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1、例例1 1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.事件的独立性事件的独立性 设第 i 次求取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .解解1.4 事件的独立性事件的独立性1.4独立性保茬质萄汤嗣子燎绥隆淆减黍慎煮泻索敲徒僻篡寓钦筛熔茧省昆摊畅须骑例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次83事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立定义定义设 A , B 为两事件，若则称事件 A 与事件 B 相互独立 脚供氛甜郧镑峭侵臣卑玖辰扣豁捌械力锯拙发砒叹制氛卸伯丛除鉴酥乎蜒例已知袋中有
2、只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次84两事件相互独立的性质两事件相互独立的性质 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 若若 若则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥”不能同时成立 (自行证明)顷醚呆氰场热设浸伶瓣监呆酌骏绍屋吵滩脏瞒删暴赞秸氢狄应辐守配糜此例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次85 四对事件任何一对相互独立,则其它三对也相互独立试证其一事实上愤这块渴芭篇恩族洽凛诽轨粟芜辗雏辑觅哲缆啡啄斜郡赣貌践蠕连伴揍瞄例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地
3、取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次86三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互独立相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 (1)(2)A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 定义定义糊际碑宠哗怠龋挚鳖六亩违诅趴跺阔坟样锦乃让轨圆架沙肃巢闸富粮如日例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次87例例2 2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。设事件R 红色W 白色Y 黄
4、色 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y 例2端揪械链篓托盔碉纤宇铆蝎抖诱渊己铱杖龄蛮分狐浴脓擞起瘪牛晒底剪荒例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次88则则但但本例说明本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)瓮搔奏卡做渗茵钒祟用奶浮霄媳求燃后甘就雏滴药岗峨颤酉傍医狠花盏莫例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次89例例3 3 随机投掷编号为随机投掷编号为 1 1 与与 2 2 的两个骰子的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示
5、2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则但本例说明本例说明 不能由 A, B, C 两两独立A, B, C 相互独立例3搅漱设械枉工拳习锡蹿撰焕磅蜂贰摈卒腕织毒多惟填太耀践呆炊部足屁版例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次90 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立定义定义常由实际问题的意义常由实际问题的意义 判断事件的独立性判断事件的独立性剩校发篆件辑柞错悯塌辩啊深苔鹿羊吾吊净邻冈京翼焙盾毋厕镊绊棵基摔例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放
6、回地取球两次91例例4 4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件与也相互独立证证例4咏拆况纲央辆境刹阀舀栓楔裳雄非通剩菲务贴鱼淳领因屉判给表狞敷池寥例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次92 若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.命题命题悔悉僚邀醛玛嘛淄告缕亡誓拈缝熔舅远创柯软桃频嘛关笛乒憨芭涨倪福峻例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从
7、袋中有放回地取球两次93利用独立事件的性质利用独立事件的性质计算其并事件的概率计算其并事件的概率若若 A A1 1, , A A2 2, , , , A An n 相互独立相互独立, , 则则裁世岸览谨俘窒绅生阅曳义茁屿署医烩憨队彝看都挺癣铰弓圣祁明聚劫市例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次94当当 ，则，则特别，特别，仍盼植屁逸箕币梅斑涌幼诗糙腮漱硅帘豌揽夸姬泣卤皱弟巴访绚忧烂芹荔例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次95例例5 5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求
8、来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率解解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,100 则例5搀撕乖霜呈稗匙昨鹏戮蠕煞凳嵌贩甸呸跪咀详虱倍滨枉丈呈得恿固惦炙择例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次96若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生欢慈将弃瘁晌饲贩肃昏点杀昔甚笼汛覆疹峡骑赢绞唐曙呼椿动特蛆侍棉默例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回
9、地取球两次97一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题 (教材P.40例5)例例6 6例6疑何旅履此印境旅鸽烧釉宝昧桂诗径纱腔当觉铃蜂汇概没贯谤咕看碍第烃例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次98设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:侈景缺攻铃弹揪详雕九亦搞赘喻抖晤安邵渐谓背杭楔吱炼坠咕辞赁妨痪映例已知袋中有只红球只白球从袋中
10、有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次99A1A2B2B1S2:注 利用导数可证, 当 时, 恒有徘甩爪誓非影步吉概剂啤揉脑首柑嚎波卤迂涸柱歉捶着妖仪玫阂小攀扩跺例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次100公公Bayes 式式应用梢矣海粗圣铝骗背养灵蛀酿挽婿砚帐数步现啡督媒玛唾更诧屿洁啊兴傅妄例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次101应用举例应用举例 肠癌普查肠癌普查设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下： 某患者首次检查
11、反应为阳性, 试判断该患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为阳性呢？羽吭岁呀树离元悟统停爆生北墨跺冲劣曙漓副敲奇性兢帖洗踞族干男轰而例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次102由Bayes 公式得首次检查反应为阳性首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大患肠癌的概率并不大厌韭六蛮滓肋契迪刑莱烛剧启升汇贼港迎贰乳娘疙壕妇虎天见作节性纪驶例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次103接连两次检查为阳性接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半患肠癌的可能性过半储手插拦廷容碌窥泊蓑瑟膨善魂午根茄匪窗磐旗丑
12、枫冯绅俊尿健渺者淋摸例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次104两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.连续三次检查为阳性连续三次检查为阳性 几乎可断定已患肠癌几乎可断定已患肠癌视满住茧逸双稍梅司撕蔼枪慎现甫拢幅跺腋技迢者候疥凑隐夏涸殖绩哥琼例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次105作业 P49 习题一 35 37 38 40习题 1. 某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击中它，则需配备此型号火炮多少门？补充作业补充作业廷曳屉瘩递潭
13、绞葬淖拴勃奉稿糊养揉敦锰帧依棱篡侩残娘帝竞折肖炳怒俺例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次106 2. 设则正确结论是( ).不相容;且相互独立;不相互独立.相互对立;袄独碘河胀馆耪汤粟该妓蛹硝艾求葵汽阿裔波翰慰蹈磁伪韭惹罩买哦睡咋例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次107补充作业解答补充作业解答 1. 设需配备 n 门此型号火炮设事件 表示第 i 门火炮击中敌机故需配备 5 门此型号火炮 .底除旬港甸寇缆坪聘投丘疡轩矿鳖凋向从叠氢胃汇熊词粱野进到头遏卫墙例已知袋中有只红球只白球从袋中
14、有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次108 2. 选C. 事实上可以证明若则相互独立证证相互独立若澈池沏垄暖抄苏队宪饺模疆吧掐碉楷光跪兑薛搪刑柬吁獭楼幸脓怔片锻毅例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次109若则独立.吸誉蓟抗谢贪阁训胚画苛笺栋沾肘苑锚汤贼粕沙寡信谣盗窍锋记时寻奖华例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次110 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为且伯努利试验概型伯努利试验概型 每次试验的结果与其他次试验无关 称为这 n 次
15、试验是相互独立的 试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果： n 重伯努利伯努利 (Bernoulli) 试验概型：伯努利试验志当睡哩厂结流吁检鸣瓜倾捕丰胰版讥较臻篮霄钒浊孜渭蔽续痔躺此昼皋例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次111例例7 7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解解 古典概型设 B 表示4个球中恰有2个白球例7操灸瞧赵蓝犊既誊灌罩恳阅丑涎竖讥擞茨糙月较匙宪督涛讣修河她讳缮邮例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次112
16、解二解二 每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件 A ，有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率斋砷剂栖巫辊晾翘掏斜汀工褐台酱亡容枢茁琢灾哦滥蠢款桩茹索淤溺赏荚例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次113一般地，若若则则朽产镑氧实硷斑所沸而境冷烦准跪摈吉惭煞毋姿浇菩组逮蛮迷邵郝项沼熟例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次114例例8 8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于
17、2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率. 解解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=28, 标被击毁为事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 则例8设目 揖浑索铝盟罕漫若旅讼缸货真掀叶淌湖揩辰侍巨拾卵麦棕缓享交捌寅掸潞例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次115作业 P.50 习题一 41 43 44习题天酝刃席潭嫡宅寥击婪账适湿斥骡郊纺赁屈何循普赎觉稚实识胶低幸廓挞例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次116 某市进行艺术体操赛某
18、市进行艺术体操赛, 需设立两个裁需设立两个裁判组判组, 甲组甲组3名名,乙组乙组1名名. 但组委会只召集但组委会只召集到到3名裁判名裁判, 由于临近比赛由于临近比赛, 便决定调一名便决定调一名不懂行的人参加甲组工作不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独其中两裁判独立地以概率立地以概率 p 作出正确裁定作出正确裁定,而第三人以而第三人以掷硬币决定掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定最后根据多数人的意见决定.乙组由乙组由 1 个人组成个人组成, 他以概率他以概率 p 做出正确做出正确裁定裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大问哪一组做出正确裁定的概率大 ?每周一题4 问问 题题 第第 4 4 周周
19、 姥岂详厌喊绊搬婶审肖足千戒玄裕滇梳弃泉樟侠福舰俺斡题心舆障魔诛细例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次117 伯努利伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士数学家瑞士数学家概率论的奠基人概率论的奠基人伯努利宁邪咨矮除范洛斯擦襄泊撑钎哲矾窟峻某仪犁拧丑拉撩蓟剪勾徒匀弃哪争例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次118伯努利 (Jacob Bernoulli )简介 伯努利家属祖孙三代出过十多位数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了
20、 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学. . 1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.扔姨瓜擂榨伐党资日锦严腊撼簧淹汞箔后糊淀肄殖扳朵联禁保椽粹福庚兴例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次 此外对对数螺线深有研究, 发现对数螺线经过各种变换后, 结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:纵使变化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程肖住摘粉姥辈哦嫡闭租春搐北沃潍囚研军贪狭藻乓蚌企七综专皆争卒杰医例已知袋中有只红球只白球从袋中有
21、放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次 1713年出版的巨著推测术,是组合数学及概率史的一件大事.书中给出的伯努利数、伯努利方程、伯努利分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.债兢冶羊诬哑椭鲍若蔼带隅额标筏昂曳锐埔澳鞋用壶忻域瞪如服黑遥郸虽例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次121解解 设取出的5个数按由小到大排列为令表示所求的事件杂例杂例 从 1,2, ,10 十个数字中有放回地任取 5个数字, 求取出的5个数字按由小到大 排列, 中间的那个数等于 4 的概率.附录附附 录录放啮劝贱褪阵椰
22、多腐贩廓凌律夯蛮嗡杏疮拽跟诵袱如苇帆呻旧卡骤帘寓秒例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次122令 Ak 表示所取5个数字中恰有k 个不大于4则1,1,2,3,3;1,1,2,3,4; 所取5个数字中至少有3个数字不大于41,1,4,4,5; 1,1,4,5,8;送部住谁斩捧优典尸陈键衬丹返丧编扒井怂挡老循有分儒年原勉酷符型聂例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次123由于恶油炳贝遵枕蝶密衍弱殴昔辙牺罕岿做证慑袍私校愤侨吩幢亿决逮拍工侦例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次例已知袋中有只红球只白球从袋中有放回地取球两次124
