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1、考点函数的综合应用考点函数的综合应用1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组五年高考答案答案B设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x2001.12xxlg1.12lg0.05x0.19x3.8,故该公司全年投入的研
2、发资金开始超过200万元的年份是2019年.评析评析熟练应用对数运算法则是解题的关键.2.(2015北京,8,5分)汽车的“燃 油 效 率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案答案D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选
3、项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错;对于选项D:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.3.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则 该 市 这 两 年 生 产 总 值 的 年 平 均 增 长 率 为()A.B.C.D.-1答案答案D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底
4、的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1,故选D.4.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15m,AC=25m,BCM=30,则tan的最大值是.(仰角为直线AP与平面ABC所成角)解析解析过点P作PNBC于N,连接AN,则PAN=,如图.设PN=xm,由BCM=30,得CN=xm.在直角ABC中
5、,AB=15m,AC=25m,则BC=20m,故BN=(20-x)m.从而AN2=152+(20-x)2=3x2-40x+625,故tan2=.当=时,tan2取最大值,即当x=时,tan取最大值.答案答案5.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立
6、平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.解析解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.当t(5,10
7、)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.评析评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.考点函数的综合应用考点函数的综合应用1.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)0时,易知f(0)=0,x0时,f(x)=x(1+a|x|)0,于是f(0+a)0=f(0),而由已知A可得0A,即f(0+a)0也不满足条件,故a0.易知f(
8、x)=在坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示,由图可知满足不等式f(x+a)f(x)的解集A=(xC,xB).由x(1-ax)=(x+a)1-a(x+a)可得xC=;由x(1+ax)=(x+a)1+a(x+a)可得xB=-.A=(a0).由A得解得a0.故选A.评析评析本题主要考查函数图象及图象变换,着重考查运算能力、推理能力及分类讨论、数形结合等重要数学思想.2.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的
9、最小值为()A. B. C.D.答案答案B当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.当xy时,若|x-y|,依题意有|f(x)-f(y)|,不妨设xy,依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|,|f(x)-f(y)|-=.综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|.因此,k,即k的最小值为,故选B.3.(2017浙江,17,5分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.答案答案解析解析本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想.设g(x)=x+-a
10、,x1,4,g(x)=1-=,易知g(x)在1,2上为减函数,在2,4上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a.(1)当a4时,|g(x)|max=5-a,f(x)max=|g(x)|max+a=5.a4符合题意.(2)当4a5时,|g(x)|max=maxa-4,5-a=当a5时,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去),当4a时,f(x)max=5-a+a=5,45时,|g(x)|max=a-4,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去).综上,实数a的取值范围为.4.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上
11、单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案答案解析解析对于,f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex2-x=,函数y=在(-,+)上单调递增,符合题意.对于,f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex3-x=,函数y=在(-,+)上单调递减,不符合题意.对于,f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=exx3,令y=exx3,则y=(exx3)=exx2(x+3),当x(-,-3)时,y0,函数y=ex(x2+2)在(-,+)上单调递增,符合题意.符合题意的为.思路分析思路分
12、析审清题意,逐项代入检验即可.方法总结方法总结判断函数单调性的一般方法:(1)定义法.(2)图象法.(3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性.(4)导数法.具体步骤:确定函数的定义域;当f(x)0时,f(x)为增函数,当f(x)0,解得x2.3.xN*,x3,3x6,xN*,当x6时,y=50-3(x-6)x-115,令50-3(x-6)x-1150,即3x2-68x+1150,上述不等式的整数解为2x20(xN*),6x20(xN*).故y=定义域为x|3x20,xN*.(2)对于y=50x-115(3x6,xN*),显然当x=6时,ymax=185;对于y=-3x2+68x-115=-
13、3+(6185,当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.评析评析本题考查分段函数、二次函数的函数模型,利用一次函数、二次函数的单调性解决最值问题是解决本题的关键.1.(2017四川自贡一诊,12)设函数f(x)=ex(3x-1)-ax+a,其中a1,若有且只有一个整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B. C.D.B B组组2016201620182018年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组(时间:15分钟分值:20分)选择题(每题5分,共20分)答案答案D令g(x)=ex(3x-1),h(x)=ax-a,则f(x)=g(x)-h(x),使得f(x)0的整数即使得
14、g(x)h(x)的整数.因为g(x)=ex(3x+ 2 ) , 当x-时,g(x)-时,g(x)0,g(x)单调递增,且当x-时,g(x)0,于是,可作出函数g(x)的图象(如图),当a0时,使得g(x)h(x)的整数有很多个,要使g(x)0,且必须使得解 得a1.故选D.2.(2016贵州兴义二模,10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克
15、/年),则M(60)=()A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克答案答案D由题意M(t)=M0ln2,M(30)=M02-1ln2=-10ln2,M0=600,M(60)=6002-2=150(太贝克).故选D.3.(2016辽宁沈阳一模,8)某人在三个时间段内,分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一,如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v1,v2,v3,则该人整个行程的平均速度是()A.B.C.D.答案答案D设整个行程为3s,乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t1,t2,t3,则t1=,t2=,t3=,整个行程的平均速度为=,选D.4.(2016广东广州模拟,7)在等腰三角形ABC中,AB=AC,D在线段AC上,AD=kAC(k为常数,且0k0),AB=AC,AD=kAC=kAB,即AD2=k2AB2,(l-x)2+y2=k2(x2+y2),整理得y2=-x2+x-,即ymax=,(SABD)max=l=.AD=kAC,(SABC)max=(SABD)max=.故选C.评析评析本题考查二次函数模型,用坐标法把平面几何问题转化为函数问题是解决本题的关键.
