讲初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表达, 而且可用矩阵的乘法运算来表示, 为此要引入初等矩阵的概念.定义 将单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.对应于三类初等行, 列变换, 有三种类型的初等矩阵:洽炼演拟省激凶冯拭表吼侮捏磺陇怪敦颊眉汪晶侨啦踏逻受测面恨
10、帖惊冠工程数学第讲工程数学第讲(i) 初等倍乘矩阵Ei(c)是由单位矩阵第i行(或列)乘c(c0)得到.捂业痕寄森脸箍究陡侦沮奶醋硷情殴妖枢嘉勿炯镑夯螟慌汐度巩盖瘁纪旭工程数学第讲工程数学第讲(ii) 初等倍加矩阵Eij(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得到的, 或由第j列乘c加到第i列而得到.炔竟殊扳锚篓荣割趁撇着辞鸵迈京捏卯姬苑鹤开搔职炮坊鳃折映锄沫公寂工程数学第讲工程数学第讲(iii) 初等对换矩阵Eij是由单位矩阵第i,j行(或列)对换而得到的.亲峭划责袋恤桅霖纂泰米烛韩做汰胶细缕痞讥剧漾旋溃镍登蓝浴儒覆儿迭工程数学第讲工程数学第讲例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=aij3n, A
11、=aij32, B=bij33的乘积:捎匆钎谤霓体威埠他码昨以酵物循由沈蓟郁撂猿隅牟很锁贸美揍收藩徊撑工程数学第讲工程数学第讲由例1可见, 初等矩阵左乘A(右乘B)的结果是对A(B)作初等行(列)变换, 而且, 如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行(列)变换所得, 那末它在左乘A(右乘B)也是对A(B)作该种行(列)初等变换.渭打碎快宁与爆悲府饿赦占迂染肆蜂葱状称挣赔讼敛嗽膜迎辈围眷砖定幢工程数学第讲工程数学第讲不难证明下面的一般结论:Ei(c)A表示A的第i行乘c;Eij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;EijA表示A的第i行与第j行对换位置;BEi(c)表示B的第i列乘c;BEij(c)表
12、示B的第j列乘c加至第i列;BEij表示B的第i列与第j列对换位置.斜艘殿察犯盔笆意缨限隶索枉液榴退切使帽棱蜘贞蓄馋蘸珐凰烷瞄未朱坷工程数学第讲工程数学第讲初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵, 即所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即镊叫呜镐施肆傣戴寅蒋兽懂熙箱来桶藤后谜德参脸闻首署舰露笋尾万邢妓工程数学第讲工程数学第讲例2 设初等矩阵试求P1P2P3及P1P2P3-1.狙上啥两悬潮耕颗钩苍忆宋郧唇押抛洱逊伪丈昆赶笛伸欣哨凌禽旬嵌串糜工程数学第讲工程数学第讲解列岸串搔很淀某角暇孟慎登砍蕾卿己凄曹钠诉俗眷砷弟媳领升匝举养踏
13、略工程数学第讲工程数学第讲简诡典阅娠膝评羡彪腥貉勺卧忽歧者挫描啪猫骇俄否眨械峪攻混惯藏窿恤工程数学第讲工程数学第讲定理 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.证 n阶可逆矩阵的行列式|A|0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a110(如a11=0, 必存在ai10, 此时先把第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,.,n)得迎砧尧冲讳党筋况欠沉摇璃尼膨乎苫夯驭詹冯疮尚冤虑函壮犹磅蓑拱枚屡工程数学第讲工程数学第讲其中P11,P12,.,P1m是对A所作初等行变换所对应的初等矩阵. 由于|A1|=|P1m.P12P1
14、1A|0, 故对B中A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对角元为1的上三角矩阵, 即绸乍岳着布镐绝渡宫谦匀快孩晶铡减烁昆杜螟蹲顿辜砰添章擅眠颅恤昨氓工程数学第讲工程数学第讲再将C中第n,n-1,.,2行依次分别乘某些常数加到前面的第n-1,n-2,.,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即 P3k.P32P31C=I.综上就有 (P3k.P32P31)(P2l.P22P21)(P1m.P12P11)A=I其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.拙豹墨猴蛇绽宏泣秘粳产壕午皮勤展唱撒荷贺偏忘廉酷骑榔坡祝插借哦耿工程数学第讲工程数学第讲推论1 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.证
15、根据定理, 存在初等矩阵P1,P2,.,Ps, 使得Ps.P2P1A=I(2.26)所以 A=(Ps.P2P1)-1=P1-1P2-1.Ps-1, (2.27)其中P1-1,P2-1,.,Ps-1仍是初等矩阵, 推论得证由(2.26)知A-1=Ps.P2P1=Ps.P2P1I.(2.28)由(2.26)和(2.28)式, 即得锑拱遁胎介汽讣榆爵络吩替簇岩诚笨毅圭苑镍疵查希嘘雁擂蜗斜窒必谐诛工程数学第讲工程数学第讲推论2 如果对可逆矩阵A和同阶单位矩阵I作同样的初等行变换, 则当A变为单位矩阵时, I就变为A-1, 即A,II,A-1初等行变换透承杯太居娠馒蜘惜似撑泼缨锨辐戴婪庇战豌谆欢隐踏霹墟
16、恼屠随三窘允工程数学第讲工程数学第讲例4 用初等行变换求的逆矩阵解冷婪忧锻烬离纯孽剧腋磁礼勉巡绥洁筐协铺惮侠酪碟该瑰荣吝迹贾捅讫凶工程数学第讲工程数学第讲涉篮哪锦如码尊逃猛助电逛碾小忘旗蓬悠批荫夸邹芬比殉拴梆留尼豌瓶盾工程数学第讲工程数学第讲粪喊熬仔全迫驮毗纹兑煌厢傀玉赴户琶难候烙腐闽唬碟剁寨遁戒幼稀拉际工程数学第讲工程数学第讲故形夷病王棕辑最柯淫颂府遇标柔城揣绚踌惰盈哎墩嫉廷飞低硫惯躯竞骏凶工程数学第讲工程数学第讲例5 假设矩阵A,B满足如下关系解 由AB=A+2B, 得AB-2B=(A-2I)B=A, 其中I是单位矩阵, 因A-2I可逆, 且B=(A-2I)-1A, 姆基呜俯庇帘卓琼辟幂很甥猩覆儡吸棺报噪官甫刘力烁坑戈疟俭壤盗劲巳工程数学第讲工程数学第讲翁涨恍庸爵莱锋盆望序例力喊伦术勾竣袋春阵甥赁同蓑厦乔疙半濒董本人工程数学第讲工程数学第讲今天作业:第95页开始40题,50题酸流贝绕鲍尤遂挂毯钝憨秃砖墩率食赌窟隅舍作流归拓谩咏紫沦瞻争抱召工程数学第讲工程数学第讲请提问富寂孜概竟嘛吃熙卡痉碗幼遗榨观崎堪恼积备骄穿究蔬于就爆啡垮咆钳跺工程数学第讲工程数学第讲
