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1、 第九章第九章 第九章第九章 重重 积积 分分二重积分的计算二重积分的计算三重积分的概念及其计算（三重积分的概念及其计算（1 1）三重积分的计算（三重积分的计算（2 2）二重积分的应用二重积分的应用二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1 第九章第九章一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章 2 第九章第九章利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X 型区域型区域 则则后积先定限，后积先定限，限内
2、划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。3 第九章第九章若若D为为Y 型区域型区域则则后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。思路：先确定积分次序，然后再确定积分限。思路：先确定积分次序，然后再确定积分限。4 第九章第九章说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , 为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域
3、 , 则则 5 第九章第九章面积元素面积元素利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分6 第九章第九章域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点.r型区域：型区域： 穿过区域且穿过区域且r常数的圆周常数的圆周与区与区基本简化区域的定义基本简化区域的定义域边界相交不多于两个交点域边界相交不多于两个交点. 型区域：型区域： 穿过区域且穿过区域且 常数的射线常数的射线与区与区后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。同样适用：同样适用： 常用！常用！重点掌握重点掌握7 第九章第九章二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的
4、公式（）区域特征区域特征极点在区域的外部极点在区域的外部后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。8 第九章第九章区域特征区域特征极点在区域极点在区域的外部（特殊情形）的外部（特殊情形）后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。9 第九章第九章二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征区域特征极点在区域的边界上极点在区域的边界上后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。10 第九章第九章极坐标系下区域的
5、极坐标系下区域的面积面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征区域特征极点在区域的内部极点在区域的内部后积先定限，后积先定限，限内划条线，限内划条线，先交为下限，先交为下限， 后交为上限。后交为上限。11 第九章第九章(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条
6、线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式12 第九章第九章第四节第四节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算预备知识预备知识 空间的三个坐标系空间的三个坐标系小结小结三重积分的概念三重积分的概念在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分13 第九章第九章一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想, 采用采用 引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和
7、近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M .密度函数为密度函数为14 第九章第九章定义定义. 设存在存在,称为称为体积元素体积元素, 若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作下列下列“乘乘积和式积和式” 极限极限记作记作15 第九章第九章- 的体积的体积几何意义几何意义 物理意义物理意义- 的质量的质量-区间区间a,b的长度的长度-平面区域平面区域D的面积的面积联想联想的度量的度量概括概括三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。注意注
8、意16 第九章第九章直角坐标系中的坐标平面：直角坐标系中的坐标平面：y=常数常数 一组平行于一组平行于XOZ的平面的平面x=常数常数 一组平行于一组平行于YOZ的平面的平面z=常数常数 一组平行于一组平行于XOY的平面的平面直角坐标系中的体积元素：直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz（1）直角坐标系）直角坐标系二、预备知识二、预备知识 空间的三个坐标系空间的三个坐标系17 第九章第九章面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限直角坐标系中的体积元素：直角坐标系中的体积元素：dV=dxdydz18 第九章第九章规定：规定：（2）柱坐标系）柱坐标系19 第九章第九章 柱
9、面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三組坐标曲面分别为如图，三組坐标曲面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面20 第九章第九章21 第九章第九章如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为22 第九章第九章2. 柱坐标系中的坐标：柱坐标系中的坐标：1. 平面上的极坐标系平面上的极坐标系+Z轴轴3. 柱坐标与直角坐标的关系：柱坐标与直角坐标的关系： 4. 柱坐标的取值范围：柱坐标的取值范围：柱坐标系要点柱坐标系要点23 第九章第九章请观察柱坐标系下的坐标曲面：请观察柱坐标系下的坐标曲面： =常数常数 过过Z轴的半平面轴的半平面z=常数常数 平行于平
10、行于XOY面的平面面的平面r=常数常数 以以Z轴为中心轴的柱面轴为中心轴的柱面所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为：其体积为：几何解释几何解释24 第九章第九章1 球坐标系下的坐标：球坐标系下的坐标：2 球坐标与直角坐标的关系：球坐标与直角坐标的关系：3 球坐标的取值范围：球坐标的取值范围：几何解释：几何解释：（3）球坐标系）球坐标系25 第九章第九章规定：规定：三坐标面分别为三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面26 第九章第九章球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，27 第九章第九章28 第九章第九章球面坐
11、标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，29 第九章第九章二重积分的二重积分的几何意义几何意义：二重积分的二重积分的定定 义义：二重积分的二重积分的物理意义物理意义：平面薄片：平面薄片D的质量的质量 知识回顾知识回顾二、三重积分的概念及其计算方法二、三重积分的概念及其计算方法30 第九章第九章1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 先假设连续函数先假设连续函数 引出下列各计算方法：引出下列各计算方法：31 第九章第九章投
12、影法（先一后二法）投影法（先一后二法）如图如图32 第九章第九章得得33 第九章第九章注注意意Z 型区域型区域 34 第九章第九章解解35 第九章第九章36 第九章第九章解解如图如图37 第九章第九章为底为底, d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为该物体的质量为该物体的质量为面密度面密度记作记作截面法（先二后一法）截面法（先二后一法）Z=C去截去截38 第九章第九章39 第九章第九章40 第九章第九章解解41 第九章第九章原式原式42 第九章第九章解解如图如图先先对积分，再求分，再求上二重上二重积分分, 43 第九章第九章44 第九章第九章小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”具体计算时应根据具体计算时应根据三种方法三种方法(包含包含12种形式种形式)各有特点各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择. 45 第九章第九章选择题选择题:思思考考题题46 第九章第九章思考题解答47
