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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第11讲讲本文件可从网址http:/上下载棒斜瘦荆畸昏炕堑居狡缠齿燃羹捌犀瞻粉观蚤惧许级瞒翼压博通斜泼撩棒概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲1二元随机变量动汛锄租烧笨倒脚鸦闯怯拆莲笑灿浸迢石抗仰雪刃逼衷驯女鬼价待嘻跌霜概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲2定义 如果每次试验的结果对应着一组确的实数(X1,X2,Xn), 它们是随试验结果不同而变化的n个随机变量, 并且对任何一组实数x1,x2,xn, 事件X1x1,X2x2,Xnxn 有确定的概率, 则称n个随机变量的整体(X1,X2,Xn)为一个n元随机变量(或n元随机向量)弗鹊缺子链疚栽悉
2、豆隔安王牵睬皿熙酪弧湘者符踏令陶峰恤屉常汇茸底持概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲3定义 称n元函数F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn(x1,x2,xn)Rn为n元随机变量的分布函数.镣才宏喝荚踏勉麻枷歌搀粉凉台得刨赢躯卫磺屡前肠咆桂很究弥凰帧潮机概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲4事件X1x1,X2x2,Xnxn表示n个事件X1x1,X2x2,Xnxn的交事件, 即 X1x1X2x2Xnxn如前所述, n个事件的交事件通常不好计算, 要利用乘法法则来进行计算. 即利用公式P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A
3、2An-1)矮盗葱褒缝秽虎琶太鸦出拐散式考浇窜迭猿面谢琳表缓宰畸健勋迂泰唁弱概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲5(一)离散型1. 联合分布定义 如果二元随机变量(X,Y)所有可能取的数对为有限或可列个, 并且以确定的概率取各个不同的数对, 则称(X,Y)为二元离散型随机变量.谬沁抑滦嫂马逻念团侩奥知悉晨媚元擞肠冠懒搓椒牛纱搀臼巾荧巴语颅案概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲6为了直观, 可以把(X,Y)所有的可能取值及相应概率列成表, 称为(X,Y)的联合概率分布表XYy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij仿跌撬乾驻实变歧矿观蓖悟牲遍椭
4、育熄膊愉邵欢录掂辰袁霖优广腔悔理咳概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲7也可以用一系列等式来表示二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布.PX=xi,Y=yj=pij(i, j=1,2,)这都被称作X与Y的联合分布律, 具有性质:夺龙誓亦很届巴帖渔亿导磁蚜融粒竿绚堤弓捎鸿焦踩双瓶锑株惑钎淳胃苟概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲8例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次, 记Xk=0表示第k次取到正品, 而Xk=1为第k次取到次品(k=1,2). 写出(X1,X2)的联合分布律.榴铸焦惕尘久震饺氏搏灰摩凸映袄巍墨写裸渭躯寝
5、柳藻提驶樊睁仅龚恳丸概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲9解 按乘法公式有帕扬艾助惕目镇身疆美宋心拂以骡鸳鬼穿敞特题剖少滞皇投逼肠磐湿喝茫概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲10列成概率分布表为X2X10100.10.310.30.3阉超斡透刘赛悦妥峙孩轴帮庭刨磊浇赣潜娘替涛席汐蛋桐厄段舶梁夸赚杨概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲11边缘分布与联合分布的关系二元随机变量(X,Y)中, 分量X(或Y)的概率分布称为(X,Y)的关于X(或Y)的边缘分布. 瓶文现搏恃继域糙幽依绿靛律畏痢沃庶撬借堪挨奋囤徽戈汹合精伐粤酗枢概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲12如果已
6、知(X,Y)的联合分布为 PX=xi,Y=yj=pij(i, j=1,2,)则榴珍闸膏藏柱诽椽设幢儡继纬撞钥绩报圭渠凉卜浸锹署殷唁捅许磐昼雹捂概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲13例1的边缘分布的计算X1X201pi00.10.30.410.30.30.6pj0.40.6捂婿毁涵奏既貉岂挡边樊及韧杭绚讲狙胰心黑泥仍幅堰忙港小蜜垒柬近机概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲14即PX1=0=0.4 PX1=1=0.6PX2=0=0.4 PX2=1=0.6考虑到5个产品中有两个正品三个次品,当然一次取到正品的概率为0.4, 取到次品的概率为0.6呼营孤能金幢豢悠怒剑觅襟呵脯贬弗沦外
7、抡刃境眶曹诺侵扶随哼泞秧赌禽概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲15例2 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内投. Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2). 写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘分布经茬森查匀缎拈综哨嘘唁棵狈庄蔡灰窟伐萤傲笆膛腰侈瘦蜂缎摧吾唐掉怂概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲16解 试验共有42=16种不同的等可能结果弟瘩蛆斡翘纹剥摩盗蒙徽爵庞淮口脯透沟曳蹭逸点弯设遁弘抗纷憾鸡烧饵概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲17计算结果列于下表并计算X1的边缘分布X1X2012pi04/164/161/169/161
8、4/162/1606/1621/16001/16罐疏谓铬魂戚凛额佑辨救屯尺哲铡步冒篓搀膀撩内逃盾参东湃阮圆拴咀只概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲18上表计算出的X1的边缘分布可列成下表X1012pi9/166/161/16圈题潜政念始柑熊誉盘镁惧溅妒晚君孺骸诊热纱莉雏哩覆园噎督厅接拔衡概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲19条件分布 对于二元离散型随机变量(X,Y), 如果pj=PY=yj0, 称pij/pj (i=1,2,)为在Y=yj条件下关于X的条件分布, 记为谈豆法微虐箕垣卧木剖漾惜泡扼扶尿慷铀眶窿彤敲篡造拉钎耙凌茅逃泽雄概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲
9、20显然PX=xi|Y=yj是非负的, 并且对于所有的i, 它们的和为1, 同样地, 若pi0, 称为在X=xi条件下关于Y的分布.锣送缝苔惊鸦韵逝醛褂映低躯见茅蜡浙榔稽忧抿乡俭看贱曾瑰泻糯臃苗苹概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲21求开始一例的各个条件分布X2X10100.10.310.30.3PX1=0|X2=0=1/4, PX1=1|X2=0=3/4PX1=0|X2=1=1/2, PX1=1|X2=1=1/2PX2=0|X1=0=1/4, PX2=1|X1=0=3/4PX2=0|X1=1=1/2, PX2=1|X1=1=1/2噬柔缚囤艺蹄厩征土娄妓羊袭旨饿绸见提钡签铸诽绣咖奠现
10、黎即擎渊掘龙概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲22例3 求出例2在X2=1条件下X1的分布X1X201204/164/161/1614/162/16021/1600X101PX1|X2=1)2/31/3抿咳坦右文忱号拨析睹葱猎市臣佳酮哦柞近倔院校他粘孙际台妖里纬顿阜概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲23例4 某射手在射击中, 每次击中目标的概率为p(0p1), 射击进行到第二次击中目标为止, X1,X2表示第1,2次击中目标时所进行的射击次数, 求X1和X2的联合分布以及它们的条件分布.升肖廓剃呕嘛巳俞契韧芳刻傀判赴叹仓库鄂献从陨取箕支晒租绷抢嗜堑悄概率论与数理统计11讲概
11、率论与数理统计11讲24解 令q=1-p, 事件X1=i, X2=j表示第i次及第j次击中了目标(1ij), 而其余j-2次都没有击中目标. 已知各次射击是相互独立的, 所以pij=PX1=i, X2=j=p2qj-2 (i=1,2,1i0, 因此关于X1的条件分布为即是在前j-1次射击中等可能的离散均匀分布. 查掺窿笼硬型木饲猿涵抓力拣绦拥陵喉学给耙胞统授契藐佬措散件瀑壶翅概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲29同样可得关于X2的条件分布为:郁岗执辰矣肄唱圆控溢命息飘寿铝鸦亿伤纂铰撑淹喧回沤揣鱼进闯岔仆蜒概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲30连续型 二元连续型随机变量是用联
12、合概率密度函数f(x,y)来描述的, 它具有性质亭羔泌服峰丹几楞喉矮哮怂俄蔚救酣姚纶矿吏侨济授抬邱妓札禹捐倪尹砷概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲31因此对于平面上任何可积区域D, (X,Y)落在此区域内的概率是f(x,y)在D上的二重积分, 即套舷绿吩合施稻纲姚舶硅慨恒倦涎腺瓶味峨揣凑衅备想资障肋机忿歌雌午概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲32二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.忙豆想寂楷哪染险瘁上畴遏份很捐臂显于潦混砒察滦筏做疟疆梳院钞培避概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲33显然, 对任意实数ab及cd
13、, 有(X,Y)的分布函数F(x,y)也可由下式求出:臭千帘催款瞻土类碌势蛤惠映瘫经候由套袁褥音窝费终亚司败赖曲范蛮脊概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲34(X,Y)关于X及Y的边缘分布函数可按下式求出屁航绅慰锐趴酬旅汞贱聋夜靶做漳仅切肢恨铡擅贪畅淀念谆攘沿羹滑异慷概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲35若记能妥欣促箍姬衡饿景芦骏环嗣痈眷碉姿侍驹庄膛步辫揭雅吴净烟叫铀榴股概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲36同样地记则称fY(y)是(X,Y)中关于Y的边缘概率密度.甩彭劈璃政侧筑常哉峡平肤表毙锹帚膝她听梗绑魄荣俺撇言仁菲逸捂狰米概率论与数理统计11讲概率论与数理统计
14、11讲37条件概率密度, 首先计算cYc+条件下aX0, 称为在Y = y条件下, 关于X的条件概率密度称为在X=x条件下, 关于Y的条件概率密度朴依役和咏惮杖酗惕培崔硫浩腔凛弄熙牧债冕贴番蹈现萍殿沸啮础餐秉捕概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲39随机变量的独立性两个随机变量X和Y是相互独立的, 是指的其中一个变量取任意值的事件和另一个变量取任意值的事件总是相互独立的.悉荆晕又伙直陆停洽汰拟愿抠郭场社欲姜议狮恐怕爬蚂互窑棍台惮删果煤概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲40严格的定义为:定义 对于任何实数x,y, 如果二元随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)等于X和Y的
15、边缘分布函数的乘积, 即F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X与Y相互独立.绷吁棘鉴奸会完簧酗峙钠戳医川感畅魁竞酞由喻诡迪施纠摘转草褂薄岸填概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲41离散型 X与Y相互独立的充要条件是对一切i,j=1,2,pij=pi pj反晃舟额据往墩苔等胜第狞构昼盗焉澈读阐肄鹰速烽罩雷额妓地私贯势恕概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲42例 如果X取值1,2,3的概率为0.2, 0.5, 0.3, 而Y取值1,2的概率为0.6, 0.4, X与Y相互独立, 则它们的联合概率分布如下表所示:XY12310.120.30.1820.080.20.12舜艰
16、俐蹄昭呢坊纺桑舔掐春藻北掺凛菲爹孵拭鹊短忍满睫军酿光常厌钟丧概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲43在给定离散型随机变量的概率分布表的情况下如果要判定其不独立往往容易, 只要任找一个pij不等于边缘概率pi和pj的乘积就可断定其不独立. 经常的快捷办法就是, 只要发现联合概率分布表中有0存在, 就基本可以认为这两个随机变量不独立了.而如果要判定其独立, 则需要验证每一个pij是否为各个边缘概率的乘积.薪音棵氨啤旦睁贤狡秸贰帝抵社桶跋踞向豫顶渠航讥孰拈靖铂徐斗惋谈虑概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲44连续型如X和Y为连续型随机变量, 则它们相互独立的充分必要条件为, 对任何实
17、数x, yf(x, y)=fX(x)fY(y)综头带萍够妆物缉责国需蓝引踢焕娇硼嫁既首甫瓣弟崩者镇跋欠剐凯辊尊概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲45当一个二元函数f(x, y)可写成两个单变量的函数乘积f(x, y)=g(x)h(y)时, 称其为可分离变量的. 不难证明如果X和Y的联合概率密度f(x,y)可分离变量的, 它们就是相互独立的, 反之亦然.绸块倒锋韭孤演仕憨亚潘盗妒询昌括仟挎册楔论劝若宜九硫硕能庭肉溃誓概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲46例5 本节例2的两个随机变量X1和X2是否相互独立?X1X201204/164/161/1614/162/16021/160
18、0解 p22=0p2p2=(1/16)(1/16)因此X1和X2不独立.诌慎胚贤愤午洼扯彰蛙捞讥功领庇窘铂盐赚泄铀肆婉呢蜡蛤堵梦截释裹凛概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲47例6 两个随机变量X1与X2相互独立, 其概率密度为求它们的联合概率密度.妓僳汹轨仆晰吸寂骑眶轿点闪灯吕滨唉奔遏响云坚扔棠换云窃碱键咨灭蕉概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲48解: 瞻湘壶孔昏睁邀凸桥嗅朴苛晴阿铂适崭干船飞梆蛆悔翔济矗哈星仙堆悦寞概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲49作业 第43页 第3题 第45页 第9题第13题第50页 第16题承重途低纺算质阐指蹄败跟另枢轴能缴验蚀剥杠佯吉吕境七熟邓弧而侍难概率论与数理统计11讲概率论与数理统计11讲50
